Theorem chfacfpmmulcl 23172

Description: Closure of the value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cayhamlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cayhamlem1.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cayhamlem1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cayhamlem1.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cayhamlem1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝐵(𝑠, 𝑏)   𝑃(𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝑅(𝑠, 𝑏)   𝑇(𝑛, 𝑠, 𝑏)   × (𝑛, 𝑠, 𝑏)   ↑ (𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝐺(𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝐾(𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝑀(𝑠, 𝑏)   − (𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝑁(𝑠, 𝑏)   𝑌(𝑠, 𝑏)   0 (𝑛, 𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20465	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cayhamlem1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cayhamlem1.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	2, 3	pmatring 23003	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
6	5	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Ring)
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10	8, 9	mgpbas 20358	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
11		cayhamlem1.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
12	8	ringmgp 20458	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
13	6, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
14	13	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
15		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		cayhamlem1.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
17		cayhamlem1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
18		cayhamlem1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19	16, 17, 18, 2, 3	mat2pmatbas 23037	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
20	1, 19	syl3an2 1182	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
21	20	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
22	10, 11, 14, 15, 21	mulgnn0cld 19298	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
23		cayhamlem1.r	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑌)
24		cayhamlem1.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑌)
25		cayhamlem1.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
26		cayhamlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
27	17, 18, 2, 3, 23, 24, 25, 16, 26	chfacfisf 23165	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
28	1, 27	syl3anl2 1440	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
29	28	3adant3 1150	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
30	29, 15	ffvelcdmd 7083	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌))
31	9, 23	ringcl 20470	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))
32	7, 22, 30, 31	syl3anc 1398	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ...cfz 13632  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  Mndcmnd 18916  -_gcsg 19139  ._gcmg 19270  mulGrpcmgp 20353  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453  Poly₁cpl1 22488   Mat cmat 22715   matToPolyMat cmat2pmat 23015

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046  df-ascl 22156  df-psr 22210  df-mpl 22212  df-opsr 22214  df-psr1 22491  df-ply1 22493  df-mamu 22699  df-mat 22716  df-mat2pmat 23018

This theorem is used by:  chfacfpmmulgsum  23175