Theorem dgrnznn 26415

Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrnznn	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dgrnznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
2	1	fveq1d 6883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴))
3		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘𝐴) = 0)
4		fvex 6894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
5	4	fvconst2 7202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
6	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
7	2, 3, 6	3eqtr3rd 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘0) = 0)
8	7	sneqd 4600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → {(𝑃‘0)} = {0})
9	8	xpeq2d 5690	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (ℂ × {(𝑃‘0)}) = (ℂ × {0}))
10	1, 9	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {0}))
11		df-0p 25840	. . . . . . . 8 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
12	10, 11	eqtr4di 2815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = 0𝑝)
13	12	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → (𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}) → 𝑃 = 0𝑝))
14	13	necon3ad 2970	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
15	14	impcom 412	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
16	15	adantll 726	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
17		0dgrb 26414	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
18	17	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
19	16, 18	mtbird 328	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ (deg‘𝑃) = 0)
20		dgrcl 26401	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
22		elnn0 12512	. . 3 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
23	21, 22	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
24		orel2 903	. 2 ⊢ (¬ (deg‘𝑃) = 0 → (((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ))
25	19, 23, 24	sylc 66	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {csn 4588   × cxp 5658  ‘cfv 6536  ℂcc 11104  0cc0 11106  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510  0_𝑝c0p 25839  Polycply 26352  degcdgr 26355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-0p 25840  df-ply 26356  df-coe 26358  df-dgr 26359

This theorem is used by:  dgraalem  43900  dgraaub  43903  etransclem47  47023