Theorem evlsca 22041

Description: Simple polynomial evaluation maps scalars to constant functions. (Contributed by AV, 12-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsca.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evlsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evlsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
evlsca.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
evlsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsca.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
evlsca	⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Proof of Theorem evlsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵) = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)
2		evlsca.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
3		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)) = (𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵))
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
5		evlsca.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (𝐼 mPoly 𝑆)
6		evlsca.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵))) = (algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))
8		evlsca.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
9		evlsca.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
10		evlsca.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
11		crngring 20190	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 ∈ Ring)
12	6	subrgid 20518	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
14		evlsca.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14	evlsscasrng 22040	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = (𝑄‘(𝐴‘𝑋)))
16	1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 13, 14	evlssca 22032	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝐵)‘((algSc‘(𝐼 mPoly (𝑆 ↾s 𝐵)))‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))
17	15, 16	eqtr3d 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐴‘𝑋)) = ((𝐵 ↑m 𝐼) × {𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4599   × cxp 5649  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399   ↑_m cmap 8834  Basecbs 17213   ↾_s cress 17236  Ringcrg 20178  CRingccrg 20179  SubRingcsubrg 20514  algSccascl 21797   mPoly cmpl 21851   evalSub ces 22015   eval cevl 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8154  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9368  df-sup 9448  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-seq 14009  df-hash 14337  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-ip 17274  df-tset 17275  df-ple 17276  df-ds 17278  df-hom 17280  df-cco 17281  df-0g 17440  df-gsum 17441  df-prds 17446  df-pws 17448  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-mulg 19036  df-subg 19091  df-ghm 19181  df-cntz 19285  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20417  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21798  df-asp 21799  df-ascl 21800  df-psr 21854  df-mvr 21855  df-mpl 21856  df-evls 22017  df-evl 22018

This theorem is referenced by:  evl0  42505