Theorem evl1gsummon 22416

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping an additive group sum of a multiple of an exponentiation of a variable to a group sum of the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1gsummon.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1gsummon.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
evl1gsummon.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1gsummon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
evl1gsummon.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1gsummon.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1gsummon.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1gsummon.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1gsummon.p	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1gsummon.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1gsummon.t2	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1gsummon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1gsummon.a	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
evl1gsummon.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
evl1gsummon.f	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
evl1gsummon.n	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1gsummon.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evl1gsummon	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   · (𝑥)   × (𝑥)   𝐸(𝑥)   ↑ (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem evl1gsummon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1gsummon.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1gsummon.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		evl1gsummon.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
5		evl1gsummon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		evl1gsummon.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		crngring 20282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	3	ply1lmod 22301	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑊 ∈ LMod)
12		evl1gsummon.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝐴 ∈ 𝐾)
13	12	r19.21bi 3253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐾)
14	3	ply1sca 22302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑊))
16	15	fveq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17	2, 16	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
18	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19	13, 18	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
20		evl1gsummon.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
21	20, 5	mgpbas 20182	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
22		evl1gsummon.p	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
23	3	ply1ring 22297	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
24	8, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
25	20	ringmgp 20276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
27	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐺 ∈ Mnd)
28		evl1gsummon.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑀 𝑁 ∈ ℕ0)
29	28	r19.21bi 3253	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
30	8	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
31		evl1gsummon.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
32	31, 3, 5	vr1cl 22267	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
33	30, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑋 ∈ 𝐵)
34	21, 22, 27, 29, 33	mulgnn0cld 19128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
35		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
36		evl1gsummon.t1	. . . . 5 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
37		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
38	5, 35, 36, 37	lmodvscl 20933	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
39	11, 19, 34, 38	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
40		evl1gsummon.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ⊆ ℕ0)
41		evl1gsummon.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
42		evl1gsummon.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 39, 40, 41, 42	evl1gsumaddval 22410	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))))
44	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ CRing)
45	42	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐾)
46		evl1gsummon.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
47		evl1gsummon.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
48		evl1gsummon.t2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
49	1, 3, 20, 31, 2, 22, 44, 29, 36, 13, 45, 46, 47, 48	evl1scvarpwval 22415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑀) → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))
50	49	mpteq2dva 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
51	50	oveq2d 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))
52	43, 51	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))))‘𝐶) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ 𝑀 ↦ (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  ℕ₀cn0 12475  Basecbs 17236  ._rcmulr 17278  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281   Σ_g cgsu 17460   ↑_s cpws 17466  Mndcmnd 18759  ._gcmg 19100  mulGrpcmgp 20177  Ringcrg 20270  CRingccrg 20271  LModclmod 20915  var₁cv1 22226  Poly₁cpl1 22227  eval₁ce1 22365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-opsr 21953  df-evls 22115  df-evl 22116  df-psr1 22230  df-vr1 22231  df-ply1 22232  df-evl1 22367

This theorem is referenced by: (None)