Theorem m2detleiblem1 22653

Description: Lemma 1 for m2detleib 22660. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4596	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2		fveq2 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3		m2detleiblem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
4		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5		m2detleiblem1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7		m2detleiblem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
8	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval1 19534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
9	2, 8	eqtrdi 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = 1)
10		1z 12587	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	9, 10	eqeltrdi 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
12		fveq2 6852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
13	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval2 19535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
14	12, 13	eqtrdi 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = -1)
15		neg1z 12593	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
16	14, 15	eqeltrdi 2860	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
17	11, 16	jaoi 866	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
19		1ex 11162	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20		2nn 12277	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	4, 5, 3	symg2bas 19405	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
22	19, 20, 21	mp2an 700	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23	18, 22	eleq2s 2870	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
24		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
26		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	24, 25, 26	zrhmulg 21530	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
28	23, 27	sylan2 601	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
29	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
30	29	fveq1d 6854	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
31	30	oveq1d 7396	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
32	28, 31	eqtrd 2787	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  {cpr 4574  ⟨cop 4578  ran crn 5637  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  1c1 11060  -cneg 11401  ℕcn 12196  2c2 12258  ℤcz 12554  Basecbs 17217  ._gcmg 19081  SymGrpcsymg 19381  pmTrspcpmtr 19453  pmSgncpsgn 19501  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  ℤRHomczrh 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-xor 1522  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-oadd 8425  df-er 8662  df-map 8794  df-pm 8795  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-word 14513  df-lsw 14562  df-concat 14570  df-s1 14596  df-substr 14641  df-pfx 14671  df-splice 14749  df-reverse 14758  df-s2 14847  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-mre 17586  df-mrc 17587  df-acs 17589  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-mhm 18789  df-submnd 18790  df-efmnd 18875  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19226  df-gim 19271  df-oppg 19358  df-symg 19382  df-pmtr 19454  df-psgn 19503  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20564  df-subrg 20588  df-cnfld 21394  df-zring 21468  df-zrh 21524

This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  22654  m2detleiblem6  22655