Theorem ply1moncl 21784

Description: Closure of the expression for a univariate primitive monomial. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moncl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moncl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moncl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1moncl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1moncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1moncl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1moncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moncl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
2		ply1moncl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	mgpbas 19987	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
4		ply1moncl.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
5		ply1moncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 21761	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20055	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
9	8	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
10		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11		ply1moncl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12	11, 5, 2	vr1cl 21732	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 9, 10, 13	mulgnn0cld 18969	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697

This theorem is referenced by:  ply1tmcl  21785  ply1idvr1  21808  gsumsmonply1  21818  mat2pmatscmxcl  22233  m2pmfzgsumcl  22241  decpmatid  22263  pmatcollpw1lem1  22267  pmatcollpw2lem  22270  monmatcollpw  22272  pmatcollpwlem  22273  pmatcollpw  22274  pmatcollpwfi  22275  pmatcollpw3fi1lem1  22279  pm2mpcl  22290  idpm2idmp  22294  mp2pm2mplem4  22302  mp2pm2mplem5  22303  pm2mpghmlem2  22305  pm2mpmhmlem1  22311  pm2mpmhmlem2  22312  deg1pwle  25628  coe1mon  32652  ply1moneq  32653