Theorem smprngprmrng 49071

Description: A simple ring (a nonzero ring whose only ideals are 0 and 𝑅) is a prime ring. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jan-2011.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
smprngprmrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
smprngprmrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
smprngprmrng.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smprngprmrng	⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ PrmRing)

Proof of Theorem smprngprmrng

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrring 20598	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		smprngprmrng.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5	3, 4	lidl0 21335	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		smprngprmrng.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	4, 8	drnglidl1ne0 20601	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → 𝐵 ≠ { 0 })
10	9	necomd 3011	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → { 0 } ≠ 𝐵)
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ≠ 𝐵)
12		df-pr 4591	. . . . . . . 8 ⊢ {{ 0 }, 𝐵} = ({{ 0 }} ∪ {𝐵})
13	12	eqeq2i 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = {{ 0 }, 𝐵} ↔ 𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
14		smprngprmrng.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
15		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → 𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
16	14, 15	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (LIdeal‘𝑅) = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))
17	16	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})))
18	16	eleq2d 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → (𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})))
19	17, 18	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ∧ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}))))
20		elun 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑎 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑎 ∈ {𝐵}))
21		velsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝑎 = { 0 })
22		velsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ {𝐵} ↔ 𝑎 = 𝐵)
23	21, 22	orbi12i 927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑎 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
24	20, 23	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵))
25		elun 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑏 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑏 ∈ {𝐵}))
26		velsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝑏 = { 0 })
27		velsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ {𝐵} ↔ 𝑏 = 𝐵)
28	26, 27	orbi12i 927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ {{ 0 }} ∨ 𝑏 ∈ {𝐵}) ↔ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))
29	25, 28	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ↔ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))
30	24, 29	anbi12i 639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) ∧ 𝑏 ∈ ({{ 0 }} ∪ {𝐵})) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)))
31	19, 30	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 = ({{ 0 }} ∪ {𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
32	13, 31	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 = {{ 0 }, 𝐵} → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
33	32	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ↔ ((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵))))
34		eqimss 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = { 0 } → 𝑎 ⊆ { 0 })
35	34	orcd 886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
36	35	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = { 0 }) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
37	36	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = { 0 }) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
38		eqimss 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = { 0 } → 𝑏 ⊆ { 0 })
39	38	olcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
40	39	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = { 0 }) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
41	40	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = { 0 }) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
42	35	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))
43	42	a1i13 28	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = { 0 } ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
44		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
45	8, 44	ringidcl 20347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	1, 45	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
47	44, 4	nzrnz 20597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (1r‘𝑅) ≠ 0 )
48	47	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ (1r‘𝑅) = 0 )
49		ringsrg 20379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
50	49, 45	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ SRing ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
51		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
52	8, 51, 44	srgridm 20284	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
53	1, 50, 52	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑅))
54	53	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 ↔ (1r‘𝑅) = 0 ))
55	48, 54	mtbird 328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
56		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ V
57	56	elsn 4603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 0 )
58	55, 57	sylnibr 332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 })
59		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦))
60	59	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
61	60	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (1r‘𝑅) → (¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
62		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
63	62	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }))
64	63	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑅) → (¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }))
65	61, 64	rspc2ev 3593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ ¬ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) ∈ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
66	46, 46, 58, 65	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
67		rexnal2 3145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
68	66, 67	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 })
69	68	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))
70		raleq 3318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
71		raleq 3318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
72	71	ralbidv 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
73	70, 72	sylan9bb 518	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 }))
74	73	imbi1d 344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
75	69, 74	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ((𝑎 = 𝐵 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
76	37, 41, 43, 75	ccased 1052	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → (((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
77	76	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → (((𝑎 = { 0 } ∨ 𝑎 = 𝐵) ∧ (𝑏 = { 0 } ∨ 𝑏 = 𝐵)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
78	33, 77	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ((𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 }))))
79	78	ralrimivv 3204	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))
80	8, 51	isprmidl 21442	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
81	1, 80	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ NzRing → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
82	81	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → ({ 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ ({ 0 } ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ { 0 } ≠ 𝐵 ∧ ∀𝑎 ∈ (LIdeal‘𝑅)∀𝑏 ∈ (LIdeal‘𝑅)(∀𝑥 ∈ 𝑎 ∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ { 0 } → (𝑎 ⊆ { 0 } ∨ 𝑏 ⊆ { 0 })))))
83	7, 11, 79, 82	mpbir3and 1359	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
84		eqid 2761	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
85	4, 84	isprmrng 49068	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
86	2, 83, 85	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑈 = {{ 0 }, 𝐵}) → 𝑅 ∈ PrmRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  ._rcmulr 17310  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  SRingcsrg 20267  Ringcrg 20314  NzRingcnzr 20594  LIdealclidl 21309  PrmIdealcprmidl 21439  PrmRingcprmrng 49066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-srg 20268  df-ring 20316  df-nzr 20595  df-lss 21032  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311  df-prmidl 21440  df-prmring 49067

This theorem is referenced by:  drngprmrng  49072