Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrnznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrnznn 24752
 Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrnznn (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dgrnznn
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
21fveq1d 6669 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃𝐴) = ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴))
3 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃𝐴) = 0)
4 fvex 6680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃‘0) ∈ V
54fvconst2 6962 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
65ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
72, 3, 63eqtr3rd 2870 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘0) = 0)
87sneqd 4576 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → {(𝑃‘0)} = {0})
98xpeq2d 5584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (ℂ × {(𝑃‘0)}) = (ℂ × {0}))
101, 9eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {0}))
11 df-0p 24186 . . . . . . . 8 0𝑝 = (ℂ × {0})
1210, 11syl6eqr 2879 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = 0𝑝)
1312ex 413 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) → (𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}) → 𝑃 = 0𝑝))
1413necon3ad 3034 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1514impcom 408 . . . 4 ((𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
1615adantll 710 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
17 0dgrb 24751 . . . 4 (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1817ad2antrr 722 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
1916, 18mtbird 326 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ¬ (deg‘𝑃) = 0)
20 dgrcl 24738 . . . 4 (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
2120ad2antrr 722 . . 3 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
22 elnn0 11888 . . 3 ((deg‘𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
2321, 22sylib 219 . 2 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
24 orel2 886 . 2 (¬ (deg‘𝑃) = 0 → (((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ))
2519, 23, 24sylc 65 1 (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 843   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  {csn 4564   × cxp 5552  ‘cfv 6352  ℂcc 10524  0cc0 10526  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  0𝑝c0p 24185  Polycply 24689  degcdgr 24692 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-0p 24186  df-ply 24693  df-coe 24695  df-dgr 24696 This theorem is referenced by:  dgraalem  39610  dgraaub  39613  etransclem47  42432
 Copyright terms: Public domain W3C validator