Theorem evl1scvarpwval 20526

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1scvarpwval.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1scvarpwval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Proof of Theorem evl1scvarpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3		evl1varpw.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		evl1varpw.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		evl1scvarpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		crngring 19307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2	ply1ring 20415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
11		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12	11	ringmgp 19302	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
14		evl1varpw.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		evl1varpw.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
16	15, 2, 4	vr1cl 20384	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 4	mgpbas 19244	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
19		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20	18, 19	mulgnn0cl 18243	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
21	13, 14, 17, 20	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
22		evl1scvarpwval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
23		evl1scvarpwval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	1, 2, 11, 15, 3, 19, 5, 14, 6, 22, 23	evl1varpwval 20524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
25	21, 24	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶)))
26		evl1scvarpw.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
27		evl1scvarpw.t1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		evl1scvarpwval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25, 26, 27, 28	evl1vsd 20506	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
30	29	simprd 498	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℕ₀cn0 11896  Basecbs 16482  ._rcmulr 16565   ·_𝑠 cvsca 16568  Mndcmnd 17910  ._gcmg 18223  mulGrpcmgp 19238  Ringcrg 19296  CRingccrg 19297  var₁cv1 20343  Poly₁cpl1 20344  eval₁ce1 20476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-ofr 7409  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13690  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-srg 19255  df-ring 19298  df-cring 19299  df-rnghom 19466  df-subrg 19532  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-assa 20084  df-asp 20085  df-ascl 20086  df-psr 20135  df-mvr 20136  df-mpl 20137  df-opsr 20139  df-evls 20285  df-evl 20286  df-psr1 20347  df-vr1 20348  df-ply1 20349  df-evl1 20478

This theorem is referenced by:  evl1gsummon  20527