Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraalem 39181
Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraalem (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dgraalem
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgraaval 39180 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 3972 . . . . 5 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
3 nnuz 12119 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3919 . . . 4 {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1)
5 eldifsn 4620 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
65biimpi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
76ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
8 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏𝐴) = 0)
10 dgrnznn 24508 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑏𝐴) = 0)) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
117, 8, 9, 10syl12anc 833 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
12 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13 eqid 2793 . . . . . . . . . 10 (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)
149, 13jctil 520 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0))
15 eqeq2 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (deg‘𝑏) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏)))
1615anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (deg‘𝑏) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
17 fveqeq2 6539 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 → ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)))
18 fveq1 6529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑏 → (𝑝𝐴) = (𝑏𝐴))
1918eqeq1d 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 → ((𝑝𝐴) = 0 ↔ (𝑏𝐴) = 0))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑏 → (((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0)))
2116, 20rspc2ev 3569 . . . . . . . . 9 (((deg‘𝑏) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2211, 12, 14, 21syl3anc 1362 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2322ex 413 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
2423rexlimiva 3241 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
2524impcom 408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
26 elqaa 24582 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏𝐴) = 0))
27 rabn0 4253 . . . . 5 ({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0))
2825, 26, 273imtr4i 293 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅)
29 infssuzcl 12170 . . . 4 (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ≠ ∅) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
304, 28, 29sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
311, 30eqeltrd 2881 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)})
32 eqeq2 2804 . . . . 5 (𝑎 = (degAA𝐴) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (degAA𝐴)))
3332anbi1d 629 . . . 4 (𝑎 = (degAA𝐴) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3433rexbidv 3257 . . 3 (𝑎 = (degAA𝐴) → (∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0) ↔ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3534elrab 3613 . 2 ((degAA𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝𝐴) = 0)} ↔ ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
3631, 35sylib 219 1 (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA𝐴) ∧ (𝑝𝐴) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wrex 3104  {crab 3107  cdif 3851  wss 3854  c0 4206  {csn 4466  cfv 6217  infcinf 8741  cc 10370  cr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   < clt 10510  cn 11475  cuz 12082  cq 12186  0𝑝c0p 23941  Polycply 24445  degcdgr 24448  𝔸caa 24574  degAAcdgraa 39176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-mod 13076  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-0p 23942  df-ply 24449  df-coe 24451  df-dgr 24452  df-aa 24575  df-dgraa 39178
This theorem is referenced by:  dgraacl  39182  mpaaeu  39186
  Copyright terms: Public domain W3C validator