Theorem evl1scvarpwval 22292

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1scvarpwval.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1scvarpwval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Proof of Theorem evl1scvarpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3		evl1varpw.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		evl1varpw.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		evl1scvarpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		evl1varpw.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
8	7, 4	mgpbas 20084	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
9		evl1varpw.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
10		crngring 20189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	2	ply1ring 22175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
14	7	ringmgp 20183	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
16		evl1varpw.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		evl1varpw.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
18	17, 2, 4	vr1cl 22145	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	11, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20	8, 9, 15, 16, 19	mulgnn0cld 19054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
21		evl1scvarpwval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
22		evl1scvarpwval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23	1, 2, 7, 17, 3, 9, 5, 16, 6, 21, 22	evl1varpwval 22290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
24	20, 23	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶)))
25		evl1scvarpw.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
26		evl1scvarpw.t1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		evl1scvarpwval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25, 26, 27	evl1vsd 22272	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
29	28	simprd 494	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233   ·_𝑠 cvsca 17236  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  var₁cv1 22103  Poly₁cpl1 22104  eval₁ce1 22242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22025  df-evl 22026  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-evl1 22244

This theorem is referenced by:  evl1gsummon  22293