Theorem pm2mpmhm 21877

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpmhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpmhm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpmhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Proof of Theorem pm2mpmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpmhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpmhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 21749	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
5	4	ringmgp 19704	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
7		pm2mpmhm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7	matring 21500	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
9		pm2mpmhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
10	9	ply1ring 21329	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
12	11	ringmgp 19704	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
13	8, 10, 12	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	4, 14	mgpbas 19641	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
16	15	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘𝐶)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (var1‘𝐴) = (var1‘𝐴)
20		pm2mpmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22	11, 21	mgpbas 19641	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
23	22	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘𝑄)
24	1, 2, 16, 17, 18, 19, 7, 9, 20, 23	pm2mpf 21855	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)))
25	1, 2, 7, 9, 20, 16	pm2mpmhmlem2 21876	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)))
26	1, 2, 14, 17, 18, 19, 7, 9, 20	idpm2idmp 21858	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))
27	24, 25, 26	3jca 1126	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄)))
28		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
29		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
30		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	4, 30	mgpplusg 19639	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
33	11, 32	mgpplusg 19639	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (+g‘(mulGrp‘𝑄))
34		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	4, 34	ringidval 19654	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
37	11, 36	ringidval 19654	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (0g‘(mulGrp‘𝑄))
38	28, 29, 31, 33, 35, 37	ismhm 18347	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)) ↔ (((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))))
39	6, 13, 27, 38	syl21anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  Mndcmnd 18300   MndHom cmhm 18343  ._gcmg 18615  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258   Mat cmat 21464   pMatToMatPoly cpm2mp 21849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-srg 19657  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-decpmat 21820  df-pm2mp 21850

This theorem is referenced by:  pm2mprhm  21878