Theorem aks5lem7 42157

Description: Lemma for aks5. We clean up the hypotheses compared to aks5lem6 42149. (Contributed by metakunt, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5lem7.1	⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
aks5lem7.2	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks5lem7.3	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks5lem7.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks5lem7.5	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5lem7.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5lem7.7	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
aks5lem7.8	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5lem7.9	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5lem7.10	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5lem7.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
aks5lem7.12	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5lem7.13	⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
aks5lem7.14	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5lem7.15	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5lem7.16	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
aks5lem7	⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝐴,𝑏   𝐾,𝑎   𝐾,𝑏   𝑁,𝑎   𝑁,𝑏   𝑃,𝑎   𝑃,𝑏   𝑅,𝑎   𝑅,𝑏   𝜑,𝑎   𝜑,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   𝑋(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem aks5lem7

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑙 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))} = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ∀𝑙 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘𝑙)) = (((eval1‘𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑙)))}
2		aks5lem7.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
3		aks5lem7.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝐾 ∈ Field)
5		aks5lem7.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
7		aks5lem7.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℕ)
9		aks5lem7.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
11		aks5lem7.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑃 ∥ 𝑁)
13		aks5lem7.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
15		aks5lem7.9	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
16		aks5lem7.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
18		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝐾)) = (.g‘(mulGrp‘𝐾))
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥))
21		fldidom 20793	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ IDomn)
23	22	idomcringd 20749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
24	18, 2, 19, 20, 23, 5	frobrhm 21617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾))
25	3, 3, 24, 18, 18	fldhmf1 42047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾))
26		fvexd 6935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ V)
27		eqeng 9046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) = (Base‘𝐾) → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾)))
28	26, 18, 27	mpisyl 21	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾))
29		aks5lem7.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ)
30	29	nnnn0d 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0)
31		hashclb 14407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Base‘𝐾) ∈ V → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
32	26, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝐾) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝐾)) ∈ ℕ0))
33	30, 32	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) ∈ Fin)
34		f1finf1o 9333	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Base‘𝐾) ≈ (Base‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
35	28, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1→(Base‘𝐾) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
36	25, 35	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
37	24, 36	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
38	18, 18	isrim 20518	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾) ↔ ((𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingHom 𝐾) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)):(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾)))
39	37, 38	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
40	39	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
41		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
42		aks5lem7.13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (1...𝐴)(𝑏 gcd 𝑁) = 1)
44		aks5lem7.14	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
45		aks5lem7.15	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
46		aks5lem7.16	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
47	46	oveq2i 7459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋) = (𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
48	47	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆)) = ((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))
49	48	sneqi 4659	. . . . . 6 ⊢ {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))} = {((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}
50	49	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))}) = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
51	45, 50	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))(var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
52		aks5lem7.12	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53	52	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
54	1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 40, 41, 43, 44, 51, 46, 53	aks5lem6 42149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
55	54	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) ∧ 𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))
56		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))
57		aks5lem7.11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
58	3	flddrngd 20763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
59		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝐾) = (Unit‘𝐾)
60		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
61	18, 59, 60	isdrng 20755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
62	61	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
64	63	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = ((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)}))
65	64	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})))
66	63	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
67		ringgrp 20265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 ∈ Grp)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Grp)
69	18, 60	grpidcl 19005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Grp → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
71		hashdifsn 14463	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝐾) ∈ Fin ∧ (0g‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
72	33, 70, 71	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((Base‘𝐾) ∖ {(0g‘𝐾)})) = ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1))
73	65, 72	eqtr2d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Unit‘𝐾)))
74		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
75	74, 18	mgpbas 20167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
76	75	eqcomi 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘𝐾)
77	76, 59	unitss 20402	. . . . . . . . 9 ⊢ (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾))
78	77	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
79		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
80	56, 79	ressbas2 17296	. . . . . . . 8 ⊢ ((Unit‘𝐾) ⊆ (Base‘(mulGrp‘𝐾)) → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
81	78, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝐾) = (Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾))))
82	81	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(Unit‘𝐾)) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
83	73, 82	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(Base‘𝐾)) − 1) = (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
84	57, 83	breqtrd 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∥ (♯‘(Base‘((mulGrp‘𝐾) ↾s (Unit‘𝐾)))))
85	56, 22, 33, 7, 84	unitscyglem5 42156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅)
86		n0rex 4380	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅) ≠ ∅ → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
87	85, 86	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)𝑚 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
88	55, 87	r19.29a 3168	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  {copab 5228   ↦ cmpt 5249  –1-1→wf1 6570  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  [cec 8761   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  ℕcn 12293  2c2 12348  3c3 12349  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14112  ♯chash 14379  √csqrt 15282   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16718  od_ℤcodz 16810  ϕcphi 16811   pCnt cpc 16883  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  ._gcmg 19107   ~_QG cqg 19162  mulGrpcmgp 20161  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  Unitcui 20381   RingHom crh 20495   RingIso crs 20496  IDomncidom 20715  DivRingcdr 20751  Fieldcfield 20752  RSpancrsp 21240  ℤRHomczrh 21533  chrcchr 21535  ℤ/nℤczn 21536  var₁cv1 22198  Poly₁cpl1 22199  eval₁ce1 22339   log_b clogb 26825   PrimRoots cprimroots 42048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-prod 15952  df-fallfac 16055  df-ef 16115  df-sin 16117  df-cos 16118  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-odz 16812  df-phi 16813  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-pws 17509  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-od 19570  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-rim 20499  df-nzr 20539  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-idom 20718  df-drng 20753  df-field 20754  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-chr 21539  df-zn 21540  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-evls1 22340  df-evl1 22341  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-mon1 26190  df-uc1p 26191  df-q1p 26192  df-r1p 26193  df-log 26616  df-cxp 26617  df-logb 26826  df-primroots 42049

This theorem is referenced by:  aks5lem8  42158