Theorem m2detleiblem1 22691

Description: Lemma 1 for m2detleib 22698. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4607	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3		m2detleiblem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
4		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5		m2detleiblem1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7		m2detleiblem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
8	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval1 19572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
9	2, 8	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = 1)
10		1z 12611	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	9, 10	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
12		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
13	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval2 19573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = -1)
15		neg1z 12617	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
16	14, 15	eqeltrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
17	11, 16	jaoi 868	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
19		1ex 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20		2nn 12301	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	4, 5, 3	symg2bas 19443	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
22	19, 20, 21	mp2an 702	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23	18, 22	eleq2s 2881	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
24		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
26		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	24, 25, 26	zrhmulg 21568	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
28	23, 27	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
29	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
30	29	fveq1d 6869	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
31	30	oveq1d 7411	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
32	28, 31	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ran crn 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11085  -cneg 11426  ℕcn 12220  2c2 12282  ℤcz 12578  Basecbs 17255  ._gcmg 19119  SymGrpcsymg 19419  pmTrspcpmtr 19491  pmSgncpsgn 19539  1_rcur 20241  Ringcrg 20293  ℤRHomczrh 21558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-addf 11163  ax-mulf 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-xor 1533  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9871  df-card 9909  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-xnn0 12565  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-rp 13004  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-word 14537  df-lsw 14586  df-concat 14594  df-s1 14620  df-substr 14665  df-pfx 14695  df-splice 14773  df-reverse 14782  df-s2 14871  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-mulr 17310  df-starv 17311  df-tset 17315  df-ple 17316  df-ds 17318  df-unif 17319  df-0g 17480  df-gsum 17481  df-mre 17624  df-mrc 17625  df-acs 17627  df-mgm 18684  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-submnd 18828  df-efmnd 18913  df-grp 18988  df-minusg 18989  df-mulg 19120  df-subg 19175  df-ghm 19264  df-gim 19309  df-oppg 19396  df-symg 19420  df-pmtr 19492  df-psgn 19541  df-cmn 19832  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-ur 20242  df-ring 20295  df-cring 20296  df-rhm 20531  df-subrng 20606  df-subrg 20630  df-cnfld 21432  df-zring 21506  df-zrh 21562

This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  22692  m2detleiblem6  22693