Theorem evl1scvarpwval 21636

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1scvarpwval.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1scvarpwval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Proof of Theorem evl1scvarpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3		evl1varpw.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		evl1varpw.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		evl1scvarpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		crngring 19890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
9	2	ply1ring 21525	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
11		evl1varpw.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
12	11	ringmgp 19884	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
14		evl1varpw.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		evl1varpw.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
16	15, 2, 4	vr1cl 21494	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
18	11, 4	mgpbas 19821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
19		evl1varpw.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
20	18, 19	mulgnn0cl 18817	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
21	13, 14, 17, 20	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
22		evl1scvarpwval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
23		evl1scvarpwval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
24	1, 2, 11, 15, 3, 19, 5, 14, 6, 22, 23	evl1varpwval 21634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
25	21, 24	jca 513	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶)))
26		evl1scvarpw.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
27		evl1scvarpw.t1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
28		evl1scvarpwval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 25, 26, 27, 28	evl1vsd 21616	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
30	29	simprd 497	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℕ₀cn0 12339  Basecbs 17010  ._rcmulr 17061   ·_𝑠 cvsca 17064  Mndcmnd 18483  ._gcmg 18797  mulGrpcmgp 19815  Ringcrg 19878  CRingccrg 19879  var₁cv1 21453  Poly₁cpl1 21454  eval₁ce1 21586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-ring 19880  df-cring 19881  df-rnghom 20054  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-assa 21166  df-asp 21167  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-evls 21388  df-evl 21389  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-evl1 21588

This theorem is referenced by:  evl1gsummon  21637