MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat2pmatmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat2pmatmhm 21496
Description: The transformation of matrices into polynomial matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat2pmatbas.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
mat2pmatbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mat2pmatbas.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mat2pmatbas.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mat2pmatbas.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
mat2pmatbas0.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mat2pmatmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))

Proof of Theorem mat2pmatmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 crngring 19440 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 mat2pmatbas.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32matring 21206 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3sylan2 596 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
5 eqid 2739 . . . 4 (mulGrp‘𝐴) = (mulGrp‘𝐴)
65ringmgp 19434 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
74, 6syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd)
8 mat2pmatbas.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
98ply1ring 21035 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
11 mat2pmatbas.c . . . . 5 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
1211matring 21206 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
1310, 12sylan2 596 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐶 ∈ Ring)
14 eqid 2739 . . . 4 (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
1514ringmgp 19434 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
1613, 15syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
17 mat2pmatbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
18 mat2pmatbas.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
19 mat2pmatbas0.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
2017, 2, 18, 8, 11, 19mat2pmatf 21491 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:𝐵𝐻)
211, 20sylan2 596 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇:𝐵𝐻)
2217, 2, 18, 8, 11, 19mat2pmatmul 21494 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)))
2317, 2, 18, 8, 11, 19mat2pmat1 21495 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶))
241, 23sylan2 596 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶))
2521, 22, 243jca 1129 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑇:𝐵𝐻 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶)))
265, 18mgpbas 19376 . . 3 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐴))
2714, 19mgpbas 19376 . . 3 𝐻 = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
28 eqid 2739 . . . 4 (.r𝐴) = (.r𝐴)
295, 28mgpplusg 19374 . . 3 (.r𝐴) = (+g‘(mulGrp‘𝐴))
30 eqid 2739 . . . 4 (.r𝐶) = (.r𝐶)
3114, 30mgpplusg 19374 . . 3 (.r𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32 eqid 2739 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
335, 32ringidval 19384 . . 3 (1r𝐴) = (0g‘(mulGrp‘𝐴))
34 eqid 2739 . . . 4 (1r𝐶) = (1r𝐶)
3514, 34ringidval 19384 . . 3 (1r𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
3626, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 18086 . 2 (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)) ↔ (((mulGrp‘𝐴) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:𝐵𝐻 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑇‘(𝑥(.r𝐴)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝐶)(𝑇𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r𝐴)) = (1r𝐶))))
377, 16, 25, 36syl21anbrc 1345 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐴) MndHom (mulGrp‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7182  Fincfn 8567  Basecbs 16598  .rcmulr 16681  Mndcmnd 18039   MndHom cmhm 18082  mulGrpcmgp 19370  1rcur 19382  Ringcrg 19428  CRingccrg 19429  Poly1cpl1 20964   Mat cmat 21170   matToPolyMat cmat2pmat 21467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-ot 4535  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-ofr 7438  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-sup 8991  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-hash 13795  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-hom 16704  df-cco 16705  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-prds 16836  df-pws 16838  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-mhm 18084  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-mulg 18355  df-subg 18406  df-ghm 18486  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-cring 19431  df-rnghom 19601  df-subrg 19664  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-sra 20075  df-rgmod 20076  df-dsmm 20560  df-frlm 20575  df-assa 20681  df-ascl 20683  df-psr 20734  df-mpl 20736  df-opsr 20738  df-psr1 20967  df-ply1 20969  df-mamu 21149  df-mat 21171  df-mat2pmat 21470
This theorem is referenced by:  mat2pmatrhm  21497  m2cpmmhm  21508  cayhamlem4  21651
  Copyright terms: Public domain W3C validator