MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscavalb 21317
Description: Scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscavalb.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscavalb.v = ( ·𝑠𝐹)
frlmvscavalb.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
frlmvscavalb (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 𝑋) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝐴,𝑖   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmvscavalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
2 frlmplusgvalb.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐵)
3 frlmplusgvalb.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmvscavalb.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
5 frlmplusgvalb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐹)
63, 4, 5frlmbasmap 21306 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝑍𝐵) → 𝑍 ∈ (𝐾m 𝐼))
71, 2, 6syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝐾m 𝐼))
84fvexi 6903 . . . . . . 7 𝐾 ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ V)
109, 1elmapd 8831 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐾m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼𝐾))
117, 10mpbid 231 . . . 4 (𝜑𝑍:𝐼𝐾)
1211ffnd 6716 . . 3 (𝜑𝑍 Fn 𝐼)
13 frlmplusgvalb.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
143frlmlmod 21296 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
1513, 1, 14syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
16 frlmvscavalb.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐾)
1716, 4eleqtrdi 2844 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
183frlmsca 21300 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1913, 1, 18syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
2019fveq2d 6893 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
2117, 20eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
22 frlmplusgvalb.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐵)
23 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
24 frlmvscavalb.v . . . . . . . 8 = ( ·𝑠𝐹)
25 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
265, 23, 24, 25lmodvscl 20482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵)
2715, 21, 22, 26syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵)
283, 4, 5frlmbasmap 21306 . . . . . 6 ((𝐼𝑊 ∧ (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 𝑋) ∈ (𝐾m 𝐼))
291, 27, 28syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 𝑋) ∈ (𝐾m 𝐼))
309, 1elmapd 8831 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 𝑋) ∈ (𝐾m 𝐼) ↔ (𝐴 𝑋):𝐼𝐾))
3129, 30mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑋):𝐼𝐾)
3231ffnd 6716 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) Fn 𝐼)
33 eqfnfv 7030 . . 3 ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝐴 𝑋) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝐴 𝑋) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 𝑋)‘𝑖)))
3412, 32, 33syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 𝑋) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 𝑋)‘𝑖)))
351adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
3616adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐴𝐾)
3722adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
38 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
39 frlmvscavalb.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
403, 5, 4, 35, 36, 37, 38, 24, 39frlmvscaval 21315 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝐴 𝑋)‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖)))
4140eqeq2d 2744 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = ((𝐴 𝑋)‘𝑖) ↔ (𝑍𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖))))
4241ralbidva 3176 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 𝑋)‘𝑖) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖))))
4334, 42bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 𝑋) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475   Fn wfn 6536  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  m cmap 8817  Basecbs 17141  .rcmulr 17195  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  Ringcrg 20050  LModclmod 20464   freeLMod cfrlm 21293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-dsmm 21279  df-frlm 21294
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator