Theorem coe1pwmul 21360

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ↑   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		coe1pwmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1pwmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1pwmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1pwmul.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1pwmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1pwmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
10		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		coe1pwmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1pwmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	2, 13	ringidcl 19722	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16		coe1pwmul.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	coe1tmmul 21358	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
18	3	ply1sca 21334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	12, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
20	19	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
21	20	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)))
22	3	ply1lmod 21333	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24	3	ply1ring 21329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
25	6	ringmgp 19704	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
26	12, 24, 25	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Mnd)
27	4, 3, 8	vr1cl 21298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
28	12, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	6, 8	mgpbas 19641	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
30	29, 7	mulgnn0cl 18635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 16, 28, 30	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
32		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
33		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
34	8, 32, 5, 33	lmodvs1 20066	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
35	23, 31, 34	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
36	21, 35	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
37	36	fvoveq1d 7277	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)))
38	12	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
39		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
40	39, 8, 3, 2	coe1f 21292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
42	41	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
43	16	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
44		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
46		nn0sub2 12311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
48	42, 47	ffvelrnd 6944	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
49	2, 10, 13	ringlidm 19725	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
50	38, 48, 49	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
51	50	ifeq1da 4487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) = if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
52	51	mpteq2dva 5170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
53	17, 37, 52	3eqtr3d 2786	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264

This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  21361