Theorem zringndrg 21684

Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zringndrg	⊢ ℤring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne2 12478	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
2	1	nesymi 3012	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
3		2re 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		0le2 12370	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
5		absid 15386	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘2) = 2
7	6	eqeq1i 2765	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
8	2, 7	mtbir 326	. . . . 5 ⊢ ¬ (abs‘2) = 1
9	8	intnan 492	. . . 4 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10		zringunit 21682	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
11	9, 10	mtbir 326	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12		zringbas 21669	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14		zring0 21674	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
15	12, 13, 14	isdrng 20897	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16		2z 12653	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		2ne0 12374	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
19	16, 17, 18	mpbir2an 724	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20		id 23	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
21	19, 20	eleqtrrid 2867	. . . 4 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
22	15, 21	simplbiim 514	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
23	11, 22	mto 200	. 2 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
24	23	nelir 3064	1 ⊢ ℤring ∉ DivRing

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061   ∖ cdif 3896  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   ≤ cle 11271  2c2 12322  ℤcz 12618  abscabs 15324  Ringcrg 20375  Unitcui 20499  DivRingcdr 20893  ℤ_ringczring 21662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-gz 17025  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-subg 19249  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-oppr 20481  df-dvdsr 20501  df-unit 20502  df-invr 20532  df-dvr 20545  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-cnfld 21589  df-zring 21663

This theorem is used by:  zclmncvs  25379