Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsummpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsummpt 44563
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsummpt.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sge0fsummpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsummpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0fsummpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsummpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 sge0fsummpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3 eqid 2736 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
42, 3fmptd 7058 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
51, 4sge0fsum 44560 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗))
6 fveq2 6839 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
7 nfcv 2905 . . . 4 𝑘𝐴
8 nfcv 2905 . . . 4 𝑗𝐴
9 nfmpt1 5211 . . . . 5 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
10 nfcv 2905 . . . . 5 𝑘𝑗
119, 10nffv 6849 . . . 4 𝑘((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗)
12 nfcv 2905 . . . 4 𝑗((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
136, 7, 8, 11, 12cbvsum 15572 . . 3 Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
1413a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
15 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
163fvmpt2 6956 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1715, 2, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1817sumeq2dv 15580 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
195, 14, 183eqtrd 2780 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11047  +∞cpnf 11182  [,)cico 13258  Σcsu 15562  Σ^csumge0 44535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-sumge0 44536
This theorem is referenced by:  sge0pr  44567  sge0iunmptlemfi  44586  sge0iunmptlemre  44588  sge0rpcpnf  44594  sge0isum  44600  sge0xaddlem2  44607  sge0seq  44619  meaiuninclem  44653  omeiunltfirp  44692  hoidmvlelem2  44769
  Copyright terms: Public domain W3C validator