Theorem pm2mpmhm 20995

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpmhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpmhm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpmhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Proof of Theorem pm2mpmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpmhm.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpmhm.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 20868	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
5	4	ringmgp 18907	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
7		pm2mpmhm.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7	matring 20616	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
9		pm2mpmhm.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
10	9	ply1ring 19978	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
11		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
12	11	ringmgp 18907	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
13	8, 10, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
14	6, 13	jca 507	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd))
15		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
16	4, 15	mgpbas 18849	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
17	16	eqcomi 2834	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘𝐶)
18		eqid 2825	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
19		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
20		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (var1‘𝐴) = (var1‘𝐴)
21		pm2mpmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
22		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
23	11, 22	mgpbas 18849	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
24	23	eqcomi 2834	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘𝑄)
25	1, 2, 17, 18, 19, 20, 7, 9, 21, 24	pm2mpf 20973	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)))
26	1, 2, 7, 9, 21, 17	pm2mpmhmlem2 20994	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)))
27	1, 2, 15, 18, 19, 20, 7, 9, 21	idpm2idmp 20976	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))
28	25, 26, 27	3jca 1162	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄)))
29		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
30		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
31		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
32	4, 31	mgpplusg 18847	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
33		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
34	11, 33	mgpplusg 18847	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (+g‘(mulGrp‘𝑄))
35		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
36	4, 35	ringidval 18857	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
37		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
38	11, 37	ringidval 18857	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (0g‘(mulGrp‘𝑄))
39	29, 30, 32, 34, 36, 38	ismhm 17690	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)) ↔ (((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))))
40	14, 28, 39	sylanbrc 578	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  Basecbs 16222  ._rcmulr 16306   ·_𝑠 cvsca 16309  Mndcmnd 17647   MndHom cmhm 17686  ._gcmg 17894  mulGrpcmgp 18843  1_rcur 18855  Ringcrg 18901  var₁cv1 19906  Poly₁cpl1 19907   Mat cmat 20580   pMatToMatPoly cpm2mp 20967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-ofr 7158  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-mulg 17895  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-srg 18860  df-ring 18903  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-ascl 19675  df-psr 19717  df-mvr 19718  df-mpl 19719  df-opsr 19721  df-psr1 19910  df-vr1 19911  df-ply1 19912  df-coe1 19913  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-mamu 20557  df-mat 20581  df-decpmat 20938  df-pm2mp 20968

This theorem is referenced by:  pm2mprhm  20996