Theorem evl1gsummon 22493

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsummon.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsummon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsummon.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsummon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsummon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1gsummon.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gsummon.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1gsummon.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummon.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1gsummon.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1gsummon.t2	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1gsummon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
evl1gsummon.f	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1gsummon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummon	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   · (𝑥)   × (𝑥)   𝐸(𝑥)   ↑ (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummon.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsummon.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		evl1gsummon.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5		evl1gsummon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		evl1gsummon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1lmod 22379	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ LMod)
12		evl1gsummon.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
13	12	r19.21bi 3263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14	3	ply1sca 22380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
15	6, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
16	15	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	2, 16	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	13, 18	eleqtrd 2871	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		evl1gsummon.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 5	mgpbas 20220	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		evl1gsummon.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
23	3	ply1ring 22375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
24	8, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
25	20	ringmgp 20320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		evl1gsummon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
29	28	r19.21bi 3263	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	8	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
31		evl1gsummon.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32	31, 3, 5	vr1cl 22345	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	30, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	21, 22, 27, 29, 33	mulgnn0cld 19160	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
35		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
36		evl1gsummon.t1	. . . . 5 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
38	5, 35, 36, 37	lmodvscl 20976	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	11, 19, 34, 38	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
40		evl1gsummon.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
41		evl1gsummon.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
42		evl1gsummon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42	evl1gsumaddval 22487	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))))
44	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ CRing)
45	42	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐾)
46		evl1gsummon.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
47		evl1gsummon.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
48		evl1gsummon.t2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
49	1, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48	evl1scvarpwval 22492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))
50	49	mpteq2dva 5208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
51	50	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
52	43, 51	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313   Σ_g cgsu 17492   ↑_s cpws 17498  Mndcmnd 18791  ._gcmg 19132  mulGrpcmgp 20215  Ringcrg 20314  CRingccrg 20315  LModclmod 20958  var₁cv1 22304  Poly₁cpl1 22305  eval₁ce1 22442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-cring 20317  df-rhm 20553  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20960  df-lss 21030  df-lsp 21070  df-assa 21971  df-asp 21972  df-ascl 21973  df-psr 22027  df-mvr 22028  df-mpl 22029  df-opsr 22031  df-evls 22193  df-evl 22194  df-psr1 22308  df-vr1 22309  df-ply1 22310  df-evl1 22444

This theorem is referenced by: (None)