MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1pwmul 22240
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z 0 = (0g𝑅)
coe1pwmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1pwmul.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1pwmul.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e = (.g𝑁)
coe1pwmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t · = (.r𝑃)
coe1pwmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a (𝜑𝐴𝐵)
coe1pwmul.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1pwmul (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥,   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . 3 0 = (0g𝑅)
2 eqid 2725 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 coe1pwmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1pwmul.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
5 eqid 2725 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 coe1pwmul.n . . 3 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7 coe1pwmul.e . . 3 = (.g𝑁)
8 coe1pwmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1pwmul.t . . 3 · = (.r𝑃)
10 eqid 2725 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 coe1pwmul.a . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12 coe1pwmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2725 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
142, 13ringidcl 20231 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16 coe1pwmul.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16coe1tmmul 22238 . 2 (𝜑 → (coe1‘(((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
183ply1sca 22212 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1912, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2019fveq2d 6900 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
2120oveq1d 7434 . . . 4 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)))
223ply1lmod 22211 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
2312, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
246, 8mgpbas 20109 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑁)
253ply1ring 22207 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
266ringmgp 20208 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
2712, 25, 263syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Mnd)
284, 3, 8vr1cl 22177 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
2912, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
3024, 7, 27, 16, 29mulgnn0cld 19075 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵)
31 eqid 2725 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
32 eqid 2725 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
338, 31, 5, 32lmodvs1 20802 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3423, 30, 33syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3521, 34eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3635fvoveq1d 7441 . 2 (𝜑 → (coe1‘(((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)))
3712ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (coe1𝐴) = (coe1𝐴)
3938, 8, 3, 2coe1f 22171 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4011, 39syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4140ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4216ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
43 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
44 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷𝑥)
45 nn0sub2 12661 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝐷𝑥) → (𝑥𝐷) ∈ ℕ0)
4642, 43, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝑥𝐷) ∈ ℕ0)
4741, 46ffvelcdmd 7094 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
482, 10, 13ringlidm 20234 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
4937, 47, 48syl2anc 582 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
5049ifeq1da 4561 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 ) = if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))
5150mpteq2dva 5249 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
5217, 36, 513eqtr3d 2773 1 (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cle 11286  cmin 11481  0cn0 12510  Basecbs 17199  .rcmulr 17253  Scalarcsca 17255   ·𝑠 cvsca 17256  0gc0g 17440  Mndcmnd 18713  .gcmg 19047  mulGrpcmgp 20103  1rcur 20150  Ringcrg 20202  LModclmod 20772  var1cv1 22135  Poly1cpl1 22136  coe1cco1 22137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-hash 14334  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-hom 17276  df-cco 17277  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-prds 17448  df-pws 17450  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19048  df-subg 19103  df-ghm 19193  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-subrng 20512  df-subrg 20537  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-psr 21876  df-mvr 21877  df-mpl 21878  df-opsr 21880  df-psr1 22139  df-vr1 22140  df-ply1 22141  df-coe1 22142
This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  22241
  Copyright terms: Public domain W3C validator