MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evl1scvarpwval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evl1scvarpwval 22270
Description: Value of a univariate polynomial evaluation mapping a multiple of an exponentiation of a variable to the multiple of the exponentiation of the evaluated variable. (Contributed by AV, 18-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evl1varpw.q ๐‘„ = (eval1โ€˜๐‘…)
evl1varpw.w ๐‘Š = (Poly1โ€˜๐‘…)
evl1varpw.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘Š)
evl1varpw.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
evl1varpw.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
evl1varpw.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
evl1varpw.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
evl1varpw.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
evl1scvarpw.t1 ร— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
evl1scvarpw.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
evl1scvarpwval.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
evl1scvarpwval.h ๐ป = (mulGrpโ€˜๐‘…)
evl1scvarpwval.e ๐ธ = (.gโ€˜๐ป)
evl1scvarpwval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
evl1scvarpwval (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ€˜(๐ด ร— (๐‘ โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ถ) = (๐ด ยท (๐‘๐ธ๐ถ)))

Proof of Theorem evl1scvarpwval
StepHypRef Expression
1 evl1varpw.q . . 3 ๐‘„ = (eval1โ€˜๐‘…)
2 evl1varpw.w . . 3 ๐‘Š = (Poly1โ€˜๐‘…)
3 evl1varpw.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2727 . . 3 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
5 evl1varpw.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
6 evl1scvarpwval.c . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐ต)
7 evl1varpw.g . . . . . 6 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘Š)
87, 4mgpbas 20071 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐บ)
9 evl1varpw.e . . . . 5 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
10 crngring 20176 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
115, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
122ply1ring 22153 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘Š โˆˆ Ring)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ Ring)
147ringmgp 20170 . . . . . 6 (๐‘Š โˆˆ Ring โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
16 evl1varpw.n . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
17 evl1varpw.x . . . . . . 7 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
1817, 2, 4vr1cl 22123 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
1911, 18syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
208, 9, 15, 16, 19mulgnn0cld 19041 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
21 evl1scvarpwval.h . . . . 5 ๐ป = (mulGrpโ€˜๐‘…)
22 evl1scvarpwval.e . . . . 5 ๐ธ = (.gโ€˜๐ป)
231, 2, 7, 17, 3, 9, 5, 16, 6, 21, 22evl1varpwval 22268 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ€˜(๐‘ โ†‘ ๐‘‹))โ€˜๐ถ) = (๐‘๐ธ๐ถ))
2420, 23jca 511 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โ†‘ ๐‘‹) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง ((๐‘„โ€˜(๐‘ โ†‘ ๐‘‹))โ€˜๐ถ) = (๐‘๐ธ๐ถ)))
25 evl1scvarpw.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
26 evl1scvarpw.t1 . . 3 ร— = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
27 evl1scvarpwval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
281, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25, 26, 27evl1vsd 22250 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ร— (๐‘ โ†‘ ๐‘‹)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š) โˆง ((๐‘„โ€˜(๐ด ร— (๐‘ โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ถ) = (๐ด ยท (๐‘๐ธ๐ถ))))
2928simprd 495 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„โ€˜(๐ด ร— (๐‘ โ†‘ ๐‘‹)))โ€˜๐ถ) = (๐ด ยท (๐‘๐ธ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„•0cn0 12494  Basecbs 17171  .rcmulr 17225   ยท๐‘  cvsca 17228  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  var1cv1 22082  Poly1cpl1 22083  eval1ce1 22220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-cring 20167  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-assa 21774  df-asp 21775  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831  df-opsr 21833  df-evls 22005  df-evl 22006  df-psr1 22086  df-vr1 22087  df-ply1 22088  df-evl1 22222
This theorem is referenced by:  evl1gsummon  22271
  Copyright terms: Public domain W3C validator