Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volioofmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem volioofmpt 45445
Description: ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) expressed in maps-to notation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
volioofmpt.x 𝑥𝐹
volioofmpt.f (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
Assertion
Ref Expression
volioofmpt (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volioofmpt
StepHypRef Expression
1 nfcv 2892 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2892 . . . 4 𝑥(vol ∘ (,))
3 volioofmpt.x . . . 4 𝑥𝐹
42, 3nfco 5862 . . 3 𝑥((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)
5 volioof 45438 . . . . 5 (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞)
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞))
7 volioofmpt.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
8 fco 6742 . . . 4 (((vol ∘ (,)):(ℝ* × ℝ*)⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*)) → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
96, 7, 8syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹):𝐴⟶(0[,]+∞))
101, 4, 9feqmptdf 6964 . 2 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥)))
117adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐴⟶(ℝ* × ℝ*))
12 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1311, 12fvvolioof 45440 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥) = (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥)))))
1413mpteq2dva 5243 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹)‘𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))))
1510, 14eqtrd 2765 1 (𝜑 → ((vol ∘ (,)) ∘ 𝐹) = (𝑥𝐴 ↦ (vol‘((1st ‘(𝐹𝑥))(,)(2nd ‘(𝐹𝑥))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wnfc 2875  cmpt 5226   × cxp 5670  ccom 5676  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7416  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990  0cc0 11138  +∞cpnf 11275  *cxr 11277  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  volcvol 25410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-xmet 21276  df-met 21277  df-ovol 25411  df-vol 25412
This theorem is referenced by:  ovolval5lem2  46104
  Copyright terms: Public domain W3C validator