Theorem dgraalem 43491

Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraalem	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dgraalem

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgraaval 43490	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
2		ssrab2 4034	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
3		nnuz 12802	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 3984	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1)
5		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
6	5	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
7	6	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
8		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏‘𝐴) = 0)
10		dgrnznn 26220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
11	7, 8, 9, 10	syl12anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
12		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)
14	9, 13	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
15		eqeq2 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑏) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏)))
16	15	anbi1d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑏) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
17		fveqeq2 6851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)))
18		fveq1 6841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝑝‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
19	18	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝑝‘𝐴) = 0 ↔ (𝑏‘𝐴) = 0))
20	17, 19	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
21	16, 20	rspc2ev 3591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((deg‘𝑏) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
22	11, 12, 14, 21	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
23	22	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
24	23	rexlimiva 3131	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
25	24	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏‘𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
26		elqaa 26298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏‘𝐴) = 0))
27		rabn0 4343	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 26, 27	3imtr4i 292	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ≠ ∅)
29		infssuzcl 12857	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ≠ ∅) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)})
30	4, 28, 29	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)})
31	1, 30	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)})
32		eqeq2 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (degAA‘𝐴) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴)))
33	32	anbi1d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (degAA‘𝐴) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
34	33	rexbidv 3162	. . 3 ⊢ (𝑎 = (degAA‘𝐴) → (∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
35	34	elrab 3648	. 2 ⊢ ((degAA‘𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ↔ ((degAA‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
36	31, 35	sylib 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  {crab 3401   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582  ‘cfv 6500  infcinf 9356  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178  ℕcn 12157  ℤ_≥cuz 12763  ℚcq 12873  0_𝑝c0p 25638  Polycply 26157  degcdgr 26160  𝔸caa 26290  deg_AAcdgraa 43486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-0p 25639  df-ply 26161  df-coe 26163  df-dgr 26164  df-aa 26291  df-dgraa 43488

This theorem is referenced by:  dgraacl  43492  mpaaeu  43496