Theorem smprngprmrng 48959

Description: A simple ring (a nonzero ring whose only ideals are 0 and 𝑅) is a prime ring. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smprngprmrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
smprngprmrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
smprngprmrng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smprngprmrng	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ PrmRing)

Proof of Theorem smprngprmrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20590	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		smprngprmrng.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	lidl0 21325	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		smprngprmrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	4, 8	drnglidl1ne0 20593	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐵 ≠ { 0 })
10	9	necomd 3015	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ 𝐵)
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ≠ 𝐵)
12		df-pr 4588	. . . . . . . 8 ⊢ {{ 0 }, 𝐵} = ({{ 0 }} ∪ {𝐵})
13	12	eqeq2i 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ 𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
14		smprngprmrng.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
15		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → 𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
16	14, 15	eqtr3id 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (LIdeal‘𝑅) = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
17	16	eleq2d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})))
18	16	eleq2d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})))
19	17, 18	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ∧ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))))
20		elun 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑎 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑎 ∈ {𝐵}))
21		velsn 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝑎 = { 0 })
22		velsn 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐵} ↔ 𝑎 = 𝐵)
23	21, 22	orbi12i 927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑎 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
24	20, 23	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
25		elun 4109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑏 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑏 ∈ {𝐵}))
26		velsn 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝑏 = { 0 })
27		velsn 4601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐵} ↔ 𝑏 = 𝐵)
28	26, 27	orbi12i 927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑏 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))
29	25, 28	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))
30	24, 29	anbi12i 639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ∧ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)))
31	19, 30	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
32	13, 31	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = {{ 0 }, 𝐵} → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
33	32	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
34		eqimss 3997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = { 0 } → 𝑎 ⊆ { 0 })
35	34	orcd 886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
36	35	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = { 0 }) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
37	36	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = { 0 }) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
38		eqimss 3997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = { 0 } → 𝑏 ⊆ { 0 })
39	38	olcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
40	39	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = { 0 }) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
41	40	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = { 0 }) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
42	35	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
43	42	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
44		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
45	8, 44	ringidcl 20339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	1, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	44, 4	nzrnz 20589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
48	47	neneqd 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
49		ringsrg 20371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
50	49, 45	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ SRing ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
51		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	8, 51, 44	srgridm 20276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
53	1, 50, 52	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
54	53	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
55	48, 54	mtbird 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
56		ovex 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V
57	56	elsn 4600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
58	55, 57	sylnibr 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 })
59		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
60	59	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
61	60	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
62		oveq2 7408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
63	62	eleq1d 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }))
64	63	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → (¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }))
65	61, 64	rspc2ev 3597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
66	46, 46, 58, 65	syl3anc 1394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
67		rexnal2 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
68	66, 67	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
69	68	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))
70		raleq 3320	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
71		raleq 3320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
72	71	ralbidv 3188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
73	70, 72	sylan9bb 518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
74	73	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
75	69, 74	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
76	37, 41, 43, 75	ccased 1052	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
77	76	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
78	33, 77	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
79	78	ralrimivv 3206	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))
80	8, 51	isprmidl 21425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
81	1, 80	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
82	81	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
83	7, 11, 79, 82	mpbir3and 1359	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
84		eqid 2765	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
85	4, 84	isprmrng 48956	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
86	2, 83, 85	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ PrmRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∪ cun 3905   ⊆ wss 3907  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  ._rcmulr 17301  0_gc0g 17482  1_rcur 20254  SRingcsrg 20259  Ringcrg 20306  NzRingcnzr 20586  LIdealclidl 21299  PrmIdealcprmidl 21422  PrmRingcprmrng 48954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-srg 20260  df-ring 20308  df-nzr 20587  df-lss 21022  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-prmidl 21423  df-prmring 48955

This theorem is referenced by:  drngprmrng  48960