Theorem m2detleiblem1 22646

Description: Lemma 1 for m2detleib 22653. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4654	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3		m2detleiblem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
4		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5		m2detleiblem1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7		m2detleiblem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
8	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval1 19555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
9	2, 8	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = 1)
10		1z 12645	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	9, 10	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
12		fveq2 6907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
13	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval2 19556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
14	12, 13	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = -1)
15		neg1z 12651	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
16	14, 15	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
17	11, 16	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
19		1ex 11255	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20		2nn 12337	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	4, 5, 3	symg2bas 19425	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
22	19, 20, 21	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23	18, 22	eleq2s 2857	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
24		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
26		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	24, 25, 26	zrhmulg 21538	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
28	23, 27	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
29	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
30	29	fveq1d 6909	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
31	30	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
32	28, 31	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {cpr 4633  ⟨cop 4637  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  -cneg 11491  ℕcn 12264  2c2 12319  ℤcz 12611  Basecbs 17245  ._gcmg 19098  SymGrpcsymg 19401  pmTrspcpmtr 19474  pmSgncpsgn 19522  1_rcur 20199  Ringcrg 20251  ℤRHomczrh 21528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-splice 14785  df-reverse 14794  df-s2 14884  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-efmnd 18895  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-gim 19290  df-oppg 19377  df-symg 19402  df-pmtr 19475  df-psgn 19524  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532

This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  22647  m2detleiblem6  22648