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Theorem log2ublem3 16068

Description: Lemma for log2ublog2 16069. In decimal, this is a proof that the first four terms of the series for

is less than

. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
log2ublem3	;;;;

**Proof of Theorem log2ublem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 9376	. . . . . . 7
2		fz00m1 10434	. . . . . . . . . . 11
3	2	sumeq1i 12112	. . . . . . . . . 10
4		sum0 12138	. . . . . . . . . 10
5	3, 4	eqtri 2259	. . . . . . . . 9
6	5	oveq2i 6090	. . . . . . . 8
7		3cn 9362	. . . . . . . . . . 11
8		7nn0 9568	. . . . . . . . . . 11
9		expcl 10977	. . . . . . . . . . 11 $/\$
10	7, 8, 9	mp2an 430	. . . . . . . . . 10
11		5cn 9367	. . . . . . . . . . 11
12		7cn 9371	. . . . . . . . . . 11
13	11, 12	mulcli 8325	. . . . . . . . . 10
14	10, 13	mulcli 8325	. . . . . . . . 9
15	14	mul01i 8712	. . . . . . . 8
16	6, 15	eqtri 2259	. . . . . . 7
17		2cn 9358	. . . . . . . 8
18	17	mul01i 8712	. . . . . . 7
19	1, 16, 18	3brtr4i 4158	. . . . . 6
20		0nn0 9561	. . . . . 6
21		2nn0 9563	. . . . . . . . . 10
22		5nn0 9566	. . . . . . . . . 10
23	21, 22	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ;
24	23, 22	deccl 9774	. . . . . . . 8 ;;
25		1nn0 9562	. . . . . . . 8
26	24, 25	deccl 9774	. . . . . . 7 ;;;
27	26, 22	deccl 9774	. . . . . 6 ;;;;
28		eqid 2238	. . . . . 6
29	27	nn0cni 9558	. . . . . . 7 ;;;;
30	29	addlidi 8463	. . . . . 6 ;;;; ;;;;
31		3nn0 9564	. . . . . 6
32	7	addridi 8462	. . . . . 6
33	29	mullidi 8323	. . . . . . 7 ;;;; ;;;;
34	18	oveq1i 6089	. . . . . . . . 9
35		0p1e1 9401	. . . . . . . . 9
36	34, 35	eqtri 2259	. . . . . . . 8
37	36	oveq1i 6089	. . . . . . 7 ;;;; ;;;;
38	22, 8	nn0mulcli 9584	. . . . . . . 8
39	8, 21	deccl 9774	. . . . . . . 8 ;
40		9nn0 9570	. . . . . . . 8
41		2p1e3 9421	. . . . . . . . 9
42		8nn0 9569	. . . . . . . . . 10
43		1p1e2 9404	. . . . . . . . . . 11
44		9cn 9375	. . . . . . . . . . . . . 14
45		exp1 10965	. . . . . . . . . . . . . 14
46	44, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
47	46	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . . 12
48		9t9e81 9888	. . . . . . . . . . . 12 ;
49	47, 48	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ;
50	40, 25, 43, 49	numexpp1 13186	. . . . . . . . . 10 ;
51		8cn 9373	. . . . . . . . . . 11
52		9t8e72 9887	. . . . . . . . . . 11 ;
53	44, 51, 52	mulcomli 8327	. . . . . . . . . 10 ;
54	44	mullidi 8323	. . . . . . . . . 10
55	40, 42, 25, 50, 40, 53, 54	decmul1 9823	. . . . . . . . 9 ;;
56	40, 21, 41, 55	numexpp1 13186	. . . . . . . 8 ;;
57	31, 25	deccl 9774	. . . . . . . 8 ;
58		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ; ;
59		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ; ;
60		7t5e35 9871	. . . . . . . . . . 11 ;
61	12, 11, 60	mulcomli 8327	. . . . . . . . . 10 ;
62		7p3e10 9834	. . . . . . . . . . 11 ;
63	12, 7, 62	addcomli 8465	. . . . . . . . . 10 ;
64		ax-1cn 8266	. . . . . . . . . . . . 13
65		3p1e4 9423	. . . . . . . . . . . . 13
66	7, 64, 65	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . 12
67	66	oveq2i 6090	. . . . . . . . . . 11
68		4nn0 9565	. . . . . . . . . . . 12
69		7t3e21 9869	. . . . . . . . . . . . 13 ;
70	12, 7, 69	mulcomli 8327	. . . . . . . . . . . 12 ;
71		4cn 9365	. . . . . . . . . . . . 13
72		4p1e5 9424	. . . . . . . . . . . . 13
