Theorem coe1pwmul 19864

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ↑   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		coe1pwmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1pwmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		eqid 2771	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1pwmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1pwmul.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1pwmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1pwmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
10		eqid 2771	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		coe1pwmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1pwmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	2, 13	ringidcl 18776	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16		coe1pwmul.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	coe1tmmul 19862	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
18	3	ply1sca 19838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	12, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
20	19	fveq2d 6337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
21	20	oveq1d 6811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)))
22	3	ply1lmod 19837	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24	3	ply1ring 19833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	6	ringmgp 18761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Mnd)
27	4, 3, 8	vr1cl 19802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	12, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	6, 8	mgpbas 18703	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
30	29, 7	mulgnn0cl 17766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 16, 28, 30	syl3anc 1476	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
32		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
33		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
34	8, 32, 5, 33	lmodvs1 19101	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
35	23, 31, 34	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
36	21, 35	eqtrd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
37	36	fvoveq1d 6818	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)))
38	12	ad2antrr 705	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
39		eqid 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
40	39, 8, 3, 2	coe1f 19796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
42	41	ad2antrr 705	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
43	16	ad2antrr 705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
44		simplr 752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
45		simpr 471	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
46		nn0sub2 11645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1476	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
48	42, 47	ffvelrnd 6505	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
49	2, 10, 13	ringlidm 18779	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
50	38, 48, 49	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
51	50	ifeq1da 4256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) = if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
52	51	mpteq2dva 4879	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
53	17, 37, 52	3eqtr3d 2813	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4226   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ≤ cle 10281   − cmin 10472  ℕ₀cn0 11499  Basecbs 16064  ._rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·_𝑠 cvsca 16153  0_gc0g 16308  Mndcmnd 17502  ._gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  1_rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  var₁cv1 19761  Poly₁cpl1 19762  coe₁cco1 19763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768

This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  19865