Theorem zringndrg 21520

Description: The integers are not a division ring, and therefore not a field. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zringndrg	⊢ ℤring ∉ DivRing

Proof of Theorem zringndrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne2 12428	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
2	1	nesymi 3014	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 1
3		2re 12292	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		0le2 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
5		absid 15323	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
6	3, 4, 5	mp2an 702	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘2) = 2
7	6	eqeq1i 2767	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘2) = 1 ↔ 2 = 1)
8	2, 7	mtbir 325	. . . . 5 ⊢ ¬ (abs‘2) = 1
9	8	intnan 490	. . . 4 ⊢ ¬ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1)
10		zringunit 21518	. . . 4 ⊢ (2 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ (abs‘2) = 1))
11	9, 10	mtbir 325	. . 3 ⊢ ¬ 2 ∈ (Unit‘ℤring)
12		zringbas 21505	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
14		zring0 21510	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
15	12, 13, 14	isdrng 20783	. . . 4 ⊢ (ℤring ∈ DivRing ↔ (ℤring ∈ Ring ∧ (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0})))
16		2z 12603	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
17		2ne0 12324	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18		eldifsn 4746	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0))
19	16, 17, 18	mpbir2an 721	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ ∖ {0})
20		id 22	. . . . 5 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → (Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}))
21	19, 20	eleqtrrid 2869	. . . 4 ⊢ ((Unit‘ℤring) = (ℤ ∖ {0}) → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
22	15, 21	simplbiim 512	. . 3 ⊢ (ℤring ∈ DivRing → 2 ∈ (Unit‘ℤring))
23	11, 22	mto 199	. 2 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
24	23	nelir 3064	1 ⊢ ℤring ∉ DivRing

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∉ wnel 3061   ∖ cdif 3901  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   ≤ cle 11217  2c2 12272  ℤcz 12568  abscabs 15261  Ringcrg 20283  Unitcui 20404  DivRingcdr 20779  ℤ_ringczring 21498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-gz 16966  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-subg 19165  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-cnfld 21425  df-zring 21499

This theorem is referenced by:  zclmncvs  25210