Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrcrng 19919
 Description: The ring of power series is commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrcnrg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrcnrg.i (𝜑𝐼𝑉)
psrcnrg.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
psrcrng (𝜑𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem psrcrng
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrcnrg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrcnrg.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrcnrg.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4 crngring 19043 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
61, 2, 5psrring 19917 . 2 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
7 eqid 2771 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
97, 8mgpbas 18980 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
11 eqid 2771 . . . . 5 (.r𝑆) = (.r𝑆)
127, 11mgpplusg 18978 . . . 4 (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆))
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → (.r𝑆) = (+g‘(mulGrp‘𝑆)))
147ringmgp 19038 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
156, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
1623ad2ant1 1114 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐼𝑉)
1753ad2ant1 1114 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2771 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
19 simp2 1118 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
20 simp3 1119 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))
2133ad2ant1 1114 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑅 ∈ CRing)
221, 16, 17, 18, 11, 8, 19, 20, 21psrcom 19915 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) = (𝑦(.r𝑆)𝑥))
2310, 13, 15, 22iscmnd 18690 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
247iscrng 19039 . 2 (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd))
256, 23, 24sylanbrc 575 1 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  {crab 3085  ◡ccnv 5402   “ cima 5406  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ↑𝑚 cmap 8204  Fincfn 8304  ℕcn 11437  ℕ0cn0 11705  Basecbs 16337  +gcplusg 16419  .rcmulr 16420  Mndcmnd 17774  CMndccmn 18678  mulGrpcmgp 18974  Ringcrg 19032  CRingccrg 19033   mPwSer cmps 19857 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-ofr 7226  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-hash 13504  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-tset 16438  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-mulg 18024  df-ghm 18139  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-ring 19034  df-cring 19035  df-psr 19862 This theorem is referenced by:  mplcrng  19959  opsrcrng  19993
 Copyright terms: Public domain W3C validator