Theorem aks5lem7 42781

Description: Lemma for aks5. We clean up the hypotheses compared to aks5lem6 42773. (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem7.1	⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
aks5lem7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks5lem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lem7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5lem7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks5lem7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5lem7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5lem7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5lem7.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
aks5lem7.12	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lem7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks5lem7.14	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem7.15	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lem7.16	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑅,𝑎   𝑅,𝑏   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aks5lem7

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑙 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))}
2		aks5lem7.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks5lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ Field)
5		aks5lem7.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		aks5lem7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
9		aks5lem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10	9	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11		aks5lem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks5lem7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks5lem7.9	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks5lem7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
20		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥))
21		fldidom 20800	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
23	22	idomcringd 20756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
24	18, 2, 19, 20, 23, 5	frobrhm 21607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾))
25	3, 3, 24, 18, 18	fldhmf1 42671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾))
26		fvexd 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ V)
27		eqeng 8963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) = (Base‘𝐾) → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾)))
28	26, 18, 27	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾))
29		aks5lem7.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0)
31		hashclb 14368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
32	26, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
33	30, 32	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ Fin)
34		f1finf1o 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
35	28, 33, 34	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
36	25, 35	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
37	24, 36	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
38	18, 18	isrim 20520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
39	37, 38	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
40	39	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
41		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
42		aks5lem7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
43	42	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
44		aks5lem7.14	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
45		aks5lem7.15	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
46		aks5lem7.16	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
47	46	oveq2i 7403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
48	47	oveq1i 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))
49	48	sneqi 4592	. . . . . 6 ⊢ {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))} = {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}
50	49	fveq2i 6866	. . . . 5 ⊢ ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}) = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
51	45, 50	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
52		aks5lem7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53	52	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
54	1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 40, 41, 43, 44, 51, 46, 53	aks5lem6 42773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
55	54	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
56		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
57		aks5lem7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
58	3	flddrngd 20770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
59		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
60		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
61	18, 59, 60	isdrng 20762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
62	61	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
64	63	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}))
65	64	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
66	63	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
67		ringgrp 20267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 ∈ Grp)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
69	18, 60	grpidcl 18990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Grp → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
71		hashdifsn 14424	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∈ Fin ∧ (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
72	33, 70, 71	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
73	65, 72	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Unit‘𝐾)))
74		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
75	74, 18	mgpbas 20174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
76	75	eqcomi 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
77	76, 59	unitss 20404	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾))
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
79		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
80	56, 79	ressbas2 17257	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
81	78, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
82	81	fveq2d 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
83	73, 82	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
84	57, 83	breqtrd 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
85	56, 22, 33, 7, 84	unitscyglem5 42780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅)
86		n0rex 4309	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
87	85, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
88	55, 87	r19.29a 3169	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581   class class class wbr 5099  {copab 5161   ↦ cmpt 5180  –1-1→wf1 6514  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  [cec 8671   ≈ cen 8920  Fincfn 8923  1c1 11071   · cmul 11075   < clt 11213   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  ℕ₀cn0 12478  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  ⌊cfl 13797  ↑cexp 14071  ♯chash 14340  √csqrt 15243   ∥ cdvds 16269   gcd cgcd 16511  ℙcprime 16688  od_ℤcodz 16781  ϕcphi 16782   pCnt cpc 16855  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  Grpcgrp 18958  -_gcsg 18960  ._gcmg 19092   ~_QG cqg 19147  mulGrpcmgp 20169  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  Unitcui 20383   RingHom crh 20497   RingIso crs 20498  IDomncidom 20722  DivRingcdr 20758  Fieldcfield 20759  RSpancrsp 21257  ℤRHomczrh 21531  chrcchr 21533  ℤ/nℤczn 21534  var₁cv1 22218  Poly₁cpl1 22219  eval₁ce1 22357   log_b clogb 26806   PrimRoots cprimroots 42672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-prod 15917  df-fallfac 16020  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-odz 16783  df-phi 16784  df-pc 16856  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-pws 17461  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-qus 17522  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-nsg 19149  df-eqg 19150  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-od 19551  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-srg 20216  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-rim 20501  df-nzr 20542  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-rlreg 20723  df-domn 20724  df-idom 20725  df-drng 20760  df-field 20761  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258  df-rsp 21259  df-2idl 21300  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-zring 21479  df-zrh 21535  df-chr 21537  df-zn 21538  df-assa 21885  df-asp 21886  df-ascl 21887  df-psr 21941  df-mvr 21942  df-mpl 21943  df-opsr 21945  df-evls 22107  df-evl 22108  df-psr1 22222  df-vr1 22223  df-ply1 22224  df-coe1 22225  df-evls1 22358  df-evl1 22359  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26807  df-primroots 42673

This theorem is referenced by:  aks5lem8  42782