Theorem zringndrg 20339

Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zringndrg	⊢ ℤring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne2 11655	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
2	1	nesymi 3024	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
3		2re 11514	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		0le2 11549	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
5		absid 14517	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
6	3, 4, 5	mp2an 679	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘2) = 2
7	6	eqeq1i 2783	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
8	2, 7	mtbir 315	. . . . 5 ⊢ ¬ (abs‘2) = 1
9	8	intnan 479	. . . 4 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10		zringunit 20337	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
11	9, 10	mtbir 315	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12		zringbas 20325	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14		zring0 20329	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
15	12, 13, 14	isdrng 19229	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16		2z 11827	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		2ne0 11551	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18		eldifsn 4593	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
19	16, 17, 18	mpbir2an 698	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
21	19, 20	syl5eleqr 2873	. . . 4 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
22	15, 21	simplbiim 497	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
23	11, 22	mto 189	. 2 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
24	23	nelir 3076	1 ⊢ ℤring ∉ DivRing

Syntax hints:   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   ∉ wnel 3073   ∖ cdif 3826  {csn 4441   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  ℝcr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   ≤ cle 10475  2c2 11495  ℤcz 11793  abscabs 14454  Ringcrg 19020  Unitcui 19112  DivRingcdr 19225  ℤ_ringzring 20319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-gz 16122  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-subg 18060  df-cmn 18668  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-cring 19023  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-dvr 19156  df-drng 19227  df-subrg 19256  df-cnfld 20248  df-zring 20320

This theorem is referenced by:  zclmncvs  23455