MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zringndrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zringndrg 20111
Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
zringndrg ring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg
StepHypRef Expression
1 1ne2 11486 . . . . . . 7 1 ≠ 2
21nesymi 2994 . . . . . 6 ¬ 2 = 1
3 2re 11346 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
4 0le2 11381 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
5 absid 14321 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
63, 4, 5mp2an 683 . . . . . . 7 (abs‘2) = 2
76eqeq1i 2770 . . . . . 6 ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
82, 7mtbir 314 . . . . 5 ¬ (abs‘2) = 1
98intnan 480 . . . 4 ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10 zringunit 20109 . . . 4 (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
119, 10mtbir 314 . . 3 ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12 zringbas 20097 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
13 eqid 2765 . . . . 5 (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14 zring0 20101 . . . . 5 0 = (0g‘ℤring)
1512, 13, 14isdrng 19020 . . . 4 (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16 2z 11656 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
17 2ne0 11383 . . . . . 6 2 ≠ 0
18 eldifsn 4472 . . . . . 6 (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
1916, 17, 18mpbir2an 702 . . . . 5 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20 id 22 . . . . 5 ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
2119, 20syl5eleqr 2851 . . . 4 ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
2215, 21simplbiim 499 . . 3 (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
2311, 22mto 188 . 2 ¬ ℤring ∈ DivRing
2423nelir 3043 1 ring ∉ DivRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wnel 3040  cdif 3729  {csn 4334   class class class wbr 4809  cfv 6068  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  cle 10329  2c2 11327  cz 11624  abscabs 14259  Ringcrg 18814  Unitcui 18906  DivRingcdr 19016  ringzring 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-gz 15913  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-subg 17855  df-cmn 18461  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-cnfld 20020  df-zring 20092
This theorem is referenced by:  zclmncvs  23226
  Copyright terms: Public domain W3C validator