Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihordlem6 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihordlem6 39873
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 122 line 35. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihordlem8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihordlem8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihordlem8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihordlem8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihordlem8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihordlem8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihordlem8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dihordlem8.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dihordlem6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑃,β„Ž   𝑅,β„Ž   𝑇,β„Ž   β„Ž,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐡(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   ≀ (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑔,𝑠)
Proof of Theorem dihordlem6
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2r 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
3 simp2l 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4 simp3 1138 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇))
5 dihordlem8.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 dihordlem8.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 dihordlem8.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 dihordlem8.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 dihordlem8.p . . 3 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 dihordlem8.o . . 3 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
11 dihordlem8.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 dihordlem8.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihordlem8.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihordlem8.s . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
15 dihordlem8.g . . 3 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
165, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15cdlemn6 39862 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
171, 2, 3, 4, 16syl121anc 1375 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) β†’ (⟨(π‘ β€˜πΊ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©) = ⟨((π‘ β€˜πΊ) ∘ 𝑔), π‘ βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βŸ¨cop 4625   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  β€˜cfv 6529  β„©crio 7345  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  +gcplusg 17176  lecple 17183  occoc 17184  Atomscatm 37922  HLchlt 38009  LHypclh 38644  LTrncltrn 38761  TEndoctendo 39412  DVecHcdvh 39738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-riotaBAD 37612
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-undef 8237  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-struct 17059  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-proset 18227  df-poset 18245  df-plt 18262  df-lub 18278  df-glb 18279  df-join 18280  df-meet 18281  df-p0 18357  df-p1 18358  df-lat 18364  df-clat 18431  df-oposet 37835  df-ol 37837  df-oml 37838  df-covers 37925  df-ats 37926  df-atl 37957  df-cvlat 37981  df-hlat 38010  df-llines 38158  df-lplanes 38159  df-lvols 38160  df-lines 38161  df-psubsp 38163  df-pmap 38164  df-padd 38456  df-lhyp 38648  df-laut 38649  df-ldil 38764  df-ltrn 38765  df-trl 38819  df-tendo 39415  df-edring 39417  df-dvech 39739
This theorem is referenced by:  dihordlem7  39874
  Copyright terms: Public domain W3C validator