Theorem frlmvscavalb 21324

Description: Scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscavalb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscavalb.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmvscavalb.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscavalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝐴,𝑖   ∙ ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmvscavalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmvscavalb.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 21313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
8	4	fvexi 6905	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
10	9, 1	elmapd 8833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶𝐾))
11	7, 10	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐾)
12	11	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
13		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3	frlmlmod 21303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
15	13, 1, 14	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
16		frlmvscavalb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
17	16, 4	eleqtrdi 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
18	3	frlmsca 21307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
19	13, 1, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
20	19	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
21	17, 20	eleqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
22		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
24		frlmvscavalb.v	. . . . . . . 8 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
25		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
26	5, 23, 24, 25	lmodvscl 20488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
27	15, 21, 22, 26	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
28	3, 4, 5	frlmbasmap 21313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
29	1, 27, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
30	9, 1	elmapd 8833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ (𝐴 ∙ 𝑋):𝐼⟶𝐾))
31	29, 30	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋):𝐼⟶𝐾)
32	31	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) Fn 𝐼)
33		eqfnfv 7032	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝐴 ∙ 𝑋) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖)))
34	12, 32, 33	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖)))
35	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
36	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
37	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
38		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
39		frlmvscavalb.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
40	3, 5, 4, 35, 36, 37, 38, 24, 39	frlmvscaval 21322	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖)))
41	40	eqeq2d 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))
42	41	ralbidva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))
43	34, 42	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  Ringcrg 20055  LModclmod 20470   freeLMod cfrlm 21300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301

This theorem is referenced by: (None)