Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraalem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraalem 42190
Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraalem (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ ((degAAβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degAAβ€˜π΄) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dgraalem
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgraaval 42189 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (degAAβ€˜π΄) = inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ))
2 ssrab2 4077 . . . . 5 {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} βŠ† β„•
3 nnuz 12870 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
42, 3sseqtri 4018 . . . 4 {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
5 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑏 β‰  0𝑝))
65biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) β†’ (𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑏 β‰  0𝑝))
76ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑏 β‰  0𝑝))
8 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (π‘β€˜π΄) = 0)
10 dgrnznn 25997 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑏 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)) β†’ (degβ€˜π‘) ∈ β„•)
117, 8, 9, 10syl12anc 834 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (degβ€˜π‘) ∈ β„•)
12 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ 𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
13 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘)
149, 13jctil 519 . . . . . . . . 9 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
15 eqeq2 2743 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (degβ€˜π‘) β†’ ((degβ€˜π‘) = π‘Ž ↔ (degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘)))
1615anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (degβ€˜π‘) β†’ (((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
17 fveqeq2 6900 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 β†’ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘) ↔ (degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘)))
18 fveq1 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑏 β†’ (π‘β€˜π΄) = (π‘β€˜π΄))
1918eqeq1d 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑏 β†’ ((π‘β€˜π΄) = 0 ↔ (π‘β€˜π΄) = 0))
2017, 19anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑏 β†’ (((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
2116, 20rspc2ev 3624 . . . . . . . . 9 (((degβ€˜π‘) ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ ((degβ€˜π‘) = (degβ€˜π‘) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
2211, 12, 14, 21syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
2322ex 412 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
2423rexlimiva 3146 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘β€˜π΄) = 0 β†’ (𝐴 ∈ β„‚ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
2524impcom 407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘β€˜π΄) = 0) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
26 elqaa 26072 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘β€˜π΄) = 0))
27 rabn0 4385 . . . . 5 ({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0))
2825, 26, 273imtr4i 292 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} β‰  βˆ…)
29 infssuzcl 12921 . . . 4 (({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} β‰  βˆ…) β†’ inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)})
304, 28, 29sylancr 586 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ inf({π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)})
311, 30eqeltrd 2832 . 2 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (degAAβ€˜π΄) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)})
32 eqeq2 2743 . . . . 5 (π‘Ž = (degAAβ€˜π΄) β†’ ((degβ€˜π‘) = π‘Ž ↔ (degβ€˜π‘) = (degAAβ€˜π΄)))
3332anbi1d 629 . . . 4 (π‘Ž = (degAAβ€˜π΄) β†’ (((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ ((degβ€˜π‘) = (degAAβ€˜π΄) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
3433rexbidv 3177 . . 3 (π‘Ž = (degAAβ€˜π΄) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degAAβ€˜π΄) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
3534elrab 3683 . 2 ((degAAβ€˜π΄) ∈ {π‘Ž ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = π‘Ž ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)} ↔ ((degAAβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degAAβ€˜π΄) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
3631, 35sylib 217 1 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ ((degAAβ€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = (degAAβ€˜π΄) ∧ (π‘β€˜π΄) = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  β€˜cfv 6543  infcinf 9440  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   < clt 11253  β„•cn 12217  β„€β‰₯cuz 12827  β„šcq 12937  0𝑝c0p 25419  Polycply 25934  degcdgr 25937  π”Έcaa 26064  degAAcdgraa 42185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-0p 25420  df-ply 25938  df-coe 25940  df-dgr 25941  df-aa 26065  df-dgraa 42187
This theorem is referenced by:  dgraacl  42191  mpaaeu  42195
  Copyright terms: Public domain W3C validator