Theorem m2detleiblem1 22545

Description: Lemma 1 for m2detleib 22552. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4599	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3		m2detleiblem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
4		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5		m2detleiblem1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7		m2detleiblem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
8	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval1 19440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
9	2, 8	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = 1)
10		1z 12508	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	9, 10	eqeltrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
12		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
13	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval2 19441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
14	12, 13	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = -1)
15		neg1z 12514	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
16	14, 15	eqeltrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
17	11, 16	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
19		1ex 11114	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20		2nn 12204	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	4, 5, 3	symg2bas 19311	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
22	19, 20, 21	mp2an 692	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23	18, 22	eleq2s 2849	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
24		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
26		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	24, 25, 26	zrhmulg 21452	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
28	23, 27	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
29	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
30	29	fveq1d 6830	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
31	30	oveq1d 7367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
32	28, 31	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {cpr 4577  ⟨cop 4581  ran crn 5620  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  1c1 11013  -cneg 11351  ℕcn 12131  2c2 12186  ℤcz 12474  Basecbs 17126  ._gcmg 18986  SymGrpcsymg 19287  pmTrspcpmtr 19359  pmSgncpsgn 19407  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  ℤRHomczrh 21442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-fac 14187  df-bc 14216  df-hash 14244  df-word 14427  df-lsw 14476  df-concat 14484  df-s1 14510  df-substr 14555  df-pfx 14585  df-splice 14663  df-reverse 14672  df-s2 14761  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-efmnd 18783  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-gim 19177  df-oppg 19264  df-symg 19288  df-pmtr 19360  df-psgn 19409  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-rhm 20396  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-zrh 21446

This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  22546  m2detleiblem6  22547