Theorem pm2mpmhm 21969

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpmhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpmhm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpmhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Proof of Theorem pm2mpmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpmhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpmhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 21841	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
5	4	ringmgp 19789	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
7		pm2mpmhm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7	matring 21592	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
9		pm2mpmhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
10	9	ply1ring 21419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
12	11	ringmgp 19789	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
13	8, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	4, 14	mgpbas 19726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
16	15	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘𝐶)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (var1‘𝐴) = (var1‘𝐴)
20		pm2mpmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22	11, 21	mgpbas 19726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
23	22	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘𝑄)
24	1, 2, 16, 17, 18, 19, 7, 9, 20, 23	pm2mpf 21947	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)))
25	1, 2, 7, 9, 20, 16	pm2mpmhmlem2 21968	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)))
26	1, 2, 14, 17, 18, 19, 7, 9, 20	idpm2idmp 21950	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))
27	24, 25, 26	3jca 1127	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄)))
28		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
29		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	4, 30	mgpplusg 19724	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
33	11, 32	mgpplusg 19724	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (+g‘(mulGrp‘𝑄))
34		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	4, 34	ringidval 19739	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
37	11, 36	ringidval 19739	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (0g‘(mulGrp‘𝑄))
38	28, 29, 31, 33, 35, 37	ismhm 18432	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)) ↔ (((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))))
39	6, 13, 27, 38	syl21anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  Mndcmnd 18385   MndHom cmhm 18428  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348   Mat cmat 21554   pMatToMatPoly cpm2mp 21941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-srg 19742  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353  df-coe1 21354  df-mamu 21533  df-mat 21555  df-decpmat 21912  df-pm2mp 21942

This theorem is referenced by:  pm2mprhm  21970