Theorem ply1moncl 22415

Description: Closure of the expression for a univariate primitive monomial. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moncl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moncl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moncl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1moncl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1moncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1moncl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1moncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moncl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
2		ply1moncl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	mgpbas 20224	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
4		ply1moncl.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
5		ply1moncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 22390	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20324	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
9	8	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
10		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11		ply1moncl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12	11, 5, 2	vr1cl 22360	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 9, 10, 13	mulgnn0cld 19164	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℕ₀cn0 12507  Basecbs 17272  Mndcmnd 18795  ._gcmg 19136  mulGrpcmgp 20219  Ringcrg 20318  var₁cv1 22319  Poly₁cpl1 22320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-hash 14370  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-prds 17503  df-pws 17505  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-mhm 18844  df-submnd 18845  df-grp 19006  df-minusg 19007  df-mulg 19137  df-subg 19192  df-ghm 19287  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234  df-ur 20267  df-ring 20320  df-subrng 20634  df-subrg 20658  df-psr 22042  df-mvr 22043  df-mpl 22044  df-opsr 22046  df-psr1 22323  df-vr1 22324  df-ply1 22325

This theorem is referenced by:  ply1tmcl  22416  gsumsmonply1  22450  mat2pmatscmxcl  22880  m2pmfzgsumcl  22888  decpmatid  22910  pmatcollpw1lem1  22914  pmatcollpw2lem  22917  monmatcollpw  22919  pmatcollpwlem  22920  pmatcollpw  22921  pmatcollpwfi  22922  pmatcollpw3fi1lem1  22926  pm2mpcl  22937  idpm2idmp  22941  mp2pm2mplem4  22949  mp2pm2mplem5  22950  pm2mpghmlem2  22952  pm2mpmhmlem1  22958  pm2mpmhmlem2  22959  deg1pwle  26260  coe1mon  33847  ply1moneq  33848