Theorem ply1pid 26396

Description: The polynomials over a field are a PID. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lpir.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1pid	⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑃 ∈ PID)

Proof of Theorem ply1pid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fldidom 20930	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ IDomn)
2		ply1lpir.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1idom 26338	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ∈ IDomn)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑃 ∈ IDomn)
5		isfld 20895	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
6	5	simplbi 502	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
7	2	ply1lpir 26395	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑃 ∈ LPIR)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑃 ∈ LPIR)
9		df-pid 21560	. . 3 ⊢ PID = (IDomn ∩ LPIR)
10	9	elin2 4156	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ PID ↔ (𝑃 ∈ IDomn ∧ 𝑃 ∈ LPIR))
11	4, 8, 10	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑃 ∈ PID)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6541  CRingccrg 20365  IDomncidom 20847  DivRingcdr 20882  Fieldcfield 20883  LPIRclpir 21544  PIDcpid 21559  Poly₁cpl1 22392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-tpos 8229  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-hash 14390  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-prds 17527  df-pws 17529  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-mhm 18883  df-submnd 18884  df-grp 19052  df-minusg 19053  df-sbg 19054  df-mulg 19183  df-subg 19238  df-ghm 19333  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-abl 19902  df-mgp 20266  df-rng 20280  df-ur 20313  df-ring 20366  df-cring 20367  df-oppr 20470  df-dvdsr 20490  df-unit 20491  df-invr 20521  df-nzr 20665  df-subrng 20700  df-subrg 20724  df-rlreg 20848  df-domn 20849  df-idom 20850  df-drng 20884  df-field 20885  df-lmod 21038  df-lss 21108  df-lsp 21148  df-sra 21349  df-rgmod 21350  df-lidl 21387  df-rsp 21388  df-lpidl 21545  df-lpir 21546  df-pid 21560  df-cnfld 21578  df-ascl 22060  df-psr 22114  df-mvr 22115  df-mpl 22116  df-opsr 22118  df-psr1 22395  df-vr1 22396  df-ply1 22397  df-coe1 22398  df-mdeg 26268  df-deg1 26269  df-mon1 26344  df-uc1p 26345  df-q1p 26346  df-r1p 26347  df-ig1p 26348

This theorem is used by:  algextdeglem4  34179