Theorem ply1annprmidl 33746

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is a prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annprmidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (PrmIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐸(𝑞)   𝐹(𝑞)

Proof of Theorem ply1annprmidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 20707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
6		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 20753	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
12		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
14	1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13	ply1annidllem 33740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
16	1, 2, 3, 15, 5, 9, 10, 13	evls1maprhm 22319	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝐸))
17		fldidom 20736	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ IDomn)
18	11	prmidl0 33470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)) ↔ 𝐸 ∈ IDomn)
19	18	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ IDomn → (𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)))
20	4, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)))
21	20	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸))
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑃) = (PrmIdeal‘𝑃)
23	22	rhmpreimaprmidl 33471	. . 3 ⊢ (((𝐸 ∈ CRing ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝐸)) ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (PrmIdeal‘𝑃))
24	5, 16, 21, 23	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (PrmIdeal‘𝑃))
25	14, 24	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (PrmIdeal‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3420  {csn 4606   ↦ cmpt 5206  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  0_gc0g 17458  CRingccrg 20199   RingHom crh 20434  SubRingcsubrg 20534  IDomncidom 20658  DivRingcdr 20694  Fieldcfield 20695  SubDRingcsdrg 20751  Poly₁cpl1 22117   evalSub₁ ces1 22256  PrmIdealcprmidl 33455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-rhm 20437  df-nzr 20478  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-domn 20660  df-idom 20661  df-drng 20696  df-field 20697  df-sdrg 20752  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-evls 22037  df-evl 22038  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evls1 22258  df-evl1 22259  df-prmidl 33456

This theorem is referenced by: (None)