73	71, 64, 72	addcomli 8465	. . . . . . . . . . . 12
74	21, 25, 68, 70, 73	decaddi 9819	. . . . . . . . . . 11 ;
75	67, 74	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ;
76	61	oveq1i 6089	. . . . . . . . . . 11 ;
77	31, 22	deccl 9774	. . . . . . . . . . . . 13 ;
78	77	nn0cni 9558	. . . . . . . . . . . 12 ;
79	78	addridi 8462	. . . . . . . . . . 11 ; ;
80	76, 79	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ;
81	31, 22, 25, 20, 61, 63, 8, 22, 31, 75, 80	decmac 9811	. . . . . . . . 9 ;;
82	25	dec0h 9781	. . . . . . . . . 10 ;
83		3t2e6 9444	. . . . . . . . . . . 12
84	83, 35	oveq12i 6091	. . . . . . . . . . 11
85		6p1e7 9426	. . . . . . . . . . 11
86	84, 85	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10
87		5t2e10 9859	. . . . . . . . . . 11 ;
88	25, 20, 35, 87	decsuc 9790	. . . . . . . . . 10 ;
89	31, 22, 20, 25, 61, 82, 21, 25, 25, 86, 88	decmac 9811	. . . . . . . . 9 ;
90	8, 21, 31, 25, 58, 59, 38, 25, 8, 81, 89	decma2c 9812	. . . . . . . 8 ; ; ;;;
91		9t3e27 9882	. . . . . . . . . . 11 ;
92	44, 7, 91	mulcomli 8327	. . . . . . . . . 10 ;
93		7p4e11 9835	. . . . . . . . . 10 ;
94	21, 8, 68, 92, 41, 25, 93	decaddci 9820	. . . . . . . . 9 ;
95		9t5e45 9884	. . . . . . . . . 10 ;
96	44, 11, 95	mulcomli 8327	. . . . . . . . 9 ;
97	40, 31, 22, 61, 22, 68, 94, 96	decmul1c 9824	. . . . . . . 8 ;;
98	38, 39, 40, 56, 22, 57, 90, 97	decmul2c 9825	. . . . . . 7 ;;;;
99	33, 37, 98	3eqtr4ri 2270	. . . . . 6 ;;;;
100	19, 20, 27, 20, 28, 30, 31, 32, 99	log2ublem2 16067	. . . . 5 ;;;;
101	40, 68	deccl 9774	. . . . . 6 ;
102	101, 22	deccl 9774	. . . . 5 ;;
103		1m1e0 9356	. . . . 5
104		eqid 2238	. . . . . 6 ;;;; ;;;;
105		eqid 2238	. . . . . 6 ;; ;;
106		6nn0 9567	. . . . . . . . 9
107	21, 106	deccl 9774	. . . . . . . 8 ;
108	107, 68	deccl 9774	. . . . . . 7 ;;
109		5p1e6 9425	. . . . . . 7
110		eqid 2238	. . . . . . . 8 ;;; ;;;
111		eqid 2238	. . . . . . . 8 ; ;
112		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ;; ;;
113		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ; ;
114	21, 22, 109, 113	decsuc 9790	. . . . . . . . 9 ; ;
115		9p5e14 9849	. . . . . . . . . 10 ;
116	44, 11, 115	addcomli 8465	. . . . . . . . 9 ;
117	23, 22, 40, 112, 114, 68, 116	decaddci 9820	. . . . . . . 8 ;; ;;
118	24, 25, 40, 68, 110, 111, 117, 73	decadd 9813	. . . . . . 7 ;;; ; ;;;
119	108, 22, 109, 118	decsuc 9790	. . . . . 6 ;;; ; ;;;
120		5p5e10 9830	. . . . . 6 ;
121	26, 22, 101, 22, 104, 105, 119, 120	decaddc2 9815	. . . . 5 ;;;; ;; ;;;;
122	44	sqvali 11039	. . . . . . . 8
123		3t3e9 9445	. . . . . . . . 9
124	123	oveq1i 6089	. . . . . . . 8
125	7, 7, 44	mulassi 8329	. . . . . . . 8
126	122, 124, 125	3eqtr2i 2265	. . . . . . 7
127	126	oveq2i 6090	. . . . . 6
128	7, 44	mulcli 8325	. . . . . . . 8
129	13, 7, 128	mul12i 8466	. . . . . . 7
130	21, 68	deccl 9774	. . . . . . . . 9 ;
131		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ; ;
132	83, 41	oveq12i 6091	. . . . . . . . . . 11
133		6p3e9 9438	. . . . . . . . . . 11
134	132, 133	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10
135	71	addlidi 8463	. . . . . . . . . . 11
136	25, 20, 68, 87, 135	decaddi 9819	. . . . . . . . . 10 ;
137	31, 22, 21, 68, 61, 131, 21, 68, 25, 134, 136	decmac 9811	. . . . . . . . 9 ; ;
138	21, 25, 31, 70, 66	decaddi 9819	. . . . . . . . . 10 ;
139	8, 31, 22, 61, 22, 31, 138, 61	decmul1c 9824	. . . . . . . . 9 ;;
