Theorem zringndrg 20889

Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zringndrg	⊢ ℤring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne2 12361	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
2	1	nesymi 3001	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
3		2re 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		0le2 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
5		absid 15181	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘2) = 2
7	6	eqeq1i 2741	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
8	2, 7	mtbir 322	. . . . 5 ⊢ ¬ (abs‘2) = 1
9	8	intnan 487	. . . 4 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10		zringunit 20887	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
11	9, 10	mtbir 322	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12		zringbas 20875	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14		zring0 20879	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
15	12, 13, 14	isdrng 20189	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16		2z 12535	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		2ne0 12257	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18		eldifsn 4747	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
19	16, 17, 18	mpbir2an 709	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
21	19, 20	eleqtrrid 2845	. . . 4 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
22	15, 21	simplbiim 505	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
23	11, 22	mto 196	. 2 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
24	23	nelir 3052	1 ⊢ ℤring ∉ DivRing

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049   ∖ cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   ≤ cle 11190  2c2 12208  ℤcz 12499  abscabs 15119  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  DivRingcdr 20185  ℤ_ringczring 20869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-gz 16802  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-cnfld 20797  df-zring 20870

This theorem is referenced by:  zclmncvs  24512