Theorem dgrnznn 26174

Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrnznn	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dgrnznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
2	1	fveq1d 6819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴))
3		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘𝐴) = 0)
4		fvex 6830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
5	4	fvconst2 7133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
6	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
7	2, 3, 6	3eqtr3rd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘0) = 0)
8	7	sneqd 4583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → {(𝑃‘0)} = {0})
9	8	xpeq2d 5641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (ℂ × {(𝑃‘0)}) = (ℂ × {0}))
10	1, 9	eqtrd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {0}))
11		df-0p 25593	. . . . . . . 8 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
12	10, 11	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = 0𝑝)
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → (𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}) → 𝑃 = 0𝑝))
14	13	necon3ad 2941	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
15	14	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
16	15	adantll 714	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
17		0dgrb 26173	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
18	17	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
19	16, 18	mtbird 325	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ (deg‘𝑃) = 0)
20		dgrcl 26160	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
22		elnn0 12378	. . 3 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
23	21, 22	sylib 218	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
24		orel2 890	. 2 ⊢ (¬ (deg‘𝑃) = 0 → (((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ))
25	19, 23, 24	sylc 65	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {csn 4571   × cxp 5609  ‘cfv 6476  ℂcc 10999  0cc0 11001  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  0_𝑝c0p 25592  Polycply 26111  degcdgr 26114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-0p 25593  df-ply 26115  df-coe 26117  df-dgr 26118

This theorem is referenced by:  dgraalem  43178  dgraaub  43181  etransclem47  46319