Theorem evl1gsummon 21875

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsummon.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsummon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsummon.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsummon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsummon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1gsummon.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gsummon.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1gsummon.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummon.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1gsummon.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1gsummon.t2	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1gsummon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
evl1gsummon.f	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1gsummon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummon	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   · (𝑥)   × (𝑥)   𝐸(𝑥)   ↑ (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummon.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsummon.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		evl1gsummon.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5		evl1gsummon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		evl1gsummon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1lmod 21765	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ LMod)
12		evl1gsummon.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
13	12	r19.21bi 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14	3	ply1sca 21766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
16	15	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	2, 16	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	13, 18	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		evl1gsummon.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 5	mgpbas 19987	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		evl1gsummon.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
23	3	ply1ring 21761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
24	8, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
25	20	ringmgp 20055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		evl1gsummon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
29	28	r19.21bi 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
31		evl1gsummon.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32	31, 3, 5	vr1cl 21732	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	21, 22, 27, 29, 33	mulgnn0cld 18969	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
35		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
36		evl1gsummon.t1	. . . . 5 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
38	5, 35, 36, 37	lmodvscl 20481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	11, 19, 34, 38	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
40		evl1gsummon.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
41		evl1gsummon.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
42		evl1gsummon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42	evl1gsumaddval 21869	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))))
44	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ CRing)
45	42	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐾)
46		evl1gsummon.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
47		evl1gsummon.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
48		evl1gsummon.t2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
49	1, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48	evl1scvarpwval 21874	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))
50	49	mpteq2dva 5247	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
51	50	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
52	43, 51	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197   Σ_g cgsu 17382   ↑_s cpws 17388  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692  eval₁ce1 21824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-evl1 21826

This theorem is referenced by: (None)