Theorem mat2pmatmhm 23106

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Proof of Theorem mat2pmatmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20523	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		mat2pmatbas.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 22813	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
6	5	ringmgp 20516	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
8		mat2pmatbas.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1ring 22620	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
11		mat2pmatbas.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matring 22813	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
13	10, 12	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
15	14	ringmgp 20516	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
16	13, 15	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
17		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18		mat2pmatbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
20	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmatf 23101	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
21	1, 20	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
22	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmatmul 23104	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
23	17, 2, 18, 8, 11, 19	mat2pmat1 23105	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
24	1, 23	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
25	21, 22, 24	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶)))
26	5, 18	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
27	14, 19	mgpbas 20416	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
28		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
29	5, 28	mgpplusg 20415	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
30		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	14, 30	mgpplusg 20415	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
33	5, 32	ringidval 20460	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
34		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	14, 34	ringidval 20460	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36	26, 27, 29, 31, 33, 35	ismhm 19030	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ (((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))))
37	7, 16, 25, 36	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  Mndcmnd 18973   MndHom cmhm 19026  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  CRingccrg 20511  Poly₁cpl1 22550   Mat cmat 22777   matToPolyMat cmat2pmat 23077

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-cring 20513  df-rhm 20753  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-assa 22216  df-ascl 22218  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-opsr 22276  df-psr1 22553  df-ply1 22555  df-mamu 22761  df-mat 22778  df-mat2pmat 23080

This theorem is used by:  mat2pmatrhm  23107  m2cpmmhm  23118  cayhamlem4  23261