Theorem evl1gsummon 22390

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsummon.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsummon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsummon.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsummon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsummon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1gsummon.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gsummon.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1gsummon.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummon.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1gsummon.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1gsummon.t2	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1gsummon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
evl1gsummon.f	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1gsummon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummon	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   · (𝑥)   × (𝑥)   𝐸(𝑥)   ↑ (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummon.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsummon.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		evl1gsummon.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5		evl1gsummon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		evl1gsummon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1lmod 22274	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ LMod)
12		evl1gsummon.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
13	12	r19.21bi 3257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14	3	ply1sca 22275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
16	15	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	2, 16	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	13, 18	eleqtrd 2846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		evl1gsummon.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 5	mgpbas 20167	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		evl1gsummon.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
23	3	ply1ring 22270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
24	8, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
25	20	ringmgp 20266	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		evl1gsummon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
29	28	r19.21bi 3257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
31		evl1gsummon.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32	31, 3, 5	vr1cl 22240	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	21, 22, 27, 29, 33	mulgnn0cld 19135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
35		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
36		evl1gsummon.t1	. . . . 5 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
38	5, 35, 36, 37	lmodvscl 20898	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	11, 19, 34, 38	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
40		evl1gsummon.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
41		evl1gsummon.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
42		evl1gsummon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42	evl1gsumaddval 22384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))))
44	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ CRing)
45	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐾)
46		evl1gsummon.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
47		evl1gsummon.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
48		evl1gsummon.t2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
49	1, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48	evl1scvarpwval 22389	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))
50	49	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
51	50	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
52	43, 51	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315   Σ_g cgsu 17500   ↑_s cpws 17506  Mndcmnd 18772  ._gcmg 19107  mulGrpcmgp 20161  Ringcrg 20260  CRingccrg 20261  LModclmod 20880  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199  eval₁ce1 22339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-evl1 22341

This theorem is referenced by: (None)