Theorem evl1scvarpwval 22414

Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1varpw.q	⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
evl1varpw.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1varpw.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
evl1varpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
evl1varpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1varpw.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
evl1varpw.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1varpw.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evl1scvarpw.t1	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evl1scvarpw.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
evl1scvarpwval.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
evl1scvarpwval.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
evl1scvarpwval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
evl1scvarpwval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Proof of Theorem evl1scvarpwval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1varpw.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (eval1‘𝑅)
2		evl1varpw.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
3		evl1varpw.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5		evl1varpw.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		evl1scvarpwval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		evl1varpw.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑊)
8	7, 4	mgpbas 20181	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
9		evl1varpw.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
10		crngring 20281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
11	5, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12	2	ply1ring 22296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
13	11, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
14	7	ringmgp 20275	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
16		evl1varpw.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		evl1varpw.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
18	17, 2, 4	vr1cl 22266	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
19	11, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
20	8, 9, 15, 16, 19	mulgnn0cld 19127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
21		evl1scvarpwval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
22		evl1scvarpwval.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
23	1, 2, 7, 17, 3, 9, 5, 16, 6, 21, 22	evl1varpwval 22412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
24	20, 23	jca 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝐶) = (𝑁𝐸𝐶)))
25		evl1scvarpw.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
26		evl1scvarpw.t1	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
27		evl1scvarpwval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25, 26, 27	evl1vsd 22394	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)) ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶))))
29	28	simprd 499	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 × (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝐶) = (𝐴 · (𝑁𝐸𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℕ₀cn0 12474  Basecbs 17235  ._rcmulr 17277   ·_𝑠 cvsca 17280  Mndcmnd 18758  ._gcmg 19099  mulGrpcmgp 20176  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270  var₁cv1 22225  Poly₁cpl1 22226  eval₁ce1 22364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-hash 14337  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-srg 20223  df-ring 20271  df-cring 20272  df-rhm 20507  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-lsp 21026  df-assa 21892  df-asp 21893  df-ascl 21894  df-psr 21948  df-mvr 21949  df-mpl 21950  df-opsr 21952  df-evls 22114  df-evl 22115  df-psr1 22229  df-vr1 22230  df-ply1 22231  df-evl1 22366

This theorem is referenced by:  evl1gsummon  22415