Theorem dgraalem 39181

Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraalem	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem dgraalem

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgraaval 39180	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) = inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ))
2		ssrab2 3972	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ⊆ ℕ
3		nnuz 12119	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4	2, 3	sseqtri 3919	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1)
5		eldifsn 4620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
6	5	biimpi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
7	6	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝))
8		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑏‘𝐴) = 0)
10		dgrnznn 24508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑏 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
11	7, 8, 9, 10	syl12anc 833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (deg‘𝑏) ∈ ℕ)
12		simpll 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
13		eqid 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)
14	9, 13	jctil 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0))
15		eqeq2 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑏) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (deg‘𝑏)))
16	15	anbi1d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (deg‘𝑏) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
17		fveqeq2 6539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ↔ (deg‘𝑏) = (deg‘𝑏)))
18		fveq1 6529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (𝑝‘𝐴) = (𝑏‘𝐴))
19	18	eqeq1d 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → ((𝑝‘𝐴) = 0 ↔ (𝑏‘𝐴) = 0))
20	17, 19	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑏 → (((deg‘𝑝) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)))
21	16, 20	rspc2ev 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ (((deg‘𝑏) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ ((deg‘𝑏) = (deg‘𝑏) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0)) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
22	11, 12, 14, 21	syl3anc 1362	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
23	22	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ∧ (𝑏‘𝐴) = 0) → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
24	23	rexlimiva 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏‘𝐴) = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
25	24	impcom 408	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏‘𝐴) = 0) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
26		elqaa 24582	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑏 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})(𝑏‘𝐴) = 0))
27		rabn0 4253	. . . . 5 ⊢ ({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 26, 27	3imtr4i 293	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ≠ ∅)
29		infssuzcl 12170	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ≠ ∅) → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)})
30	4, 28, 29	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → inf({𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)}, ℝ, < ) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)})
31	1, 30	eqeltrd 2881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)})
32		eqeq2 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (degAA‘𝐴) → ((deg‘𝑝) = 𝑎 ↔ (deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴)))
33	32	anbi1d 629	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (degAA‘𝐴) → (((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
34	33	rexbidv 3257	. . 3 ⊢ (𝑎 = (degAA‘𝐴) → (∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0) ↔ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
35	34	elrab 3613	. 2 ⊢ ((degAA‘𝐴) ∈ {𝑎 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑎 ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)} ↔ ((degAA‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))
36	31, 35	sylib 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ((degAA‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = (degAA‘𝐴) ∧ (𝑝‘𝐴) = 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  ∃wrex 3104  {crab 3107   ∖ cdif 3851   ⊆ wss 3854  ∅c0 4206  {csn 4466  ‘cfv 6217  infcinf 8741  ℂcc 10370  ℝcr 10371  0cc0 10372  1c1 10373   < clt 10510  ℕcn 11475  ℤ_≥cuz 12082  ℚcq 12186  0_𝑝c0p 23941  Polycply 24445  degcdgr 24448  𝔸caa 24574  deg_AAcdgraa 39176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-pm 8250  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-mod 13076  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-rlim 14668  df-sum 14865  df-0p 23942  df-ply 24449  df-coe 24451  df-dgr 24452  df-aa 24575  df-dgraa 39178

This theorem is referenced by:  dgraacl  39182  mpaaeu  39186