Theorem coe1pwmul 20140

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ↑   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		coe1pwmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1pwmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		eqid 2772	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1pwmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1pwmul.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1pwmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1pwmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
10		eqid 2772	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		coe1pwmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1pwmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	2, 13	ringidcl 19031	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16		coe1pwmul.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	coe1tmmul 20138	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
18	3	ply1sca 20114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	12, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
20	19	fveq2d 6497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
21	20	oveq1d 6985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)))
22	3	ply1lmod 20113	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24	3	ply1ring 20109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	6	ringmgp 19016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Mnd)
27	4, 3, 8	vr1cl 20078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	12, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	6, 8	mgpbas 18958	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
30	29, 7	mulgnn0cl 18019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 16, 28, 30	syl3anc 1351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
32		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
33		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
34	8, 32, 5, 33	lmodvs1 19374	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
35	23, 31, 34	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
36	21, 35	eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
37	36	fvoveq1d 6992	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)))
38	12	ad2antrr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
39		eqid 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
40	39, 8, 3, 2	coe1f 20072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
42	41	ad2antrr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
43	16	ad2antrr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
44		simplr 756	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
45		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
46		nn0sub2 11849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1351	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
48	42, 47	ffvelrnd 6671	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
49	2, 10, 13	ringlidm 19034	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
50	38, 48, 49	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
51	50	ifeq1da 4374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) = if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
52	51	mpteq2dva 5016	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
53	17, 37, 52	3eqtr3d 2816	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048  ifcif 4344   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970   ≤ cle 10467   − cmin 10662  ℕ₀cn0 11700  Basecbs 16329  ._rcmulr 16412  Scalarcsca 16414   ·_𝑠 cvsca 16415  0_gc0g 16559  Mndcmnd 17752  ._gcmg 18001  mulGrpcmgp 18952  1_rcur 18964  Ringcrg 19010  LModclmod 19346  var₁cv1 20037  Poly₁cpl1 20038  coe₁cco1 20039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-ofr 7222  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-supp 7627  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-ixp 8252  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-fsupp 8621  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-hash 13499  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-ress 16337  df-plusg 16424  df-mulr 16425  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-tset 16430  df-ple 16431  df-0g 16561  df-gsum 16562  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-mhm 17793  df-submnd 17794  df-grp 17884  df-minusg 17885  df-sbg 17886  df-mulg 18002  df-subg 18050  df-ghm 18117  df-cntz 18208  df-cmn 18658  df-abl 18659  df-mgp 18953  df-ur 18965  df-ring 19012  df-subrg 19246  df-lmod 19348  df-lss 19416  df-psr 19840  df-mvr 19841  df-mpl 19842  df-opsr 19844  df-psr1 20041  df-vr1 20042  df-ply1 20043  df-coe1 20044

This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  20141