MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpmhm 21967
Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpmhm.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pm2mpmhm.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
pm2mpmhm.t 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
pm2mpmhm ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Proof of Theorem pm2mpmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm2mpmhm.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pm2mpmhm.c . . . 4 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
31, 2pmatring 21839 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4 eqid 2738 . . . 4 (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
54ringmgp 19787 . . 3 (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
63, 5syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
7 pm2mpmhm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
87matring 21590 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
9 pm2mpmhm.q . . . 4 𝑄 = (Poly1𝐴)
109ply1ring 21417 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
11 eqid 2738 . . . 4 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
1211ringmgp 19787 . . 3 (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
138, 10, 123syl 18 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
14 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
154, 14mgpbas 19724 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
1615eqcomi 2747 . . . 4 (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘𝐶)
17 eqid 2738 . . . 4 ( ·𝑠𝑄) = ( ·𝑠𝑄)
18 eqid 2738 . . . 4 (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19 eqid 2738 . . . 4 (var1𝐴) = (var1𝐴)
20 pm2mpmhm.t . . . 4 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
2211, 21mgpbas 19724 . . . . 5 (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
2322eqcomi 2747 . . . 4 (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘𝑄)
241, 2, 16, 17, 18, 19, 7, 9, 20, 23pm2mpf 21945 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)))
251, 2, 7, 9, 20, 16pm2mpmhmlem2 21966 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r𝐶)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝑄)(𝑇𝑦)))
261, 2, 14, 17, 18, 19, 7, 9, 20idpm2idmp 21948 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r𝐶)) = (1r𝑄))
2724, 25, 263jca 1127 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r𝐶)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝑄)(𝑇𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r𝐶)) = (1r𝑄)))
28 eqid 2738 . . 3 (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
29 eqid 2738 . . 3 (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
30 eqid 2738 . . . 4 (.r𝐶) = (.r𝐶)
314, 30mgpplusg 19722 . . 3 (.r𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32 eqid 2738 . . . 4 (.r𝑄) = (.r𝑄)
3311, 32mgpplusg 19722 . . 3 (.r𝑄) = (+g‘(mulGrp‘𝑄))
34 eqid 2738 . . . 4 (1r𝐶) = (1r𝐶)
354, 34ringidval 19737 . . 3 (1r𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36 eqid 2738 . . . 4 (1r𝑄) = (1r𝑄)
3711, 36ringidval 19737 . . 3 (1r𝑄) = (0g‘(mulGrp‘𝑄))
3828, 29, 31, 33, 35, 37ismhm 18430 . 2 (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)) ↔ (((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r𝐶)𝑦)) = ((𝑇𝑥)(.r𝑄)(𝑇𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r𝐶)) = (1r𝑄))))
396, 13, 27, 38syl21anbrc 1343 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wf 6431  cfv 6435  (class class class)co 7277  Fincfn 8731  Basecbs 16910  .rcmulr 16961   ·𝑠 cvsca 16964  Mndcmnd 18383   MndHom cmhm 18426  .gcmg 18698  mulGrpcmgp 19718  1rcur 19735  Ringcrg 19781  var1cv1 21345  Poly1cpl1 21346   Mat cmat 21552   pMatToMatPoly cpm2mp 21939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-ot 4572  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-isom 6444  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-pm 8616  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fsupp 9127  df-sup 9199  df-oi 9267  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-srg 19740  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-ascl 21060  df-psr 21110  df-mvr 21111  df-mpl 21112  df-opsr 21114  df-psr1 21349  df-vr1 21350  df-ply1 21351  df-coe1 21352  df-mamu 21531  df-mat 21553  df-decpmat 21910  df-pm2mp 21940
This theorem is referenced by:  pm2mprhm  21968
  Copyright terms: Public domain W3C validator