MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsummon 22288
Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsummon.q 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
evl1gsummon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1gsummon.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
evl1gsummon.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evl1gsummon.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
evl1gsummon.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
evl1gsummon.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
evl1gsummon.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
evl1gsummon.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
evl1gsummon.t1 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
evl1gsummon.t2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
evl1gsummon.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† β„•0)
evl1gsummon.f (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝑁 ∈ β„•0)
evl1gsummon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
evl1gsummon (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))))β€˜πΆ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   Β· (π‘₯)   Γ— (π‘₯)   𝐸(π‘₯)   ↑ (π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem evl1gsummon
StepHypRef Expression
1 evl1gsummon.q . . 3 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
2 evl1gsummon.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 evl1gsummon.w . . 3 π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
4 eqid 2725 . . 3 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5 evl1gsummon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 evl1gsummon.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 20184 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93ply1lmod 22174 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
1110adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 evl1gsummon.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
1312r19.21bi 3239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
143ply1sca 22175 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š))
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š))
1615fveq2d 6894 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
172, 16eqtrid 2777 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1817adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1913, 18eleqtrd 2827 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 evl1gsummon.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
2120, 5mgpbas 20079 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
22 evl1gsummon.p . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
233ply1ring 22170 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
248, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
2520ringmgp 20178 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2726adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
28 evl1gsummon.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝑁 ∈ β„•0)
2928r19.21bi 3239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
308adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31 evl1gsummon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
3231, 3, 5vr1cl 22140 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3330, 32syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3421, 22, 27, 29, 33mulgnn0cld 19049 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
35 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
36 evl1gsummon.t1 . . . . 5 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
37 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
385, 35, 36, 37lmodvscl 20760 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
3911, 19, 34, 38syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
40 evl1gsummon.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† β„•0)
41 evl1gsummon.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Fin)
42 evl1gsummon.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42evl1gsumaddval 22282 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))))β€˜πΆ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ))))
446adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4542adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
46 evl1gsummon.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
47 evl1gsummon.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜π»)
48 evl1gsummon.t2 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
491, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48evl1scvarpwval 22287 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ) = (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))
5049mpteq2dva 5244 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢))))
5150oveq2d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))))
5243, 51eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))))β€˜πΆ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3941   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957  β„•0cn0 12497  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231   Ξ£g cgsu 17416   ↑s cpws 17422  Mndcmnd 18688  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  LModclmod 20742  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  eval1ce1 22237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22020  df-evl 22021  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-evl1 22239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator