Theorem ply1moncl 20110

Description: Closure of the expression for a univariate primitive monomial. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moncl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moncl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moncl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1moncl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1moncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1moncl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1moncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 20087	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3		ply1moncl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
4	3	ringmgp 18981	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
6	5	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
7		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8		ply1moncl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1moncl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	8, 1, 9	vr1cl 20056	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 9	mgpbas 18923	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
13		ply1moncl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	12, 13	mulgnn0cl 17987	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 11, 14	syl3anc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  ‘cfv 6217  (class class class)co 7007  ℕ₀cn0 11734  Basecbs 16300  Mndcmnd 17721  ._gcmg 17969  mulGrpcmgp 18917  Ringcrg 18975  var₁cv1 20015  Poly₁cpl1 20016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-ofr 7259  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-hash 13529  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-tset 16401  df-ple 16402  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-mhm 17762  df-submnd 17763  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-mulg 17970  df-subg 18018  df-ghm 18085  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-subrg 19211  df-psr 19812  df-mvr 19813  df-mpl 19814  df-opsr 19816  df-psr1 20019  df-vr1 20020  df-ply1 20021

This theorem is referenced by:  ply1tmcl  20111  ply1idvr1  20132  gsumsmonply1  20142  mat2pmatscmxcl  21020  m2pmfzgsumcl  21028  decpmatid  21050  pmatcollpw1lem1  21054  pmatcollpw2lem  21057  monmatcollpw  21059  pmatcollpwlem  21060  pmatcollpw  21061  pmatcollpwfi  21062  pmatcollpw3fi1lem1  21066  pm2mpcl  21077  idpm2idmp  21081  mp2pm2mplem4  21089  mp2pm2mplem5  21090  pm2mpghmlem2  21092  pm2mpmhmlem1  21098  pm2mpmhmlem2  21099  deg1pwle  24384