Theorem zringndrg 21627

Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zringndrg	⊢ ℤring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne2 12455	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
2	1	nesymi 3015	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
3		2re 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		0le2 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
5		absid 15352	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘2) = 2
7	6	eqeq1i 2768	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
8	2, 7	mtbir 326	. . . . 5 ⊢ ¬ (abs‘2) = 1
9	8	intnan 491	. . . 4 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10		zringunit 21625	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
11	9, 10	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12		zringbas 21612	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14		zring0 21617	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
15	12, 13, 14	isdrng 20840	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16		2z 12630	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		2ne0 12351	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18		eldifsn 4753	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
19	16, 17, 18	mpbir2an 723	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20		id 23	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
21	19, 20	eleqtrrid 2870	. . . 4 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
22	15, 21	simplbiim 513	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
23	11, 22	mto 200	. 2 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
24	23	nelir 3067	1 ⊢ ℤring ∉ DivRing

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∉ wnel 3064   ∖ cdif 3902  {csn 4589   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   ≤ cle 11248  2c2 12299  ℤcz 12595  abscabs 15290  Ringcrg 20319  Unitcui 20442  DivRingcdr 20836  ℤ_ringczring 21605

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-gz 16994  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-subg 19193  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-subrng 20654  df-subrg 20678  df-drng 20838  df-cnfld 21532  df-zring 21606

This theorem is used by:  zclmncvs  25316