Theorem ply1annprmidl 33751

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is a prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annprmidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (PrmIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐸(𝑞)   𝐹(𝑞)

Proof of Theorem ply1annprmidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 20743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
6		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 20790	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
12		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
14	1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13	ply1annidllem 33745	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
16	1, 2, 3, 15, 5, 9, 10, 13	evls1maprhm 22381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝐸))
17		fldidom 20772	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ IDomn)
18	11	prmidl0 33479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)) ↔ 𝐸 ∈ IDomn)
19	18	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ IDomn → (𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)))
20	4, 17, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)))
21	20	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸))
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑃) = (PrmIdeal‘𝑃)
23	22	rhmpreimaprmidl 33480	. . 3 ⊢ (((𝐸 ∈ CRing ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝐸)) ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (PrmIdeal‘𝑃))
24	5, 16, 21, 23	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (PrmIdeal‘𝑃))
25	14, 24	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (PrmIdeal‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3435  {csn 4625   ↦ cmpt 5224  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684   “ cima 5687  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  0_gc0g 17485  CRingccrg 20232   RingHom crh 20470  SubRingcsubrg 20570  IDomncidom 20694  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731  SubDRingcsdrg 20788  Poly₁cpl1 22179   evalSub₁ ces1 22318  PrmIdealcprmidl 33464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-idom 20697  df-drng 20732  df-field 20733  df-sdrg 20789  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321  df-prmidl 33465

This theorem is referenced by: (None)