MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvscavalb 21684
Description: Scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmplusgvalb.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
frlmplusgvalb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
frlmplusgvalb.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
frlmplusgvalb.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmvscavalb.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscavalb.v βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΉ)
frlmvscavalb.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmvscavalb (πœ‘ β†’ (𝑍 = (𝐴 βˆ™ 𝑋) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   πœ‘,𝑖   𝐴,𝑖   βˆ™ ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑖)   𝑅(𝑖)   Β· (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   π‘Š(𝑖)

Proof of Theorem frlmvscavalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
2 frlmplusgvalb.z . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
3 frlmplusgvalb.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmvscavalb.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
5 frlmplusgvalb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
63, 4, 5frlmbasmap 21673 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
71, 2, 6syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
84fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐾 ∈ V
98a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ V)
109, 1elmapd 8848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ 𝑍:𝐼⟢𝐾))
117, 10mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍:𝐼⟢𝐾)
1211ffnd 6717 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 Fn 𝐼)
13 frlmplusgvalb.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
143frlmlmod 21663 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ LMod)
1513, 1, 14syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LMod)
16 frlmvscavalb.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
1716, 4eleqtrdi 2838 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
183frlmsca 21667 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
1913, 1, 18syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
2019fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
2117, 20eleqtrd 2830 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
22 frlmplusgvalb.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
23 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜πΉ) = (Scalarβ€˜πΉ)
24 frlmvscavalb.v . . . . . . . 8 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΉ)
25 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ))
265, 23, 24, 25lmodvscl 20743 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝐡)
2715, 21, 22, 26syl3anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝐡)
283, 4, 5frlmbasmap 21673 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
291, 27, 28syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
309, 1elmapd 8848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ (𝐾 ↑m 𝐼) ↔ (𝐴 βˆ™ 𝑋):𝐼⟢𝐾))
3129, 30mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋):𝐼⟢𝐾)
3231ffnd 6717 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) Fn 𝐼)
33 eqfnfv 7034 . . 3 ((𝑍 Fn 𝐼 ∧ (𝐴 βˆ™ 𝑋) Fn 𝐼) β†’ (𝑍 = (𝐴 βˆ™ 𝑋) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–)))
3412, 32, 33syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 = (𝐴 βˆ™ 𝑋) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–)))
351adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3616adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
3722adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
38 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
39 frlmvscavalb.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
403, 5, 4, 35, 36, 37, 38, 24, 39frlmvscaval 21682 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)))
4140eqeq2d 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) ↔ (π‘β€˜π‘–) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–))))
4241ralbidva 3170 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–))))
4334, 42bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 = (𝐴 βˆ™ 𝑋) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  Ringcrg 20157  LModclmod 20725   freeLMod cfrlm 21660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator