Theorem pm2mpmhm 22677

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpmhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpmhm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpmhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Proof of Theorem pm2mpmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpmhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpmhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 22549	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
5	4	ringmgp 20144	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
7		pm2mpmhm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7	matring 22300	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
9		pm2mpmhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
10	9	ply1ring 22121	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
12	11	ringmgp 20144	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
13	8, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	4, 14	mgpbas 20045	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
16	15	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘𝐶)
17		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (var1‘𝐴) = (var1‘𝐴)
20		pm2mpmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22	11, 21	mgpbas 20045	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
23	22	eqcomi 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘𝑄)
24	1, 2, 16, 17, 18, 19, 7, 9, 20, 23	pm2mpf 22655	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)))
25	1, 2, 7, 9, 20, 16	pm2mpmhmlem2 22676	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)))
26	1, 2, 14, 17, 18, 19, 7, 9, 20	idpm2idmp 22658	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))
27	24, 25, 26	3jca 1125	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄)))
28		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
29		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
30		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	4, 30	mgpplusg 20043	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
33	11, 32	mgpplusg 20043	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (+g‘(mulGrp‘𝑄))
34		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	4, 34	ringidval 20088	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
37	11, 36	ringidval 20088	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (0g‘(mulGrp‘𝑄))
38	28, 29, 31, 33, 35, 37	ismhm 18715	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)) ↔ (((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))))
39	6, 13, 27, 38	syl21anbrc 1341	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207   ·_𝑠 cvsca 17210  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  1_rcur 20086  Ringcrg 20138  var₁cv1 22050  Poly₁cpl1 22051   Mat cmat 22262   pMatToMatPoly cpm2mp 22649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-decpmat 22620  df-pm2mp 22650

This theorem is referenced by:  pm2mprhm  22678