Theorem aks5lem7 42202

Description: Lemma for aks5. We clean up the hypotheses compared to aks5lem6 42194. (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem7.1	⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
aks5lem7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks5lem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lem7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5lem7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks5lem7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5lem7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5lem7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5lem7.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
aks5lem7.12	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lem7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks5lem7.14	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem7.15	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lem7.16	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑅,𝑎   𝑅,𝑏   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aks5lem7

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑙 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))}
2		aks5lem7.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks5lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ Field)
5		aks5lem7.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		aks5lem7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
9		aks5lem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11		aks5lem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks5lem7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks5lem7.9	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks5lem7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
20		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥))
21		fldidom 20772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
23	22	idomcringd 20728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
24	18, 2, 19, 20, 23, 5	frobrhm 21595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾))
25	3, 3, 24, 18, 18	fldhmf1 42092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾))
26		fvexd 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ V)
27		eqeng 9027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) = (Base‘𝐾) → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾)))
28	26, 18, 27	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾))
29		aks5lem7.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0)
31		hashclb 14398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
32	26, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
33	30, 32	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ Fin)
34		f1finf1o 9306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
35	28, 33, 34	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
36	25, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
37	24, 36	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
38	18, 18	isrim 20493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
39	37, 38	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
41		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
42		aks5lem7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
44		aks5lem7.14	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
45		aks5lem7.15	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
46		aks5lem7.16	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
47	46	oveq2i 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
48	47	oveq1i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))
49	48	sneqi 4636	. . . . . 6 ⊢ {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))} = {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}
50	49	fveq2i 6908	. . . . 5 ⊢ ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}) = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
51	45, 50	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
52		aks5lem7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53	52	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
54	1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 40, 41, 43, 44, 51, 46, 53	aks5lem6 42194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
55	54	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
56		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
57		aks5lem7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
58	3	flddrngd 20742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
59		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
60		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
61	18, 59, 60	isdrng 20734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
62	61	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
64	63	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}))
65	64	fveq2d 6909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
66	63	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
67		ringgrp 20236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 ∈ Grp)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
69	18, 60	grpidcl 18984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Grp → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
71		hashdifsn 14454	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∈ Fin ∧ (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
72	33, 70, 71	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
73	65, 72	eqtr2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Unit‘𝐾)))
74		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
75	74, 18	mgpbas 20143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
76	75	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
77	76, 59	unitss 20377	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾))
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
79		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
80	56, 79	ressbas2 17284	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
81	78, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
82	81	fveq2d 6909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
83	73, 82	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
84	57, 83	breqtrd 5168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
85	56, 22, 33, 7, 84	unitscyglem5 42201	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅)
86		n0rex 4356	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
87	85, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
88	55, 87	r19.29a 3161	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  {csn 4625   class class class wbr 5142  {copab 5204   ↦ cmpt 5224  –1-1→wf1 6557  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744   ≈ cen 8983  Fincfn 8986  1c1 11157   · cmul 11161   < clt 11296   − cmin 11493  ℕcn 12267  2c2 12322  3c3 12323  ℕ₀cn0 12528  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548  ⌊cfl 13831  ↑cexp 14103  ♯chash 14370  √csqrt 15273   ∥ cdvds 16291   gcd cgcd 16532  ℙcprime 16709  od_ℤcodz 16801  ϕcphi 16802   pCnt cpc 16875  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  -_gcsg 18954  ._gcmg 19086   ~_QG cqg 19141  mulGrpcmgp 20138  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  Unitcui 20356   RingHom crh 20470   RingIso crs 20471  IDomncidom 20694  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731  RSpancrsp 21218  ℤRHomczrh 21511  chrcchr 21513  ℤ/nℤczn 21514  var₁cv1 22178  Poly₁cpl1 22179  eval₁ce1 22319   log_b clogb 26808   PrimRoots cprimroots 42093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-prod 15941  df-fallfac 16044  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-odz 16803  df-phi 16804  df-pc 16876  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-pws 17495  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-nsg 19143  df-eqg 19144  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-od 19547  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-rhm 20473  df-rim 20474  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-idom 20697  df-drng 20732  df-field 20733  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-2idl 21261  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-chr 21517  df-zn 21518  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174  df-log 26599  df-cxp 26600  df-logb 26809  df-primroots 42094

This theorem is referenced by:  aks5lem8  42203