MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1pwmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1pwmul 20912
Description: Coefficient vector of a polynomial multiplied on the left by a variable power. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1pwmul.z 0 = (0g𝑅)
coe1pwmul.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
coe1pwmul.x 𝑋 = (var1𝑅)
coe1pwmul.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
coe1pwmul.e = (.g𝑁)
coe1pwmul.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1pwmul.t · = (.r𝑃)
coe1pwmul.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
coe1pwmul.a (𝜑𝐴𝐵)
coe1pwmul.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
coe1pwmul (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥,   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem coe1pwmul
StepHypRef Expression
1 coe1pwmul.z . . 3 0 = (0g𝑅)
2 eqid 2801 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 coe1pwmul.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 coe1pwmul.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
5 eqid 2801 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
6 coe1pwmul.n . . 3 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
7 coe1pwmul.e . . 3 = (.g𝑁)
8 coe1pwmul.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
9 coe1pwmul.t . . 3 · = (.r𝑃)
10 eqid 2801 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
11 coe1pwmul.a . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
12 coe1pwmul.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2801 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
142, 13ringidcl 19318 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1512, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
16 coe1pwmul.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16coe1tmmul 20910 . 2 (𝜑 → (coe1‘(((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )))
183ply1sca 20886 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1912, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2019fveq2d 6653 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
2120oveq1d 7154 . . . 4 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)))
223ply1lmod 20885 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
2312, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
243ply1ring 20881 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
256ringmgp 19300 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑁 ∈ Mnd)
2612, 24, 253syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ Mnd)
274, 3, 8vr1cl 20850 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
2812, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
296, 8mgpbas 19242 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑁)
3029, 7mulgnn0cl 18240 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵)
3126, 16, 28, 30syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵)
32 eqid 2801 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
33 eqid 2801 . . . . . 6 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
348, 32, 5, 33lmodvs1 19659 . . . . 5 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝐷 𝑋) ∈ 𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3523, 31, 34syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3621, 35eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) = (𝐷 𝑋))
3736fvoveq1d 7161 . 2 (𝜑 → (coe1‘(((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(𝐷 𝑋)) · 𝐴)) = (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)))
3812ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑅 ∈ Ring)
39 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (coe1𝐴) = (coe1𝐴)
4039, 8, 3, 2coe1f 20844 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4111, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4241ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (coe1𝐴):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
4316ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷 ∈ ℕ0)
44 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝑥 ∈ ℕ0)
45 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → 𝐷𝑥)
46 nn0sub2 12035 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0𝐷𝑥) → (𝑥𝐷) ∈ ℕ0)
4743, 44, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → (𝑥𝐷) ∈ ℕ0)
4842, 47ffvelrnd 6833 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) ∈ (Base‘𝑅))
492, 10, 13ringlidm 19321 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
5038, 48, 49syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐷𝑥) → ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))) = ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)))
5150ifeq1da 4458 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ0) → if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 ) = if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 ))
5251mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((1r𝑅)(.r𝑅)((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷))), 0 )) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
5317, 37, 523eqtr3d 2844 1 (𝜑 → (coe1‘((𝐷 𝑋) · 𝐴)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝐷𝑥, ((coe1𝐴)‘(𝑥𝐷)), 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  ifcif 4428   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cle 10669  cmin 10863  0cn0 11889  Basecbs 16479  .rcmulr 16562  Scalarcsca 16564   ·𝑠 cvsca 16565  0gc0g 16709  Mndcmnd 17907  .gcmg 18220  mulGrpcmgp 19236  1rcur 19248  Ringcrg 19294  LModclmod 19631  var1cv1 20809  Poly1cpl1 20810  coe1cco1 20811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-ple 16581  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-psr 20598  df-mvr 20599  df-mpl 20600  df-opsr 20602  df-psr1 20813  df-vr1 20814  df-ply1 20815  df-coe1 20816
This theorem is referenced by:  coe1pwmulfv  20913
  Copyright terms: Public domain W3C validator