Theorem cdlemn 39872

Description: Lemma N of [Crawley] p. 121 line 27. (Contributed by NM, 27-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn11.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemn11.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemn11.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemn11.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11.J	⊢ 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn11.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
cdlemn	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))) → (𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋) ↔ (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋))))

Proof of Theorem cdlemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemn11.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlemn11.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		cdlemn11.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		cdlemn11.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		cdlemn11.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		cdlemn11.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		cdlemn11.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
8		cdlemn11.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemn11.J	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	cdlemn5 39861	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋)) → (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋)))
11	10	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))) → (𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋) → (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋))))
12	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 6, 7	cdlemn11 39871	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋))) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋))
13	12	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))) → ((𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋)) → 𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋)))
14	11, 13	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≤ 𝑊))) → (𝑅 ≤ (𝑄 ∨ 𝑋) ↔ (𝐽‘𝑅) ⊆ ((𝐽‘𝑄) ⊕ (𝐼‘𝑋))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5138  ‘cfv 6529  (class class class)co 7390  Basecbs 17123  lecple 17183  joincjn 18243  LSSumclsm 19463  Atomscatm 37922  HLchlt 38009  LHypclh 38644  DVecHcdvh 39738  DIsoBcdib 39798  DIsoCcdic 39832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-riotaBAD 37612

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-tpos 8190  df-undef 8237  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-0g 17366  df-proset 18227  df-poset 18245  df-plt 18262  df-lub 18278  df-glb 18279  df-join 18280  df-meet 18281  df-p0 18357  df-p1 18358  df-lat 18364  df-clat 18431  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-submnd 18645  df-grp 18794  df-minusg 18795  df-sbg 18796  df-subg 18972  df-cntz 19144  df-lsm 19465  df-cmn 19611  df-abl 19612  df-mgp 19944  df-ur 19961  df-ring 20013  df-oppr 20099  df-dvdsr 20120  df-unit 20121  df-invr 20151  df-dvr 20162  df-drng 20264  df-lmod 20417  df-lss 20487  df-lsp 20527  df-lvec 20658  df-oposet 37835  df-ol 37837  df-oml 37838  df-covers 37925  df-ats 37926  df-atl 37957  df-cvlat 37981  df-hlat 38010  df-llines 38158  df-lplanes 38159  df-lvols 38160  df-lines 38161  df-psubsp 38163  df-pmap 38164  df-padd 38456  df-lhyp 38648  df-laut 38649  df-ldil 38764  df-ltrn 38765  df-trl 38819  df-tendo 39415  df-edring 39417  df-disoa 39689  df-dvech 39739  df-dib 39799  df-dic 39833

This theorem is referenced by:  dihjustlem  39876  dihord2a  39879