Theorem mat2pmatmhm 20908

Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat2pmatbas.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
mat2pmatbas.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h	⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mat2pmatmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Proof of Theorem mat2pmatmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18912	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		mat2pmatbas.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	matring 20616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	sylan2 588	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
6	5	ringmgp 18907	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
8		mat2pmatbas.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1ring 19978	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
11		mat2pmatbas.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
12	11	matring 20616	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
13	10, 12	sylan2 588	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
14		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
15	14	ringmgp 18907	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
17	7, 16	jca 509	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd))
18		mat2pmatbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
19		mat2pmatbas.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
20		mat2pmatbas0.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Base‘𝐶)
21	18, 2, 19, 8, 11, 20	mat2pmatf 20903	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
22	1, 21	sylan2 588	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇:𝐵⟶𝐻)
23	18, 2, 19, 8, 11, 20	mat2pmatmul 20906	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)))
24	18, 2, 19, 8, 11, 20	mat2pmat1 20907	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
25	1, 24	sylan2 588	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))
26	22, 23, 25	3jca 1164	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶)))
27	5, 19	mgpbas 18849	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
28	14, 20	mgpbas 18849	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
29		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
30	5, 29	mgpplusg 18847	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
31		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
32	14, 31	mgpplusg 18847	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
33		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
34	5, 33	ringidval 18857	. . 3 ⊢ (1r‘𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
35		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
36	14, 35	ringidval 18857	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
37	27, 28, 30, 32, 34, 36	ismhm 17690	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ (((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:𝐵⟶𝐻 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r‘𝐴)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝐶)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐴)) = (1r‘𝐶))))
38	17, 26, 37	sylanbrc 580	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  Basecbs 16222  ._rcmulr 16306  Mndcmnd 17647   MndHom cmhm 17686  mulGrpcmgp 18843  1_rcur 18855  Ringcrg 18901  CRingccrg 18902  Poly₁cpl1 19907   Mat cmat 20580   matToPolyMat cmat2pmat 20879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-ofr 7158  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-rnghom 19071  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-assa 19673  df-ascl 19675  df-psr 19717  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-ply1 19912  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-mamu 20557  df-mat 20581  df-mat2pmat 20882

This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  20909  m2cpmmhm  20920  cayhamlem4  21063