Theorem aks5lem7 43453

Description: Lemma for aks5. We clean up the hypotheses compared to aks5lem6 43445. (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem7.1	⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
aks5lem7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks5lem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lem7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5lem7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks5lem7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5lem7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5lem7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5lem7.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
aks5lem7.12	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lem7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks5lem7.14	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem7.15	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lem7.16	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑅,𝑎   𝑅,𝑏   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem aks5lem7

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑙 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))}
2		aks5lem7.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks5lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ Field)
5		aks5lem7.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		aks5lem7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
9		aks5lem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11		aks5lem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks5lem7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks5lem7.9	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks5lem7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
20		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥))
21		fldidom 21062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
22	3, 21	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
23	22	idomcringd 21011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
24	18, 2, 19, 20, 23, 5	frobrhm 21914	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾))
25	3, 3, 24, 18, 18	fldhmf1 43343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1(Base‘𝐾))
26		fvexd 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ V)
27		eqeng 9044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) = (Base‘𝐾) → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾)))
28	26, 18, 27	mpisyl 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾))
29		aks5lem7.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0)
31		hashclb 14532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
32	26, 31	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
33	30, 32	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ Fin)
34		f1finf1o 9295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1onto(Base‘𝐾)))
35	28, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1onto(Base‘𝐾)))
36	25, 35	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1onto(Base‘𝐾))
37	24, 36	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1onto(Base‘𝐾)))
38	18, 18	isrim 20761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)⟶1-1onto(Base‘𝐾)))
39	37, 38	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
40	39	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
41		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
42		aks5lem7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
43	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
44		aks5lem7.14	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
45		aks5lem7.15	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
46		aks5lem7.16	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
47	46	oveq2i 7457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
48	47	oveq1i 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))
49	48	sneqi 4595	. . . . . 6 ⊢ {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))} = {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}
50	49	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}) = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
51	45, 50	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
52		aks5lem7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53	52	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
54	1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 40, 41, 43, 44, 51, 46, 53	aks5lem6 43445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
55	54	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
56		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
57		aks5lem7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
58	3	flddrngd 21027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
59		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
60		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
61	18, 59, 60	isdrng 21017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
62	61	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
63	58, 62	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
64	63	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}))
65	64	fveq2d 6915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
66	63	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
67		ringgrp 20497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 ∈ Grp)
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
69	18, 60	grpidcl 19208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Grp → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
71		hashdifsn 14589	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∈ Fin ∧ (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
72	33, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
73	65, 72	eqtr2d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Unit‘𝐾)))
74		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
75	74, 18	mgpbas 20398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
76	75	eqcomi 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
77	76, 59	unitss 20639	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾))
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
79		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
80	56, 79	ressbas2 17448	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
81	78, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
82	81	fveq2d 6915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
83	73, 82	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
84	57, 83	breqtrd 5135	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
85	56, 22, 33, 7, 84	unitscyglem5 43452	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅)
86		n0rex 4308	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
87	85, 86	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
88	55, 87	r19.29a 3174	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  {copab 5171   ↦ cmpt 5190  ⟶1-1wf1 6558  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  [cec 8746   ≈ cen 9001  Fincfn 9004  1c1 11231   · cmul 11235   < clt 11373   − cmin 11571  ℕcn 12365  2c2 12427  3c3 12428  ℕ₀cn0 12636  ℤ_≥cuz 12995  ...cfz 13669  ⌊cfl 13960  ↑cexp 14234  ♯chash 14504  √csqrt 15432   ∥ cdvds 16454   gcd cgcd 16696  ℙcprime 16878  od_ℤcodz 16972  ϕcphi 16973   pCnt cpc 17046  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  +_gcplusg 17460  0_gc0g 17642  Grpcgrp 19176  -_gcsg 19178  ._gcmg 19309   ~_QG cqg 19364  mulGrpcmgp 20393  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  Unitcui 20618   RingHom crh 20732   RingIso crs 20733  IDomncidom 20978  DivRingcdr 21013  Fieldcfield 21014  RSpancrsp 21518  ℤRHomczrh 21838  chrcchr 21840  ℤ/nℤczn 21841  var₁cv1 22527  Poly₁cpl1 22528  eval₁ce1 22665   log_b clogb 27125   PrimRoots cprimroots 43344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8748  df-ec 8750  df-qs 8754  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-acn 10053  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-prod 16105  df-fallfac 16206  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-prm 16879  df-odz 16974  df-phi 16975  df-pc 17047  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-pws 17652  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-qus 17713  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-nsg 19366  df-eqg 19367  df-ghm 19460  df-gim 19505  df-cntz 19564  df-od 19775  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-rim 20736  df-nzr 20796  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-rlreg 20979  df-domn 20980  df-idom 20981  df-drng 21015  df-field 21016  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519  df-rsp 21520  df-2idl 21576  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-zring 21786  df-zrh 21842  df-chr 21844  df-zn 21845  df-assa 22194  df-asp 22195  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-evls 22416  df-evl 22417  df-psr1 22531  df-vr1 22532  df-ply1 22533  df-coe1 22534  df-evls1 22666  df-evl1 22667  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-mdeg 26406  df-deg1 26407  df-mon1 26482  df-uc1p 26483  df-q1p 26484  df-r1p 26485  df-log 26917  df-cxp 26918  df-logb 27126  df-primroots 43345

This theorem is used by:  aks5lem8  43454