Theorem mat2pmatmhm 22958

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Proof of Theorem mat2pmatmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20384	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		mat2pmatbas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 22665	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
6	5	ringmgp 20378	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
8		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1ring 22472	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
11		mat2pmatbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matring 22665	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
13	10, 12	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
15	14	ringmgp 20378	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
17		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18		mat2pmatbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
20	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmatf 22953	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
21	1, 20	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
22	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmatmul 22956	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
23	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmat1 22957	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
24	1, 23	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
25	21, 22, 24	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶)))
26	5, 18	mgpbas 20278	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
27	14, 19	mgpbas 20278	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
28		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
29	5, 28	mgpplusg 20277	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
30		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	14, 30	mgpplusg 20277	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
33	5, 32	ringidval 20322	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
34		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	14, 34	ringidval 20322	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36	26, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 18893	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ (((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))))
37	7, 16, 25, 36	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  Mndcmnd 18836   MndHom cmhm 18889  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  CRingccrg 20373  Poly₁cpl1 22402   Mat cmat 22629   matToPolyMat cmat2pmat 22929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-prds 17532  df-pws 17534  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mhm 18891  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-mulg 19191  df-subg 19246  df-ghm 19341  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-rhm 20613  df-subrng 20708  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-dsmm 21945  df-frlm 21960  df-assa 22068  df-ascl 22070  df-psr 22124  df-mpl 22126  df-opsr 22128  df-psr1 22405  df-ply1 22407  df-mamu 22613  df-mat 22630  df-mat2pmat 22932

This theorem is used by:  mat2pmatrhm  22959  m2cpmmhm  22970  cayhamlem4  23113