MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem1 21996
Description: Lemma 1 for m2detleib 22003. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1
StepHypRef Expression
1 elpri 4612 . . . . 5 (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3 m2detleiblem1.n . . . . . . . . 9 𝑁 = {1, 2}
4 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5 m2detleiblem1.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7 m2detleiblem1.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
83, 4, 5, 6, 7psgnprfval1 19312 . . . . . . . 8 (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
92, 8eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆𝑄) = 1)
10 1z 12541 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
119, 10eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
12 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
133, 4, 5, 6, 7psgnprfval2 19313 . . . . . . . 8 (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
1412, 13eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆𝑄) = -1)
15 neg1z 12547 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
1614, 15eqeltrdi 2842 . . . . . 6 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
1711, 16jaoi 856 . . . . 5 ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
181, 17syl 17 . . . 4 (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
19 1ex 11159 . . . . 5 1 ∈ V
20 2nn 12234 . . . . 5 2 ∈ ℕ
214, 5, 3symg2bas 19182 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
2219, 20, 21mp2an 691 . . . 4 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
2318, 22eleq2s 2852 . . 3 (𝑄𝑃 → (𝑆𝑄) ∈ ℤ)
24 m2detleiblem1.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25 eqid 2733 . . . 4 (.g𝑅) = (.g𝑅)
26 m2detleiblem1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
2724, 25, 26zrhmulg 20933 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = ((𝑆𝑄)(.g𝑅) 1 ))
2823, 27sylan2 594 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = ((𝑆𝑄)(.g𝑅) 1 ))
297a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
3029fveq1d 6848 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑆𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
3130oveq1d 7376 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → ((𝑆𝑄)(.g𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
3228, 31eqtrd 2773 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  {cpr 4592  cop 4596  ran crn 5638  cfv 6500  (class class class)co 7361  1c1 11060  -cneg 11394  cn 12161  2c2 12216  cz 12507  Basecbs 17091  .gcmg 18880  SymGrpcsymg 19156  pmTrspcpmtr 19231  pmSgncpsgn 19279  1rcur 19921  Ringcrg 19972  ℤRHomczrh 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-word 14412  df-lsw 14460  df-concat 14468  df-s1 14493  df-substr 14538  df-pfx 14568  df-splice 14647  df-reverse 14656  df-s2 14746  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-efmnd 18687  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-gim 19057  df-oppg 19132  df-symg 19157  df-pmtr 19232  df-psgn 19281  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-rnghom 20156  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927
This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  21997  m2detleiblem6  21998
  Copyright terms: Public domain W3C validator