MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxvsca 25342
Description: The scalar product over generalized Euclidean spaces is the componentwise real number multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
rrxvsca.r βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π»)
rrxvsca.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxvsca.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐼)
rrxvsca.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
rrxvsca.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
Assertion
Ref Expression
rrxvsca (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π½) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π½)))

Proof of Theorem rrxvsca
StepHypRef Expression
1 rrxvsca.r . . . . 5 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π»)
2 rrxvsca.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 rrxval.r . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
43rrxval 25335 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
65fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π») = ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
71, 6eqtrid 2780 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
87oveqd 7443 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
98fveq1d 6904 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π½) = ((𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)β€˜π½))
10 eqid 2728 . . 3 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
11 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
12 rebase 21545 . . 3 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
13 rrxvsca.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
14 rrxvsca.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
155fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16 eqid 2728 . . . . . 6 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
1716, 11tcphbas 25167 . . . . 5 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1815, 17eqtr4di 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1914, 18eleqtrd 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
20 rrxvsca.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐼)
21 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
2216, 21tcphvsca 25172 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2322eqcomi 2737 . . 3 ( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
24 remulr 21550 . . 3 Β· = (.rβ€˜β„fld)
2510, 11, 12, 2, 13, 19, 20, 23, 24frlmvscaval 21709 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴( ·𝑠 β€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)β€˜π½) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π½)))
269, 25eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π½) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π½)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145   Β· cmul 11151  Basecbs 17187   ·𝑠 cvsca 17244  β„fldcrefld 21543   freeLMod cfrlm 21687  toβ„‚PreHilctcph 25115  β„^crrx 25331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-tng 24513  df-tcph 25117  df-rrx 25333
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator