MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramerlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramerlem3 22038
Description: Lemma 3 for cramer 22040. (Contributed by AV, 21-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramerlem3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramerlem3
Dummy variables 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cramer.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cramer.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 cramer.v . . 3 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
4 cramer.x . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
5 cramer.d . . 3 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
61, 2, 3, 4, 5slesolex 22031 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∃𝑣𝑉 (𝑋 · 𝑣) = 𝑌)
7 cramer.q . . . . 5 / = (/r𝑅)
81, 2, 3, 5, 4, 7cramerlem2 22037 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
983adant1l 1176 . . 3 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → ∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
10 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑣 → (𝑋 · 𝑧) = (𝑋 · 𝑣))
1110eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑣 → ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌 ↔ (𝑋 · 𝑣) = 𝑌))
12 oveq2 7365 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑣) = (𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
1312eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → ((𝑋 · 𝑣) = 𝑌 ↔ (𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌))
1411, 13rexraleqim 3597 . . . . . 6 ((∃𝑣𝑉 (𝑋 · 𝑣) = 𝑌 ∧ ∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))) → (𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌)
15 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))))
17 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) → (𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌)
1816, 17eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
1918ex 413 . . . . . . 7 ((𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌 → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
2019a1d 25 . . . . . 6 ((𝑋 · (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) = 𝑌 → (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
2114, 20syl 17 . . . . 5 ((∃𝑣𝑉 (𝑋 · 𝑣) = 𝑌 ∧ ∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))) → (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
2221expcom 414 . . . 4 (∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) → (∃𝑣𝑉 (𝑋 · 𝑣) = 𝑌 → (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
2322com23 86 . . 3 (∀𝑧𝑉 ((𝑋 · 𝑧) = 𝑌𝑧 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋)))) → (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (∃𝑣𝑉 (𝑋 · 𝑣) = 𝑌 → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
249, 23mpcom 38 . 2 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (∃𝑣𝑉 (𝑋 · 𝑣) = 𝑌 → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
256, 24mpd 15 1 (((𝑁 ≠ ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  c0 4282  cop 4592  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Basecbs 17083  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  /rcdvr 20111   Mat cmat 21754   maVecMul cmvmul 21889   matRepV cmatrepV 21906   maDet cmdat 21933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-assa 21259  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mvmul 21890  df-marrep 21907  df-marepv 21908  df-subma 21926  df-mdet 21934  df-madu 21983  df-minmar1 21984
This theorem is referenced by:  cramer  22040
  Copyright terms: Public domain W3C validator