Theorem pm2mpmhm 22958

Description: The transformation of polynomial matrices into polynomials over matrices is a homomorphism of multiplicative monoids. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpmhm.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpmhm.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpmhm.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpmhm.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpmhm.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpmhm	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Proof of Theorem pm2mpmhm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2mpmhm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pm2mpmhm.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3	1, 2	pmatring 22830	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐶 ∈ Ring)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐶) = (mulGrp‘𝐶)
5	4	ringmgp 20322	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Ring → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd)
7		pm2mpmhm.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7	matring 22581	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
9		pm2mpmhm.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
10	9	ply1ring 22388	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ Ring)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
12	11	ringmgp 20322	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
13	8, 10, 12	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd)
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
15	4, 14	mgpbas 20222	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
16	15	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘𝐶)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑄) = ( ·𝑠 ‘𝑄)
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑄)) = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (var1‘𝐴) = (var1‘𝐴)
20		pm2mpmhm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
22	11, 21	mgpbas 20222	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
23	22	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘𝑄)
24	1, 2, 16, 17, 18, 19, 7, 9, 20, 23	pm2mpf 22936	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)))
25	1, 2, 7, 9, 20, 16	pm2mpmhmlem2 22957	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)))
26	1, 2, 14, 17, 18, 19, 7, 9, 20	idpm2idmp 22939	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))
27	24, 25, 26	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄)))
28		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐶)) = (Base‘(mulGrp‘𝐶))
29		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑄)) = (Base‘(mulGrp‘𝑄))
30		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐶) = (.r‘𝐶)
31	4, 30	mgpplusg 20221	. . 3 ⊢ (.r‘𝐶) = (+g‘(mulGrp‘𝐶))
32		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑄) = (.r‘𝑄)
33	11, 32	mgpplusg 20221	. . 3 ⊢ (.r‘𝑄) = (+g‘(mulGrp‘𝑄))
34		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐶) = (1r‘𝐶)
35	4, 34	ringidval 20266	. . 3 ⊢ (1r‘𝐶) = (0g‘(mulGrp‘𝐶))
36		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
37	11, 36	ringidval 20266	. . 3 ⊢ (1r‘𝑄) = (0g‘(mulGrp‘𝑄))
38	28, 29, 31, 33, 35, 37	ismhm 18844	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)) ↔ (((mulGrp‘𝐶) ∈ Mnd ∧ (mulGrp‘𝑄) ∈ Mnd) ∧ (𝑇:(Base‘(mulGrp‘𝐶))⟶(Base‘(mulGrp‘𝑄)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))∀𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝐶))(𝑇‘(𝑥(.r‘𝐶)𝑦)) = ((𝑇‘𝑥)(.r‘𝑄)(𝑇‘𝑦)) ∧ (𝑇‘(1r‘𝐶)) = (1r‘𝑄))))
39	6, 13, 27, 38	syl21anbrc 1363	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑇 ∈ ((mulGrp‘𝐶) MndHom (mulGrp‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Fincfn 8944  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312   ·_𝑠 cvsca 17315  Mndcmnd 18793   MndHom cmhm 18840  ._gcmg 19134  mulGrpcmgp 20217  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  var₁cv1 22317  Poly₁cpl1 22318   Mat cmat 22545   pMatToMatPoly cpm2mp 22930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-srg 20270  df-ring 20318  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-sra 21275  df-rgmod 21276  df-dsmm 21863  df-frlm 21878  df-psr 22040  df-mvr 22041  df-mpl 22042  df-opsr 22044  df-psr1 22321  df-vr1 22322  df-ply1 22323  df-coe1 22324  df-mamu 22529  df-mat 22546  df-decpmat 22901  df-pm2mp 22931

This theorem is referenced by:  pm2mprhm  22959