Theorem evl1gsummon 22385

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsummon.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsummon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsummon.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsummon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsummon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1gsummon.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gsummon.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1gsummon.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummon.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1gsummon.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1gsummon.t2	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1gsummon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
evl1gsummon.f	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1gsummon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummon	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   · (𝑥)   × (𝑥)   𝐸(𝑥)   ↑ (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummon.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsummon.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		evl1gsummon.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5		evl1gsummon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		evl1gsummon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1lmod 22269	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ LMod)
12		evl1gsummon.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
13	12	r19.21bi 3249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14	3	ply1sca 22270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
16	15	fveq2d 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	2, 16	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	13, 18	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		evl1gsummon.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 5	mgpbas 20158	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		evl1gsummon.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
23	3	ply1ring 22265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
24	8, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
25	20	ringmgp 20257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		evl1gsummon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
29	28	r19.21bi 3249	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
31		evl1gsummon.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32	31, 3, 5	vr1cl 22235	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	21, 22, 27, 29, 33	mulgnn0cld 19126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
36		evl1gsummon.t1	. . . . 5 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
38	5, 35, 36, 37	lmodvscl 20893	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	11, 19, 34, 38	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
40		evl1gsummon.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
41		evl1gsummon.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
42		evl1gsummon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42	evl1gsumaddval 22379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))))
44	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ CRing)
45	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐾)
46		evl1gsummon.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
47		evl1gsummon.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
48		evl1gsummon.t2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
49	1, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48	evl1scvarpwval 22384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))
50	49	mpteq2dva 5248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
51	50	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
52	43, 51	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302   Σ_g cgsu 17487   ↑_s cpws 17493  Mndcmnd 18760  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  LModclmod 20875  var₁cv1 22193  Poly₁cpl1 22194  eval₁ce1 22334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-evl1 22336

This theorem is referenced by: (None)