Theorem ply1moncl 22551

Description: Closure of the expression for a univariate primitive monomial. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moncl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moncl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moncl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1moncl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1moncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1moncl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1moncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moncl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
2		ply1moncl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3	1, 2	mgpbas 20326	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
4		ply1moncl.e	. 2 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
5		ply1moncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6	5	ply1ring 22526	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
7	1	ringmgp 20426	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
10		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
11		ply1moncl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
12	11, 5, 2	vr1cl 22496	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 9, 10, 13	mulgnn0cld 19266	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℕ₀cn0 12575  Basecbs 17348  Mndcmnd 18884  ._gcmg 19238  mulGrpcmgp 20321  Ringcrg 20420  var₁cv1 22455  Poly₁cpl1 22456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-prds 17579  df-pws 17581  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-submnd 18940  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-ghm 19389  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-psr 22178  df-mvr 22179  df-mpl 22180  df-opsr 22182  df-psr1 22459  df-vr1 22460  df-ply1 22461

This theorem is used by:  ply1tmcl  22552  gsumsmonply1  22586  mat2pmatscmxcl  23019  m2pmfzgsumcl  23027  decpmatid  23049  pmatcollpw1lem1  23053  pmatcollpw2lem  23056  monmatcollpw  23058  pmatcollpwlem  23059  pmatcollpw  23060  pmatcollpwfi  23061  pmatcollpw3fi1lem1  23065  pm2mpcl  23076  idpm2idmp  23080  mp2pm2mplem4  23088  mp2pm2mplem5  23089  pm2mpghmlem2  23091  pm2mpmhmlem1  23097  pm2mpmhmlem2  23098  deg1pwle  26399  coe1mon  34052  ply1moneq  34053