Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsummpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsummpt 45840
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsummpt.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sge0fsummpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsummpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sge0fsummpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsummpt.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 sge0fsummpt.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
3 eqid 2725 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
42, 3fmptd 7118 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
51, 4sge0fsum 45837 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗))
6 fveq2 6891 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
7 nfcv 2892 . . . 4 𝑘𝐴
8 nfcv 2892 . . . 4 𝑗𝐴
9 nfmpt1 5251 . . . . 5 𝑘(𝑘𝐴𝐵)
10 nfcv 2892 . . . . 5 𝑘𝑗
119, 10nffv 6901 . . . 4 𝑘((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗)
12 nfcv 2892 . . . 4 𝑗((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
136, 7, 8, 11, 12cbvsum 15671 . . 3 Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘)
1413a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘))
15 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝐴)
163fvmpt2 7010 . . . 4 ((𝑘𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1715, 2, 16syl2anc 582 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = 𝐵)
1817sumeq2dv 15679 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑘) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
195, 14, 183eqtrd 2769 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5226  cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  0cc0 11136  +∞cpnf 11273  [,)cico 13356  Σcsu 15662  Σ^csumge0 45812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663  df-sumge0 45813
This theorem is referenced by:  sge0pr  45844  sge0iunmptlemfi  45863  sge0iunmptlemre  45865  sge0rpcpnf  45871  sge0isum  45877  sge0xaddlem2  45884  sge0seq  45896  meaiuninclem  45930  omeiunltfirp  45969  hoidmvlelem2  46046
  Copyright terms: Public domain W3C validator