MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrnznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrnznn 26301
Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrnznn (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dgrnznn
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
21fveq1d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃𝐴) = ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴))
3 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃𝐴) = 0)
4 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃‘0) ∈ V
54fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
65ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
72, 3, 63eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘0) = 0)
87sneqd 4643 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → {(𝑃‘0)} = {0})
98xpeq2d 5719 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (ℂ × {(𝑃‘0)}) = (ℂ × {0}))
101, 9eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {0}))
11 df-0p 25719 . . . . . . . 8 0𝑝 = (ℂ × {0})
1210, 11eqtr4di 2793 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = 0𝑝)
1312ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) → (𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}) → 𝑃 = 0𝑝))
1413necon3ad 2951 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1514impcom 407 . . . 4 ((𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
1615adantll 714 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
17 0dgrb 26300 . . . 4 (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1817ad2antrr 726 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1916, 18mtbird 325 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ (deg‘𝑃) = 0)
20 dgrcl 26287 . . . 4 (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
2120ad2antrr 726 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
22 elnn0 12526 . . 3 ((deg‘𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
2321, 22sylib 218 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
24 orel2 890 . 2 (¬ (deg‘𝑃) = 0 → (((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ))
2519, 23, 24sylc 65 1 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  cc 11151  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  0𝑝c0p 25718  Polycply 26238  degcdgr 26241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244  df-dgr 26245
This theorem is referenced by:  dgraalem  43134  dgraaub  43137  etransclem47  46237
  Copyright terms: Public domain W3C validator