MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrnznn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrnznn 25997
Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrnznn (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•)
Proof of Theorem dgrnznn
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)}))
21fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = ((β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})β€˜π΄))
3 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)
4 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘ƒβ€˜0) ∈ V
54fvconst2 7207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})β€˜π΄) = (π‘ƒβ€˜0))
65ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ ((β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})β€˜π΄) = (π‘ƒβ€˜0))
72, 3, 63eqtr3rd 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 0)
87sneqd 4640 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ {(π‘ƒβ€˜0)} = {0})
98xpeq2d 5706 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)}) = (β„‚ Γ— {0}))
101, 9eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ 𝑃 = (β„‚ Γ— {0}))
11 df-0p 25420 . . . . . . . 8 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
1210, 11eqtr4di 2789 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) ∧ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})) β†’ 𝑃 = 0𝑝)
1312ex 412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)}) β†’ 𝑃 = 0𝑝))
1413necon3ad 2952 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0) β†’ (𝑃 β‰  0𝑝 β†’ Β¬ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})))
1514impcom 407 . . . 4 ((𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ Β¬ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)}))
1615adantll 711 . . 3 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ Β¬ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)}))
17 0dgrb 25996 . . . 4 (𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((degβ€˜π‘ƒ) = 0 ↔ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})))
1817ad2antrr 723 . . 3 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ ((degβ€˜π‘ƒ) = 0 ↔ 𝑃 = (β„‚ Γ— {(π‘ƒβ€˜0)})))
1916, 18mtbird 325 . 2 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ Β¬ (degβ€˜π‘ƒ) = 0)
20 dgrcl 25983 . . . 4 (𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
2120ad2antrr 723 . . 3 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
22 elnn0 12479 . . 3 ((degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 ↔ ((degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„• ∨ (degβ€˜π‘ƒ) = 0))
2321, 22sylib 217 . 2 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ ((degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„• ∨ (degβ€˜π‘ƒ) = 0))
24 orel2 888 . 2 (Β¬ (degβ€˜π‘ƒ) = 0 β†’ (((degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„• ∨ (degβ€˜π‘ƒ) = 0) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•))
2519, 23, 24sylc 65 1 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {csn 4628   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  β„‚cc 11111  0cc0 11113  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  0𝑝c0p 25419  Polycply 25934  degcdgr 25937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-0p 25420  df-ply 25938  df-coe 25940  df-dgr 25941
This theorem is referenced by:  dgraalem  42190  dgraaub  42193  etransclem47  45296
  Copyright terms: Public domain W3C validator