Theorem rrxvsca 25742

Description: The scalar product over generalized Euclidean spaces is the componentwise real number multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
rrxvsca.r	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐻)
rrxvsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxvsca.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
rrxvsca.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rrxvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
rrxvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem rrxvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxvsca.r	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐻)
2		rrxvsca.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		rrxval.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
4	3	rrxval 25735	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
6	5	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
7	1, 6	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8	7	oveqd 7457	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
9	8	fveq1d 6907	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)‘𝐽))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12		rebase 21939	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
13		rrxvsca.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
14		rrxvsca.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15	5	fveq2d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
17	16, 11	tcphbas 25567	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
18	15, 17	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
19	14, 18	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
20		rrxvsca.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
21		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
22	16, 21	tcphvsca 25572	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
23	22	eqcomi 2772	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
24		remulr 21944	. . 3 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
25	10, 11, 12, 2, 13, 19, 20, 23, 24	frlmvscaval 22101	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
26	9, 25	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℝcr 11223   · cmul 11229  Basecbs 17413   ·_𝑠 cvsca 17458  ℝ_fldcrefld 21937   freeLMod cfrlm 22079  toℂPreHilctcph 25515  ℝ^crrx 25731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-pws 17646  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-cnfld 21706  df-refld 21938  df-dsmm 22065  df-frlm 22080  df-tng 24930  df-tcph 25517  df-rrx 25733

This theorem is used by: (None)