Theorem dgrnznn 26230

Description: A nonzero polynomial with a root has positive degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrnznn	⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Proof of Theorem dgrnznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
2	1	fveq1d 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘𝐴) = ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴))
3		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘𝐴) = 0)
4		fvex 6840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃‘0) ∈ V
5	4	fvconst2 7148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
6	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → ((ℂ × {(𝑃‘0)})‘𝐴) = (𝑃‘0))
7	2, 3, 6	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (𝑃‘0) = 0)
8	7	sneqd 4567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → {(𝑃‘0)} = {0})
9	8	xpeq2d 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → (ℂ × {(𝑃‘0)}) = (ℂ × {0}))
10	1, 9	eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = (ℂ × {0}))
11		df-0p 25655	. . . . . . . 8 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
12	10, 11	eqtr4di 2792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) ∧ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})) → 𝑃 = 0𝑝)
13	12	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → (𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}) → 𝑃 = 0𝑝))
14	13	necon3ad 2947	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
15	14	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
16	15	adantll 720	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)}))
17		0dgrb 26229	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
18	17	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = (ℂ × {(𝑃‘0)})))
19	16, 18	mtbird 326	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ¬ (deg‘𝑃) = 0)
20		dgrcl 26216	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
21	20	ad2antrr 732	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
22		elnn0 12430	. . 3 ⊢ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
23	21, 22	sylib 219	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → ((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0))
24		orel2 896	. 2 ⊢ (¬ (deg‘𝑃) = 0 → (((deg‘𝑃) ∈ ℕ ∨ (deg‘𝑃) = 0) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ))
25	19, 23, 24	sylc 65	1 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {csn 4555   × cxp 5616  ‘cfv 6485  ℂcc 11027  0cc0 11029  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  0_𝑝c0p 25654  Polycply 26167  degcdgr 26170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-0p 25655  df-ply 26171  df-coe 26173  df-dgr 26174

This theorem is referenced by:  dgraalem  43590  dgraaub  43593  etransclem47  46724