Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1gsummon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1gsummon 20999
 Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1gsummon.q 𝑄 = (eval1𝑅)
evl1gsummon.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsummon.w 𝑊 = (Poly1𝑅)
evl1gsummon.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsummon.x 𝑋 = (var1𝑅)
evl1gsummon.h 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gsummon.e 𝐸 = (.g𝐻)
evl1gsummon.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummon.p = (.g𝐺)
evl1gsummon.t1 × = ( ·𝑠𝑊)
evl1gsummon.t2 · = (.r𝑅)
evl1gsummon.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a (𝜑 → ∀𝑥𝑀 𝐴𝐾)
evl1gsummon.m (𝜑𝑀 ⊆ ℕ0)
evl1gsummon.f (𝜑𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n (𝜑 → ∀𝑥𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1gsummon.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
evl1gsummon (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   · (𝑥)   × (𝑥)   𝐸(𝑥)   (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummon
StepHypRef Expression
1 evl1gsummon.q . . 3 𝑄 = (eval1𝑅)
2 evl1gsummon.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
3 evl1gsummon.w . . 3 𝑊 = (Poly1𝑅)
4 eqid 2798 . . 3 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
5 evl1gsummon.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
6 evl1gsummon.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
7 crngring 19306 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
93ply1lmod 20891 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
1110adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝑊 ∈ LMod)
12 evl1gsummon.a . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑀 𝐴𝐾)
1312r19.21bi 3173 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝐴𝐾)
143ply1sca 20892 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
156, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑊))
1615fveq2d 6650 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
172, 16syl5eq 2845 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1817adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1913, 18eleqtrd 2892 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
203ply1ring 20887 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
218, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Ring)
22 evl1gsummon.g . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
2322ringmgp 19300 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
2421, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2524adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝐺 ∈ Mnd)
26 evl1gsummon.n . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
2726r19.21bi 3173 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
288adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
29 evl1gsummon.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
3029, 3, 5vr1cl 20856 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
3128, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝑋𝐵)
3222, 5mgpbas 19242 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
33 evl1gsummon.p . . . . . 6 = (.g𝐺)
3432, 33mulgnn0cl 18240 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
3525, 27, 31, 34syl3anc 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑀) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
36 eqid 2798 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
37 evl1gsummon.t1 . . . . 5 × = ( ·𝑠𝑊)
38 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
395, 36, 37, 38lmodvscl 19648 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 × (𝑁 𝑋)) ∈ 𝐵)
4011, 19, 35, 39syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑥𝑀) → (𝐴 × (𝑁 𝑋)) ∈ 𝐵)
41 evl1gsummon.m . . 3 (𝜑𝑀 ⊆ ℕ0)
42 evl1gsummon.f . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
43 evl1gsummon.c . . 3 (𝜑𝐶𝐾)
441, 2, 3, 4, 5, 6, 40, 41, 42, 43evl1gsumaddval 20993 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋)))‘𝐶))))
456adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝑅 ∈ CRing)
4643adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑀) → 𝐶𝐾)
47 evl1gsummon.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
48 evl1gsummon.e . . . . 5 𝐸 = (.g𝐻)
49 evl1gsummon.t2 . . . . 5 · = (.r𝑅)
501, 3, 22, 29, 2, 33, 45, 27, 37, 13, 46, 47, 48, 49evl1scvarpwval 20998 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑀) → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))
5150mpteq2dva 5126 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋)))‘𝐶)) = (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
5251oveq2d 7152 . 2 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 𝑋)))‘𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
5344, 52eqtrd 2833 1 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℕ0cn0 11888  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564   Σg cgsu 16709   ↑s cpws 16715  Mndcmnd 17906  .gcmg 18220  mulGrpcmgp 19236  Ringcrg 19294  CRingccrg 19295  LModclmod 19631  var1cv1 20815  Poly1cpl1 20816  eval1ce1 20948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-hash 13690  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-srg 19253  df-ring 19296  df-cring 19297  df-rnghom 19467  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-assa 20547  df-asp 20548  df-ascl 20549  df-psr 20600  df-mvr 20601  df-mpl 20602  df-opsr 20604  df-evls 20751  df-evl 20752  df-psr1 20819  df-vr1 20820  df-ply1 20821  df-evl1 20950 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator