Theorem smprngprmrng 49512

Description: A simple ring (a nonzero ring whose only ideals are 0 and 𝑅) is a prime ring. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smprngprmrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
smprngprmrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
smprngprmrng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smprngprmrng	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ PrmRing)

Proof of Theorem smprngprmrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20767	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		smprngprmrng.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	lidl0 21511	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		smprngprmrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	4, 8	drnglidl1ne0 20770	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐵 ≠ { 0 })
10	9	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ≠ 𝐵)
12		df-pr 4586	. . . . . . . 8 ⊢ {{ 0 }, 𝐵} = ({{ 0 }} ∪ {𝐵})
13	12	eqeq2i 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ 𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
14		smprngprmrng.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
15		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → 𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
16	14, 15	eqtr3id 2809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (LIdeal‘𝑅) = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
17	16	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})))
18	16	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})))
19	17, 18	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ∧ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))))
20		elun 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑎 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑎 ∈ {𝐵}))
21		velsn 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝑎 = { 0 })
22		velsn 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐵} ↔ 𝑎 = 𝐵)
23	21, 22	orbi12i 928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑎 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
24	20, 23	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
25		elun 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑏 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑏 ∈ {𝐵}))
26		velsn 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝑏 = { 0 })
27		velsn 4599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐵} ↔ 𝑏 = 𝐵)
28	26, 27	orbi12i 928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑏 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))
29	25, 28	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))
30	24, 29	anbi12i 640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ∧ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)))
31	19, 30	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
32	13, 31	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = {{ 0 }, 𝐵} → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
33	32	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
34		eqimss 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = { 0 } → 𝑎 ⊆ { 0 })
35	34	orcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = { 0 }) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
37	36	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = { 0 }) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
38		eqimss 3966	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = { 0 } → 𝑏 ⊆ { 0 })
39	38	olcd 888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
40	39	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = { 0 }) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
41	40	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = { 0 }) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
42	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
43	42	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
44		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
45	8, 44	ringidcl 20495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	1, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	44, 4	nzrnz 20766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
48	47	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
49		ringsrg 20529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
50	49, 45	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ SRing ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
51		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	8, 51, 44	srgridm 20430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
53	1, 50, 52	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
54	53	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
55	48, 54	mtbird 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
56		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V
57	56	elsn 4598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
58	55, 57	sylnibr 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 })
59		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
60	59	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
61	60	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
62		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
63	62	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }))
64	63	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → (¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }))
65	61, 64	rspc2ev 3588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
66	46, 46, 58, 65	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
67		rexnal2 3144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
68	66, 67	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
69	68	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))
70		raleq 3316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
71		raleq 3316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
72	71	ralbidv 3185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
73	70, 72	sylan9bb 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
74	73	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
75	69, 74	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
76	37, 41, 43, 75	ccased 1054	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
77	76	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
78	33, 77	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
79	78	ralrimivv 3203	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))
80	8, 51	isprmidl 21620	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
81	1, 80	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
82	81	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
83	7, 11, 79, 82	mpbir3and 1361	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
84		eqid 2760	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
85	4, 84	isprmrng 49509	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
86	2, 83, 85	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ PrmRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  ._rcmulr 17430  0_gc0g 17611  1_rcur 20408  SRingcsrg 20413  Ringcrg 20460  NzRingcnzr 20763  LIdealclidl 21485  PrmIdealcprmidl 21617  PrmRingcprmrng 49507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-srg 20414  df-ring 20462  df-nzr 20764  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487  df-prmidl 21618  df-prmring 49508

This theorem is used by:  drngprmrng  49513