140	38, 21, 8, 92, 22, 130, 137, 139	decmul2c 9825	. . . . . . . 8 ;;
141	140	oveq2i 6090	. . . . . . 7 ;;
142	129, 141	eqtri 2259	. . . . . 6 ;;
143		df-3 9347	. . . . . . . 8
144	17	mulridi 8322	. . . . . . . . 9
145	144	oveq1i 6089	. . . . . . . 8
146	143, 145	eqtr4i 2262	. . . . . . 7
147	146	oveq1i 6089	. . . . . 6 ;; ;;
148	127, 142, 147	3eqtri 2263	. . . . 5 ;;
149	100, 27, 102, 25, 103, 121, 21, 41, 148	log2ublem2 16067	. . . 4 ;;;;
150	108, 106	deccl 9774	. . . . 5 ;;;
151	150, 20	deccl 9774	. . . 4 ;;;;
152	106, 31	deccl 9774	. . . 4 ;
153		2m1e1 9405	. . . 4
154		eqid 2238	. . . . 5 ;;;; ;;;;
155		eqid 2238	. . . . 5 ; ;
156		eqid 2238	. . . . . 6 ;;; ;;;
157		eqid 2238	. . . . . . 7 ;; ;;
158	107, 68, 72, 157	decsuc 9790	. . . . . 6 ;; ;;
159		6p6e12 9833	. . . . . 6 ;
160	108, 106, 106, 156, 158, 21, 159	decaddci 9820	. . . . 5 ;;; ;;;
161	7	addlidi 8463	. . . . 5
162	150, 20, 106, 31, 154, 155, 160, 161	decadd 9813	. . . 4 ;;;; ; ;;;;
163		1p2e3 9422	. . . 4
164	46	oveq2i 6090	. . . . 5
165	11, 12, 44	mulassi 8329	. . . . . 6
166		9t7e63 9886	. . . . . . . 8 ;
167	44, 12, 166	mulcomli 8327	. . . . . . 7 ;
168	167	oveq2i 6090	. . . . . 6 ;
169	165, 168	eqtri 2259	. . . . 5 ;
170		df-5 9349	. . . . . . 7
171		2t2e4 9442	. . . . . . . 8
172	171	oveq1i 6089	. . . . . . 7
173	170, 172	eqtr4i 2262	. . . . . 6
174	173	oveq1i 6089	. . . . 5 ; ;
175	164, 169, 174	3eqtri 2263	. . . 4 ;
176	149, 151, 152, 21, 153, 162, 25, 163, 175	log2ublem2 16067	. . 3 ;;;;
177	107, 22	deccl 9774	. . . . 5 ;;
178	177, 21	deccl 9774	. . . 4 ;;;
179	178, 31	deccl 9774	. . 3 ;;;;
180		3m1e2 9407	. . 3
181		eqid 2238	. . . 4 ;;;; ;;;;
182		5p3e8 9435	. . . . 5
183	11, 7, 182	addcomli 8465	. . . 4
184	178, 31, 22, 181, 183	decaddi 9819	. . 3 ;;;; ;;;;
185	12, 11	mulcli 8325	. . . . 5
186	185	mulridi 8322	. . . 4
187	11, 12	mulcomi 8326	. . . . 5
188		exp0 10963	. . . . . 6
189	44, 188	ax-mp 5	. . . . 5
190	187, 189	oveq12i 6091	. . . 4
191	7, 17, 83	mulcomli 8327	. . . . . . 7
192	191	oveq1i 6089	. . . . . 6
193		df-7 9351	. . . . . 6
194	192, 193	eqtr4i 2262	. . . . 5
195	194	oveq1i 6089	. . . 4
196	186, 190, 195	3eqtr4i 2269	. . 3
197	176, 179, 22, 31, 180, 184, 20, 161, 196	log2ublem2 16067	. 2 ;;;;
198		eqid 2238	. . 3 ;;;; ;;;;
199		eqid 2238	. . . 4 ;;; ;;;
200		eqid 2238	. . . . 5 ;; ;;
201		00id 8461	. . . . . 6
202	20	dec0h 9781	. . . . . 6 ;
203	201, 202	eqtri 2259	. . . . 5 ;
204		eqid 2238	. . . . . 6 ; ;
205	35, 82	eqtri 2259	. . . . . 6 ;
206	171, 35	oveq12i 6091	. . . . . . 7
207	206, 72	eqtri 2259	. . . . . 6
208		6cn 9369	. . . . . . . 8
209		6t2e12 9863	. . . . . . . 8 ;
210	208, 17, 209	mulcomli 8327	. . . . . . 7 ;
211	25, 21, 41, 210	decsuc 9790	. . . . . 6 ;
212	21, 106, 20, 25, 204, 205, 21, 31, 25, 207, 211	decma2c 9812	. . . . 5 ; ;
213	11, 17, 87	mulcomli 8327	. . . . . . 7 ;
214	213	oveq1i 6089	. . . . . 6 ;
215		dec10p 9802	. . . . . 6 ; ;
216	214, 215	eqtri 2259	. . . . 5 ;
217	107, 22, 20, 20, 200, 203, 21, 20, 25, 212, 216	decma2c 9812	. . . 4 ;; ;;
218	22	dec0h 9781	. . . . 5 ;
219	172, 72, 218	3eqtri 2263	. . . 4 ;
220	177, 21, 20, 25, 199, 82, 21, 22, 20, 217, 219	decma2c 9812	. . 3 ;;; ;;;
221		8t2e16 9874	. . . 4 ;
222	51, 17, 221	mulcomli 8327	. . 3 ;
223	21, 178, 42, 198, 106, 25, 220, 222	decmul2c 9825	. 2 ;;;; ;;;;
224	197, 223	breqtri 4153	1 ;;;;

