Theorem frlmvscavalb 21703

Description: Scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscavalb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscavalb.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmvscavalb.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
frlmvscavalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝐴,𝑖   ∙ ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmvscavalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		frlmplusgvalb.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
3		frlmplusgvalb.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmvscavalb.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		frlmplusgvalb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
6	3, 4, 5	frlmbasmap 21692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
7	1, 2, 6	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
8	4	fvexi 6904	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
10	9, 1	elmapd 8852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟶𝐾))
11	7, 10	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍:𝐼⟶𝐾)
12	11	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 Fn 𝐼)
13		frlmplusgvalb.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	3	frlmlmod 21682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
15	13, 1, 14	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
16		frlmvscavalb.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
17	16, 4	eleqtrdi 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
18	3	frlmsca 21686	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
19	13, 1, 18	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
20	19	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
21	17, 20	eleqtrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
22		frlmplusgvalb.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
24		frlmvscavalb.v	. . . . . . . 8 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
25		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
26	5, 23, 24, 25	lmodvscl 20760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
27	15, 21, 22, 26	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
28	3, 4, 5	frlmbasmap 21692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
29	1, 27, 28	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
30	9, 1	elmapd 8852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ (𝐴 ∙ 𝑋):𝐼⟶𝐾))
31	29, 30	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋):𝐼⟶𝐾)
32	31	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) Fn 𝐼)
33		eqfnfv 7033	. . 3 ⊢ ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝐴 ∙ 𝑋) Fn 𝐼) → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖)))
34	12, 32, 33	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖)))
35	1	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
36	16	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
37	22	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
38		simpr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
39		frlmvscavalb.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
40	3, 5, 4, 35, 36, 37, 38, 24, 39	frlmvscaval 21701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖)))
41	40	eqeq2d 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) ↔ (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))
42	41	ralbidva 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))
43	34, 42	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (𝐴 ∙ 𝑋) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑_m cmap 8838  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  Ringcrg 20172  LModclmod 20742   freeLMod cfrlm 21679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680

This theorem is referenced by: (None)