Theorem expcn 15722

Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 𝑁, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 8303. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expcn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcn

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6093	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑0))
2	1	mpteq2dv 4222	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
3	2	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4		oveq2 6093	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
5	4	mpteq2dv 4222	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)))
6	5	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7		oveq2 6093	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
8	7	mpteq2dv 4222	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
9	8	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
10		oveq2 6093	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑁))
11	10	mpteq2dv 4222	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)))
12	11	eleq1d 2307	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
13		exp0 10994	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
14	13	mpteq2ia 4217	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15		expcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
16	15	cnfldtopon 15693	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
18		1cnd 8343	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	cnmptc 15435	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
20	19	mptru 1411	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
21	14, 20	eqeltri 2311	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
22		oveq1 6092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = (𝑛↑(𝑘 + 1)))
23	22	cbvmptv 4227	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1)))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		expp1 10997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
27		expcl 11008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝑘) ∈ ℂ)
28		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcld 8347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛↑𝑘) · 𝑛) ∈ ℂ)
30		oveq1 6092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑛↑𝑘) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑣))
31		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ((𝑛↑𝑘) · 𝑣) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
32		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
33	30, 31, 32	ovmpog 6223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
34	27, 28, 29, 33	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
35	26, 34	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛))
36	24, 25, 35	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛))
37	36	mpteq2dva 4221	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛)))
38	23, 37	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛)))
39	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
40		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑𝑘) = (𝑛↑𝑘))
41	40	cbvmptv 4227	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘))
42		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
43	41, 42	eqeltrrid 2326	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
44	39	cnmptid 15434	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ 𝑛) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
45	15	mpomulcn 15719	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
46	45	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
47	39, 43, 44, 46	cnmpt12f 15439	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	38, 47	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	ex 115	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
50	3, 6, 9, 12, 21, 49	nn0ind 9765	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  ℂcc 8178  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185  ℕ₀cn0 9568  ↑cexp 10989  TopOpenctopn 13645  ℂ_fldccnfld 14944  TopOnctopon 15163   Cn ccn 15338   ×_t ctx 15405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-sup 7325  df-inf 7326  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-xneg 10185  df-xadd 10186  df-fz 10423  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-struct 13405  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-plusg 13495  df-mulr 13496  df-starv 13497  df-tset 13501  df-ple 13502  df-ds 13504  df-unif 13505  df-rest 13646  df-topn 13647  df-topgen 13665  df-psmet 14931  df-xmet 14932  df-met 14933  df-bl 14934  df-mopn 14935  df-fg 14937  df-metu 14938  df-cnfld 14945  df-top 15151  df-topon 15164  df-topsp 15184  df-bases 15196  df-cn 15341  df-cnp 15342  df-tx 15406  df-xms 15492  df-ms 15493

This theorem is used by:  plycn  15915