Theorem ply1annprmidl 34392

Description: The set 𝑄 of polynomials annihilating an element 𝐴 is a prime ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1annig1p.o	⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
ply1annig1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
ply1annig1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
ply1annig1p.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
ply1annig1p.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
ply1annig1p.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
ply1annig1p.0	⊢ 0 = (0g‘𝐸)
ply1annig1p.q	⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }

Assertion

Ref	Expression
ply1annprmidl	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (PrmIdeal‘𝑃))

Distinct variable groups:   0 ,𝑞   𝐴,𝑞   𝑂,𝑞   𝑃,𝑞   𝜑,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑞)   𝑄(𝑞)   𝐸(𝑞)   𝐹(𝑞)

Proof of Theorem ply1annprmidl

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1annig1p.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2		ply1annig1p.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘(𝐸 ↾s 𝐹))
3		ply1annig1p.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		ply1annig1p.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Field)
5	4	fldcrngd 21007	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ CRing)
6		ply1annig1p.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
7		issdrg 21057	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
8	6, 7	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸 ↾s 𝐹) ∈ DivRing))
9	8	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
10		ply1annig1p.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		ply1annig1p.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐸)
12		ply1annig1p.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = {𝑞 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂‘𝑞)‘𝐴) = 0 }
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) = (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴))
14	1, 2, 3, 5, 9, 10, 11, 12, 13	ply1annidllem 34386	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }))
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
16	1, 2, 3, 15, 5, 9, 10, 13	evls1maprhm 22706	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝐸))
17		fldidom 21041	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ Field → 𝐸 ∈ IDomn)
18	11	prmidl0 21646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)) ↔ 𝐸 ∈ IDomn)
19	18	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ IDomn → (𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)))
20	4, 17, 19	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ CRing ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)))
21	20	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸))
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (PrmIdeal‘𝑃) = (PrmIdeal‘𝑃)
23	22	rhmpreimaprmidl 21647	. . 3 ⊢ (((𝐸 ∈ CRing ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) ∈ (𝑃 RingHom 𝐸)) ∧ { 0 } ∈ (PrmIdeal‘𝐸)) → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (PrmIdeal‘𝑃))
24	5, 16, 21, 23	syl21anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑝 ∈ (Base‘𝑃) ↦ ((𝑂‘𝑝)‘𝐴)) “ { 0 }) ∈ (PrmIdeal‘𝑃))
25	14, 24	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (PrmIdeal‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  {crab 3415  {csn 4587   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654   “ cima 5657  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399   ↾_s cress 17420  0_gc0g 17622  CRingccrg 20472   RingHom crh 20711  SubRingcsubrg 20833  IDomncidom 20957  DivRingcdr 20992  Fieldcfield 20993  SubDRingcsdrg 21055  PrmIdealcprmidl 21628  Poly₁cpl1 22507   evalSub₁ ces1 22643

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-hash 14485  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-srg 20425  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-rhm 20714  df-nzr 20775  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-rlreg 20958  df-domn 20959  df-idom 20960  df-drng 20994  df-field 20995  df-sdrg 21056  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-lidl 21498  df-rsp 21499  df-prmidl 21629  df-assa 22173  df-asp 22174  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mvr 22230  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-evls 22395  df-evl 22396  df-psr1 22510  df-vr1 22511  df-ply1 22512  df-coe1 22513  df-evls1 22645  df-evl1 22646

This theorem is used by: (None)