Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsummpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsummpt 42549
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsummpt.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sge0fsummpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsummpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0fsummpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsummpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 sge0fsummpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3 eqid 2818 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
42, 3fmptd 6870 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
51, 4sge0fsum 42546 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗))
6 fveq2 6663 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
7 nfcv 2974 . . . 4 𝑘𝐴
8 nfcv 2974 . . . 4 𝑗𝐴
9 nfmpt1 5155 . . . . 5 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
10 nfcv 2974 . . . . 5 𝑘𝑗
119, 10nffv 6673 . . . 4 𝑘((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗)
12 nfcv 2974 . . . 4 𝑗((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
136, 7, 8, 11, 12cbvsum 15040 . . 3 Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
1413a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
15 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
163fvmpt2 6771 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1715, 2, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1817sumeq2dv 15048 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
195, 14, 183eqtrd 2857 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  [,)cico 12728  Σcsu 15030  Σ^csumge0 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-sumge0 42522
This theorem is referenced by:  sge0pr  42553  sge0iunmptlemfi  42572  sge0iunmptlemre  42574  sge0rpcpnf  42580  sge0isum  42586  sge0xaddlem2  42593  sge0seq  42605  meaiuninclem  42639  omeiunltfirp  42678  hoidmvlelem2  42755
  Copyright terms: Public domain W3C validator