MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerlem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cramerlem3 22607
Description: Lemma 3 for cramer 22609. (Contributed by AV, 21-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cramer.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
cramer.q / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
cramerlem3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   𝑖,𝑍   Β· ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)
Proof of Theorem cramerlem3
Dummy variables 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramer.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cramer.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
3 cramer.v . . 3 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
4 cramer.x . . 3 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
5 cramer.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
61, 2, 3, 4, 5slesolex 22600 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ)
7 cramer.q . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
81, 2, 3, 5, 4, 7cramerlem2 22606 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ β†’ 𝑧 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))))
983adant1l 1173 . . 3 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ β†’ 𝑧 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))))
10 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑣 β†’ (𝑋 Β· 𝑧) = (𝑋 Β· 𝑣))
1110eqeq1d 2727 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑣 β†’ ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ ↔ (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ))
12 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑣) = (𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))))
1312eqeq1d 2727 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ ((𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ ↔ (𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ))
1411, 13rexraleqim 3626 . . . . . 6 ((βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ β†’ 𝑧 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))))) β†’ (𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ)
15 oveq2 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))))
1615adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ ∧ 𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))))
17 simpl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ ∧ 𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) β†’ (𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ)
1816, 17eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (((𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ ∧ 𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
1918ex 411 . . . . . . 7 ((𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
2019a1d 25 . . . . . 6 ((𝑋 Β· (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) = π‘Œ β†’ (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)))
2114, 20syl 17 . . . . 5 ((βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ β†’ 𝑧 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))))) β†’ (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)))
2221expcom 412 . . . 4 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ β†’ 𝑧 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ β†’ (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
2322com23 86 . . 3 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑋 Β· 𝑧) = π‘Œ β†’ 𝑧 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹)))) β†’ (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
249, 23mpcom 38 . 2 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (𝑋 Β· 𝑣) = π‘Œ β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)))
256, 24mpd 15 1 (((𝑁 β‰  βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  Basecbs 17177  CRingccrg 20176  Unitcui 20296  /rcdvr 20341   Mat cmat 22323   maVecMul cmvmul 22458   matRepV cmatrepV 22475   maDet cmdat 22502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-word 14495  df-lsw 14543  df-concat 14551  df-s1 14576  df-substr 14621  df-pfx 14651  df-splice 14730  df-reverse 14739  df-s2 14829  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-efmnd 18823  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-gim 19215  df-cntz 19270  df-oppg 19299  df-symg 19324  df-pmtr 19399  df-psgn 19448  df-evpm 19449  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-srg 20129  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-rhm 20413  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-cnfld 21282  df-zring 21375  df-zrh 21431  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-assa 21789  df-mamu 22307  df-mat 22324  df-mvmul 22459  df-marrep 22476  df-marepv 22477  df-subma 22495  df-mdet 22503  df-madu 22552  df-minmar1 22553
This theorem is referenced by:  cramer  22609
  Copyright terms: Public domain W3C validator