Theorem aks5lem7 43344

Description: Lemma for aks5. We clean up the hypotheses compared to aks5lem6 43336. (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem7.1	⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
aks5lem7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks5lem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lem7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5lem7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks5lem7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5lem7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5lem7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5lem7.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
aks5lem7.12	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lem7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks5lem7.14	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem7.15	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lem7.16	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑅,𝑎   𝑅,𝑏   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem aks5lem7

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑙 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))}
2		aks5lem7.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks5lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ Field)
5		aks5lem7.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		aks5lem7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
9		aks5lem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11		aks5lem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks5lem7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks5lem7.9	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks5lem7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥))
21		fldidom 21035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
22	3, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
23	22	idomcringd 20984	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
24	18, 2, 19, 20, 23, 5	frobrhm 21887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾))
25	3, 3, 24, 18, 18	fldhmf1 43234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾))
26		fvexd 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ V)
27		eqeng 9017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) = (Base‘𝐾) → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾)))
28	26, 18, 27	mpisyl 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾))
29		aks5lem7.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0)
31		hashclb 14506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
32	26, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
33	30, 32	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ Fin)
34		f1finf1o 9268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
35	28, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
36	25, 35	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
37	24, 36	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
38	18, 18	isrim 20734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
39	37, 38	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
40	39	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
41		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
42		aks5lem7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
43	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
44		aks5lem7.14	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
45		aks5lem7.15	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
46		aks5lem7.16	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
47	46	oveq2i 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
48	47	oveq1i 7431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))
49	48	sneqi 4591	. . . . . 6 ⊢ {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))} = {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}
50	49	fveq2i 6889	. . . . 5 ⊢ ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}) = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
51	45, 50	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
52		aks5lem7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53	52	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
54	1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 40, 41, 43, 44, 51, 46, 53	aks5lem6 43336	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
55	54	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
56		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
57		aks5lem7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
58	3	flddrngd 21000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
59		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
60		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
61	18, 59, 60	isdrng 20990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
62	61	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
63	58, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
64	63	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}))
65	64	fveq2d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
66	63	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
67		ringgrp 20470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 ∈ Grp)
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
69	18, 60	grpidcl 19182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Grp → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
71		hashdifsn 14563	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∈ Fin ∧ (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
72	33, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
73	65, 72	eqtr2d 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Unit‘𝐾)))
74		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
75	74, 18	mgpbas 20371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
76	75	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
77	76, 59	unitss 20612	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾))
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
79		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
80	56, 79	ressbas2 17422	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
81	78, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
82	81	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
83	73, 82	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
84	57, 83	breqtrd 5130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
85	56, 22, 33, 7, 84	unitscyglem5 43343	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅)
86		n0rex 4304	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
87	85, 86	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
88	55, 87	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102  {copab 5166   ↦ cmpt 5185  –1-1→wf1 6536  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  [cec 8719   ≈ cen 8974  Fincfn 8977  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   − cmin 11545  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  ℕ₀cn0 12610  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  ⌊cfl 13934  ↑cexp 14208  ♯chash 14478  √csqrt 15406   ∥ cdvds 16428   gcd cgcd 16670  ℙcprime 16852  od_ℤcodz 16946  ϕcphi 16947   pCnt cpc 17020  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  +_gcplusg 17434  0_gc0g 17616  Grpcgrp 19150  -_gcsg 19152  ._gcmg 19283   ~_QG cqg 19338  mulGrpcmgp 20366  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  Unitcui 20591   RingHom crh 20705   RingIso crs 20706  IDomncidom 20951  DivRingcdr 20986  Fieldcfield 20987  RSpancrsp 21491  ℤRHomczrh 21811  chrcchr 21813  ℤ/nℤczn 21814  var₁cv1 22500  Poly₁cpl1 22501  eval₁ce1 22638   log_b clogb 27098   PrimRoots cprimroots 43235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283  ax-mulf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-acn 10027  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-prod 16079  df-fallfac 16180  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-odz 16948  df-phi 16949  df-pc 17021  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-pws 17626  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-qus 17687  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-nsg 19340  df-eqg 19341  df-ghm 19434  df-gim 19479  df-cntz 19537  df-od 19748  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-srg 20419  df-ring 20467  df-cring 20468  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-rhm 20708  df-rim 20709  df-nzr 20769  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-rlreg 20952  df-domn 20953  df-idom 20954  df-drng 20988  df-field 20989  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-sra 21454  df-rgmod 21455  df-lidl 21492  df-rsp 21493  df-2idl 21549  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-zring 21759  df-zrh 21815  df-chr 21817  df-zn 21818  df-assa 22167  df-asp 22168  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-evls 22389  df-evl 22390  df-psr1 22504  df-vr1 22505  df-ply1 22506  df-coe1 22507  df-evls1 22639  df-evl1 22640  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-mdeg 26379  df-deg1 26380  df-mon1 26455  df-uc1p 26456  df-q1p 26457  df-r1p 26458  df-log 26890  df-cxp 26891  df-logb 27099  df-primroots 43236

This theorem is used by:  aks5lem8  43345