Theorem m2detleiblem1 22589

Description: Lemma 1 for m2detleib 22596. (Contributed by AV, 12-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4592	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
2		fveq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}))
3		m2detleiblem1.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
4		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
5		m2detleiblem1.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
7		m2detleiblem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
8	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval1 19497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}) = 1
9	2, 8	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) = 1)
10		1z 12557	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
11	9, 10	eqeltrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
12		fveq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
13	3, 4, 5, 6, 7	psgnprfval2 19498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
14	12, 13	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) = -1)
15		neg1z 12563	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℤ
16	14, 15	eqeltrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
17	11, 16	jaoi 858	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩} ∨ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
18	1, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}} → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
19		1ex 11140	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20		2nn 12254	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
21	4, 5, 3	symg2bas 19368	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
22	19, 20, 21	mp2an 693	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
23	18, 22	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ)
24		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
25		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
26		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
27	24, 25, 26	zrhmulg 21489	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑆‘𝑄) ∈ ℤ) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
28	23, 27	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
29	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → 𝑆 = (pmSgn‘𝑁))
30	29	fveq1d 6843	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑆‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄))
31	30	oveq1d 7382	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → ((𝑆‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
32	28, 31	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  1c1 11039  -cneg 11378  ℕcn 12174  2c2 12236  ℤcz 12524  Basecbs 17179  ._gcmg 19043  SymGrpcsymg 19344  pmTrspcpmtr 19416  pmSgncpsgn 19464  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  ℤRHomczrh 21479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712  df-reverse 14721  df-s2 14810  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-efmnd 18837  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-oppg 19321  df-symg 19345  df-pmtr 19417  df-psgn 19466  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483

This theorem is referenced by:  m2detleiblem5  22590  m2detleiblem6  22591