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wceq 1402

wcel 2209

c0 3520 class class class wbr 4128 (class class class)co 6079

cc 8171

cc0 8173

c1 8174

caddc 8176

cmul 8178

cle 8355

cmin 8491

cdiv 8996

c2 9338

c3 9339

c4 9340

c5 9341

c6 9342

c7 9343

c8 9344

c9 9345

cn0 9546 ;cdc 9760

cfz 10394

cexp 10958

csu 12102

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4244 ax-sep 4247 ax-nul 4257 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-iinf 4733 ax-cnex 8264 ax-resscn 8265 ax-1cn 8266 ax-1re 8267 ax-icn 8268 ax-addcl 8269 ax-addrcl 8270 ax-mulcl 8271 ax-mulrcl 8272 ax-addcom 8273 ax-mulcom 8274 ax-addass 8275 ax-mulass 8276 ax-distr 8277 ax-i2m1 8278 ax-0lt1 8279 ax-1rid 8280 ax-0id 8281 ax-rnegex 8282 ax-precex 8283 ax-cnre 8284 ax-pre-ltirr 8285 ax-pre-ltwlin 8286 ax-pre-lttrn 8287 ax-pre-apti 8288 ax-pre-ltadd 8289 ax-pre-mulgt0 8290 ax-pre-mulext 8291 ax-arch 8292 ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-int 3969 df-iun 4012 df-br 4129 df-opab 4191 df-mpt 4192 df-tr 4228 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-iord 4509 df-on 4511 df-ilim 4512 df-suc 4514 df-iom 4736 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-rn 4783 df-res 4784 df-ima 4785 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fn 5378 df-f 5379 df-f1 5380 df-fo 5381 df-f1o 5382 df-fv 5383 df-isom 5384 df-riota 6032 df-ov 6082 df-oprab 6083 df-mpo 6084 df-1st 6368 df-2nd 6369 df-recs 6570 df-irdg 6635 df-frec 6656 df-1o 6681 df-oadd 6685 df-er 6801 df-en 7017 df-dom 7018 df-fin 7019 df-pnf 8356 df-mnf 8357 df-xr 8358 df-ltxr 8359 df-le 8360 df-sub 8493 df-neg 8494 df-reap 8897 df-ap 8904 df-div 8997 df-inn 9288 df-2 9346 df-3 9347 df-4 9348 df-5 9349 df-6 9350 df-7 9351 df-8 9352 df-9 9353 df-n0 9547 df-z 9628 df-dec 9761 df-uz 9905 df-q 10003 df-rp 10038 df-fz 10395 df-fzo 10533 df-seqfrec 10868 df-exp 10959 df-ihash 11198 df-cj 11590 df-re 11591 df-im 11592 df-rsqrt 11747 df-abs 11748 df-clim 12028 df-sumdc 12103

This theorem is referenced by: log2ublog2 16069

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