Theorem chfacfscmulcl 22995

Description: Closure of a scaled value of the "characteristic factor function". (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chfacfisf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chfacfisf.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chfacfisf.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chfacfisf.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chfacfisf.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chfacfscmulcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chfacfscmulcl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
chfacfscmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑛,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20328	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		chfacfisf.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chfacfisf.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	2, 3	pmatlmod 22831	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
6	5	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
7	6	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ LMod)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
9		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
10	8, 9	mgpbas 20222	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
11		chfacfscmulcl.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
12	2	ply1ring 22388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
13	1, 12	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
15	8	ringmgp 20322	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
16	14, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
17	16	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
18		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
19	1	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
20		chfacfscmulcl.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
21	20, 2, 9	vr1cl 22358	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
22	19, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
23	22	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
24	10, 11, 17, 18, 23	mulgnn0cld 19162	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
25	2	ply1crng 22339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
26	25	anim2i 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
27	26	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
28	3	matsca2 22558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
30	29	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
31	30	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
32	31	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
33	24, 32	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
34		chfacfisf.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
35		chfacfisf.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
36		chfacfisf.r	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑌)
37		chfacfisf.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑌)
38		chfacfisf.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
39		chfacfisf.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40		chfacfisf.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
41	34, 35, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40	chfacfisf 22992	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
42	1, 41	syl3anl2 1440	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
43	42	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
44	43, 18	ffvelcdmd 7082	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌))
45		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
46		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
47		chfacfscmulcl.m	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
48		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
49	45, 46, 47, 48	lmodvscl 20980	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))
50	7, 33, 44, 49	syl3anc 1398	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   − cmin 11442  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  Mndcmnd 18793  -_gcsg 19003  ._gcmg 19134  mulGrpcmgp 20217  Ringcrg 20316  CRingccrg 20317  LModclmod 20962  var₁cv1 22317  Poly₁cpl1 22318   Mat cmat 22545   matToPolyMat cmat2pmat 22842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-mamu 22529  df-mat 22546  df-mat2pmat 22845

This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  22998