Theorem evl1scvarpwval 20229

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1scvarpwval.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1scvarpwval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Proof of Theorem evl1scvarpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3		evl1varpw.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		evl1varpw.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		evl1scvarpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		crngring 19031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2	ply1ring 20119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
11		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12	11	ringmgp 19026	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
14		evl1varpw.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		evl1varpw.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
16	15, 2, 4	vr1cl 20088	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 4	mgpbas 18968	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
19		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20	18, 19	mulgnn0cl 18029	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
21	13, 14, 17, 20	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
22		evl1scvarpwval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
23		evl1scvarpwval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	1, 2, 11, 15, 3, 19, 5, 14, 6, 22, 23	evl1varpwval 20227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
25	21, 24	jca 504	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶)))
26		evl1scvarpw.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
27		evl1scvarpw.t1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		evl1scvarpwval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25, 26, 27, 28	evl1vsd 20209	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
30	29	simprd 488	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  ℕ₀cn0 11707  Basecbs 16339  ._rcmulr 16422   ·_𝑠 cvsca 16425  Mndcmnd 17762  ._gcmg 18011  mulGrpcmgp 18962  Ringcrg 19020  CRingccrg 19021  var₁cv1 20047  Poly₁cpl1 20048  eval₁ce1 20180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-ofr 7228  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-hom 16445  df-cco 16446  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-prds 16577  df-pws 16579  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-srg 18979  df-ring 19022  df-cring 19023  df-rnghom 19190  df-subrg 19256  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-assa 19806  df-asp 19807  df-ascl 19808  df-psr 19850  df-mvr 19851  df-mpl 19852  df-opsr 19854  df-evls 19999  df-evl 20000  df-psr1 20051  df-vr1 20052  df-ply1 20053  df-evl1 20182

This theorem is referenced by:  evl1gsummon  20230