MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsummon 21747
Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsummon.q 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
evl1gsummon.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
evl1gsummon.w π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
evl1gsummon.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
evl1gsummon.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
evl1gsummon.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
evl1gsummon.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
evl1gsummon.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
evl1gsummon.p ↑ = (.gβ€˜πΊ)
evl1gsummon.t1 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
evl1gsummon.t2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
evl1gsummon.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† β„•0)
evl1gsummon.f (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝑁 ∈ β„•0)
evl1gsummon.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
evl1gsummon (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))))β€˜πΆ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   Β· (π‘₯)   Γ— (π‘₯)   𝐸(π‘₯)   ↑ (π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   𝑁(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem evl1gsummon
StepHypRef Expression
1 evl1gsummon.q . . 3 𝑄 = (eval1β€˜π‘…)
2 evl1gsummon.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
3 evl1gsummon.w . . 3 π‘Š = (Poly1β€˜π‘…)
4 eqid 2737 . . 3 (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5 evl1gsummon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 evl1gsummon.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 19983 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
93ply1lmod 21639 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
1110adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ π‘Š ∈ LMod)
12 evl1gsummon.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
1312r19.21bi 3237 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
143ply1sca 21640 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š))
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š))
1615fveq2d 6851 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
172, 16eqtrid 2789 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1817adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1913, 18eleqtrd 2840 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
20 evl1gsummon.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Š)
2120, 5mgpbas 19909 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
22 evl1gsummon.p . . . . 5 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
233ply1ring 21635 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Ring)
248, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Ring)
2520ringmgp 19977 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
2726adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
28 evl1gsummon.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 𝑁 ∈ β„•0)
2928r19.21bi 3237 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
308adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
31 evl1gsummon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
3231, 3, 5vr1cl 21604 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3330, 32syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3421, 22, 27, 29, 33mulgnn0cld 18904 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
35 eqid 2737 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
36 evl1gsummon.t1 . . . . 5 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
37 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
385, 35, 36, 37lmodvscl 20355 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
3911, 19, 34, 38syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
40 evl1gsummon.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 βŠ† β„•0)
41 evl1gsummon.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ Fin)
42 evl1gsummon.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
431, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42evl1gsumaddval 21741 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))))β€˜πΆ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ))))
446adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
4542adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
46 evl1gsummon.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
47 evl1gsummon.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜π»)
48 evl1gsummon.t2 . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
491, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48evl1scvarpwval 21746 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑀) β†’ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ) = (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))
5049mpteq2dva 5210 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ)) = (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢))))
5150oveq2d 7378 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ ((π‘„β€˜(𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))β€˜πΆ))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))))
5243, 51eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(π‘Š Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Γ— (𝑁 ↑ 𝑋)))))β€˜πΆ) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 Β· (𝑁𝐸𝐢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„•0cn0 12420  Basecbs 17090  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144   Ξ£g cgsu 17329   ↑s cpws 17335  Mndcmnd 18563  .gcmg 18879  mulGrpcmgp 19903  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  LModclmod 20338  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  eval1ce1 21696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-evl1 21698
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator