Theorem ply1moncl 21192

Description: Closure of the expression for a univariate primitive monomial. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1moncl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1moncl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1moncl.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1moncl.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
ply1moncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1moncl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ply1moncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1moncl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 21169	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3		ply1moncl.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
4	3	ringmgp 19568	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
6	5	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Mnd)
7		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8		ply1moncl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
9		ply1moncl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
10	8, 1, 9	vr1cl 21138	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	3, 9	mgpbas 19510	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
13		ply1moncl.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
14	12, 13	mulgnn0cl 18508	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
15	6, 7, 11, 14	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℕ₀cn0 12090  Basecbs 16760  Mndcmnd 18173  ._gcmg 18488  mulGrpcmgp 19504  Ringcrg 19562  var₁cv1 21097  Poly₁cpl1 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-tset 16821  df-ple 16822  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-abl 19173  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-subrg 19798  df-psr 20868  df-mvr 20869  df-mpl 20870  df-opsr 20872  df-psr1 21101  df-vr1 21102  df-ply1 21103

This theorem is referenced by:  ply1tmcl  21193  ply1idvr1  21214  gsumsmonply1  21224  mat2pmatscmxcl  21637  m2pmfzgsumcl  21645  decpmatid  21667  pmatcollpw1lem1  21671  pmatcollpw2lem  21674  monmatcollpw  21676  pmatcollpwlem  21677  pmatcollpw  21678  pmatcollpwfi  21679  pmatcollpw3fi1lem1  21683  pm2mpcl  21694  idpm2idmp  21698  mp2pm2mplem4  21706  mp2pm2mplem5  21707  pm2mpghmlem2  21709  pm2mpmhmlem1  21715  pm2mpmhmlem2  21716  deg1pwle  25017