Theorem expcn 14805

Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent 𝑁, is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) Avoid ax-mulf 8002. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
expcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
expcn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcn

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5930	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑0))
2	1	mpteq2dv 4124	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
3	2	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
4		oveq2 5930	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
5	4	mpteq2dv 4124	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)))
6	5	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
7		oveq2 5930	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
8	7	mpteq2dv 4124	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
9	8	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
10		oveq2 5930	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑁))
11	10	mpteq2dv 4124	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)))
12	11	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
13		exp0 10635	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
14	13	mpteq2ia 4119	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15		expcn.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
16	15	cnfldtopon 14776	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
17	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
18		1cnd 8042	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
19	17, 17, 18	cnmptc 14518	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
20	19	mptru 1373	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
21	14, 20	eqeltri 2269	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)
22		oveq1 5929	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = (𝑛↑(𝑘 + 1)))
23	22	cbvmptv 4129	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1)))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → 𝑛 ∈ ℂ)
25		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		expp1 10638	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
27		expcl 10649	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑𝑘) ∈ ℂ)
28		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛↑𝑘) · 𝑛) ∈ ℂ)
30		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = (𝑛↑𝑘) → (𝑢 · 𝑣) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑣))
31		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑛 → ((𝑛↑𝑘) · 𝑣) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
32		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))
33	30, 31, 32	ovmpog 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ ((𝑛↑𝑘) · 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
34	27, 28, 29, 33	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛) = ((𝑛↑𝑘) · 𝑛))
35	26, 34	eqtr4d 2232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛))
36	24, 25, 35	syl2anr 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑛↑(𝑘 + 1)) = ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛))
37	36	mpteq2dva 4123	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛)))
38	23, 37	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛)))
39	16	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
40		oveq1 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑥↑𝑘) = (𝑛↑𝑘))
41	40	cbvmptv 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) = (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘))
42		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
43	41, 42	eqeltrrid 2284	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ (𝑛↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
44	39	cnmptid 14517	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ 𝑛) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
45	15	mpomulcn 14802	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
46	45	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
47	39, 43, 44, 46	cnmpt12f 14522	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑛 ∈ ℂ ↦ ((𝑛↑𝑘)(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑛)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
48	38, 47	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
49	48	ex 115	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑘)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
50	3, 6, 9, 12, 21, 49	nn0ind 9440	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167   ↦ cmpt 4094  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  ℂcc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884  ℕ₀cn0 9249  ↑cexp 10630  TopOpenctopn 12911  ℂ_fldccnfld 14112  TopOnctopon 14246   Cn ccn 14421   ×_t ctx 14488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-top 14234  df-topon 14247  df-topsp 14267  df-bases 14279  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-xms 14575  df-ms 14576

This theorem is referenced by:  plycn  14998