MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1pwmul 19864
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z 0 = (0g𝑅)
coe1pwmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1pwmul.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1pwmul.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e = (.g𝑁)
coe1pwmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t · = (.r𝑃)
coe1pwmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a (𝜑𝐴𝐵)
coe1pwmul.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1pwmul (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥,   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . 3 0 = (0g𝑅)
2 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 coe1pwmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1pwmul.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
5 eqid 2771 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 coe1pwmul.n . . 3 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7 coe1pwmul.e . . 3 = (.g𝑁)
8 coe1pwmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1pwmul.t . . 3 · = (.r𝑃)
10 eqid 2771 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 coe1pwmul.a . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12 coe1pwmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2771 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
142, 13ringidcl 18776 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16 coe1pwmul.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16coe1tmmul 19862 . 2 (𝜑 → (coe1‘(((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
183ply1sca 19838 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1912, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2019fveq2d 6337 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
2120oveq1d 6811 . . . 4 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)))
223ply1lmod 19837 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
2312, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
243ply1ring 19833 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
256ringmgp 18761 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
2612, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Mnd)
274, 3, 8vr1cl 19802 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
2812, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
296, 8mgpbas 18703 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑁)
3029, 7mulgnn0cl 17766 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵)
3126, 16, 28, 30syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵)
32 eqid 2771 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
33 eqid 2771 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
348, 32, 5, 33lmodvs1 19101 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3523, 31, 34syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3621, 35eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3736fvoveq1d 6818 . 2 (𝜑 → (coe1‘(((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)))
3812ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
39 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (coe1𝐴) = (coe1𝐴)
4039, 8, 3, 2coe1f 19796 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4111, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4241ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4316ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
44 simplr 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
45 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷𝑥)
46 nn0sub2 11645 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝐷𝑥) → (𝑥𝐷) ∈ ℕ0)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝑥𝐷) ∈ ℕ0)
4842, 47ffvelrnd 6505 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
492, 10, 13ringlidm 18779 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
5038, 48, 49syl2anc 573 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
5150ifeq1da 4256 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 ) = if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))
5251mpteq2dva 4879 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
5317, 37, 523eqtr3d 2813 1 (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cle 10281  cmin 10472  0cn0 11499  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  1rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762  coe1cco1 19763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768
This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  19865
  Copyright terms: Public domain W3C validator