Theorem rrxvsca 25522

Description: The scalar product over generalized Euclidean spaces is the componentwise real number multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
rrxvsca.r	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐻)
rrxvsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
rrxvsca.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
rrxvsca.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rrxvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
rrxvsca	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Proof of Theorem rrxvsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxvsca.r	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐻)
2		rrxvsca.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		rrxval.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
4	3	rrxval 25515	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
6	5	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝐻) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
7	1, 6	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8	7	oveqd 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
9	8	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)‘𝐽))
10		eqid 2769	. . 3 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
11		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12		rebase 21725	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
13		rrxvsca.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
14		rrxvsca.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15	5	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
17	16, 11	tcphbas 25347	. . . . 5 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
18	15, 17	eqtr4di 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
19	14, 18	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
20		rrxvsca.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
21		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
22	16, 21	tcphvsca 25352	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
23	22	eqcomi 2778	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
24		remulr 21730	. . 3 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
25	10, 11, 12, 2, 13, 19, 20, 23, 24	frlmvscaval 21887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))
26	9, 25	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099   · cmul 11105  Basecbs 17269   ·_𝑠 cvsca 17314  ℝ_fldcrefld 21723   freeLMod cfrlm 21865  toℂPreHilctcph 25295  ℝ^crrx 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-mulf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-refld 21724  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-tng 24710  df-tcph 25297  df-rrx 25513

This theorem is referenced by: (None)