Theorem chfacfpmmulcl 22777

Description: Closure of the value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cayhamlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cayhamlem1.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cayhamlem1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cayhamlem1.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cayhamlem1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmulcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑛,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 20164	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		cayhamlem1.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		cayhamlem1.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
4	2, 3	pmatring 22608	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
5	1, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
6	5	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
7	6	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ Ring)
8		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
9		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
10	8, 9	mgpbas 20064	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
11		cayhamlem1.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
12	8	ringmgp 20158	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
13	6, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
14	13	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
15		simp3 1138	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16		cayhamlem1.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
17		cayhamlem1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
18		cayhamlem1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
19	16, 17, 18, 2, 3	mat2pmatbas 22642	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
20	1, 19	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
21	20	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
22	10, 11, 14, 15, 21	mulgnn0cld 19008	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
23		cayhamlem1.r	. . . . . 6 ⊢ × = (.r‘𝑌)
24		cayhamlem1.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑌)
25		cayhamlem1.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
26		cayhamlem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
27	17, 18, 2, 3, 23, 24, 25, 16, 26	chfacfisf 22770	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
28	1, 27	syl3anl2 1415	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
29	28	3adant3 1132	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐺:ℕ0⟶(Base‘𝑌))
30	29, 15	ffvelcdmd 7018	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌))
31	9, 23	ringcl 20169	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐺‘𝐾) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))
32	7, 22, 30, 31	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) ∈ (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4475   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   − cmin 11344  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  Mndcmnd 18642  -_gcsg 18848  ._gcmg 18980  mulGrpcmgp 20059  Ringcrg 20152  CRingccrg 20153  Poly₁cpl1 22090   Mat cmat 22323   matToPolyMat cmat2pmat 22620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19126  df-cntz 19230  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-rng 20072  df-ur 20101  df-ring 20154  df-cring 20155  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-sra 21108  df-rgmod 21109  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-ascl 21793  df-psr 21847  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-psr1 22093  df-ply1 22095  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-mat2pmat 22623

This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  22780