Theorem coe1pwmul 22172

Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1pwmul.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
coe1pwmul.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1pwmul.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
coe1pwmul.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
coe1pwmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t	⊢ · = (.r‘𝑃)
coe1pwmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
coe1pwmul.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
coe1pwmul	⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ↑   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1pwmul.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		coe1pwmul.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1pwmul.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
6		coe1pwmul.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7		coe1pwmul.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
8		coe1pwmul.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
9		coe1pwmul.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑃)
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11		coe1pwmul.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		coe1pwmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
14	2, 13	ringidcl 20181	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
15	12, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16		coe1pwmul.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16	coe1tmmul 22170	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )))
18	3	ply1sca 22144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	12, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
20	19	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
21	20	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)))
22	3	ply1lmod 22143	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
23	12, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
24	6, 8	mgpbas 20061	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
25	3	ply1ring 22139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
26	6	ringmgp 20155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
27	12, 25, 26	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Mnd)
28	4, 3, 8	vr1cl 22109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
29	12, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	24, 7, 27, 16, 29	mulgnn0cld 19034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
31		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
32		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
33	8, 31, 5, 32	lmodvs1 20803	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
34	23, 30, 33	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
35	21, 34	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) = (𝐷 ↑ 𝑋))
36	35	fvoveq1d 7412	. 2 ⊢ (𝜑 → (coe1‘(((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(𝐷 ↑ 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)))
37	12	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
38		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (coe1‘𝐴) = (coe1‘𝐴)
39	38, 8, 3, 2	coe1f 22103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
40	11, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
41	40	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (coe1‘𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
42	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
43		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → 𝐷 ≤ 𝑥)
45		nn0sub2 12602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
46	42, 43, 44, 45	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → (𝑥 − 𝐷) ∈ ℕ0)
47	41, 46	ffvelcdmd 7060	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
48	2, 10, 13	ringlidm 20185	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
49	37, 47, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷 ≤ 𝑥) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))) = ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)))
50	49	ifeq1da 4523	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 ) = if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 ))
51	50	mpteq2dva 5203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))
52	17, 36, 51	3eqtr3d 2773	1 ⊢ (𝜑 → (coe1‘((𝐷 ↑ 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷 ≤ 𝑥, ((coe1‘𝐴)‘(𝑥 − 𝐷)), 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  LModclmod 20773  var₁cv1 22067  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-vr1 22072  df-ply1 22073  df-coe1 22074

This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  22173