Theorem coe1pwmul 22477

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ↑   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		coe1pwmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1pwmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		eqid 2766	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1pwmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1pwmul.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1pwmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1pwmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
10		eqid 2766	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		coe1pwmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1pwmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	2, 13	ringidcl 20380	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16		coe1pwmul.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	coe1tmmul 22475	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
18	3	ply1sca 22449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	12, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
20	19	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
21	20	oveq1d 7438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)))
22	3	ply1lmod 22448	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
23	12, 22	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24	6, 8	mgpbas 20252	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
25	3	ply1ring 22444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
26	6	ringmgp 20352	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
27	12, 25, 26	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Mnd)
28	4, 3, 8	vr1cl 22414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	12, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	24, 7, 27, 16, 29	mulgnn0cld 19192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
31		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
32		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
33	8, 31, 5, 32	lmodvs1 21048	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
34	23, 30, 33	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
35	21, 34	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
36	35	fvoveq1d 7445	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)))
37	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
38		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
39	38, 8, 3, 2	coe1f 22408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	11, 39	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
41	40	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
42	16	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
43		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
44		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
45		nn0sub2 12675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
47	41, 46	ffvelcdmd 7087	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
48	2, 10, 13	ringlidm 20384	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
49	37, 47, 48	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
50	49	ifeq1da 4524	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) = if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
51	50	mpteq2dva 5209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
52	17, 36, 51	3eqtr3d 2809	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ≤ cle 11262   − cmin 11459  ℕ₀cn0 12522  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  0_gc0g 17517  Mndcmnd 18821  ._gcmg 19164  mulGrpcmgp 20247  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  LModclmod 21018  var₁cv1 22373  Poly₁cpl1 22374  coe₁cco1 22375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-coe1 22380

This theorem is used by:  coe1pwmulfv  22478