MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem chfacfscmulcl 22350
Description: Closure of a scaled value of the "characteristic factor function". (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chfacfisf.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chfacfisf.y π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
chfacfscmulcl.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chfacfscmulcl.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
chfacfscmulcl.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐡(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   Β· (𝑛,𝑠,𝑏)   Γ— (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   βˆ’ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   π‘Œ(𝑠,𝑏)   0 (𝑛,𝑠,𝑏)
Proof of Theorem chfacfscmulcl
StepHypRef Expression
1 crngring 20061 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 chfacfisf.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 chfacfisf.y . . . . . 6 π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
42, 3pmatlmod 22186 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
51, 4sylan2 593 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
653adant3 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
763ad2ant1 1133 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
8 eqid 2732 . . . . 5 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
9 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
108, 9mgpbas 19987 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
11 chfacfscmulcl.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
122ply1ring 21761 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
131, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
14133ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
158ringmgp 20055 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
17163ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
18 simp3 1138 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
1913ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
20 chfacfscmulcl.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
2120, 2, 9vr1cl 21732 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2219, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
23223ad2ant1 1133 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2410, 11, 17, 18, 23mulgnn0cld 18969 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
252ply1crng 21713 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
2625anim2i 617 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
27263adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
283matsca2 21913 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3029eqcomd 2738 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = 𝑃)
3130fveq2d 6892 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
32313ad2ant1 1133 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
3324, 32eleqtrrd 2836 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
34 chfacfisf.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
35 chfacfisf.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
36 chfacfisf.r . . . . . 6 Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
37 chfacfisf.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
38 chfacfisf.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
39 chfacfisf.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
40 chfacfisf.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
4134, 35, 2, 3, 36, 37, 38, 39, 40chfacfisf 22347 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ 𝐺:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
421, 41syl3anl2 1413 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ 𝐺:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
43423adant3 1132 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐺:β„•0⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
4443, 18ffvelcdmd 7084 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
45 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
46 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
47 chfacfscmulcl.m . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
48 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
4945, 46, 47, 48lmodvscl 20481 . 2 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ (πΊβ€˜πΎ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
507, 33, 44, 49syl3anc 1371 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  ...cfz 13480  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Mndcmnd 18621  -gcsg 18817  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692   Mat cmat 21898   matToPolyMat cmat2pmat 22197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mat2pmat 22200
This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  22353
  Copyright terms: Public domain W3C validator