Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxvsca 23996
 Description: The scalar product over generalized Euclidean spaces is the componentwise real number multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
rrxvsca.r = ( ·𝑠𝐻)
rrxvsca.i (𝜑𝐼𝑉)
rrxvsca.j (𝜑𝐽𝐼)
rrxvsca.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rrxvsca.x (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
rrxvsca (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))

Proof of Theorem rrxvsca
StepHypRef Expression
1 rrxvsca.r . . . . 5 = ( ·𝑠𝐻)
2 rrxvsca.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
3 rrxval.r . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
43rrxval 23989 . . . . . . 7 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
65fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → ( ·𝑠𝐻) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
71, 6syl5eq 2869 . . . 4 (𝜑 = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
87oveqd 7157 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋))
98fveq1d 6654 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)‘𝐽))
10 eqid 2822 . . 3 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
11 eqid 2822 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12 rebase 20293 . . 3 ℝ = (Base‘ℝfld)
13 rrxvsca.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
14 rrxvsca.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
155fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16 eqid 2822 . . . . . 6 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1716, 11tcphbas 23821 . . . . 5 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1815, 17eqtr4di 2875 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
1914, 18eleqtrd 2916 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
20 rrxvsca.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
21 eqid 2822 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
2216, 21tcphvsca 23826 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2322eqcomi 2831 . . 3 ( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
24 remulr 20298 . . 3 · = (.r‘ℝfld)
2510, 11, 12, 2, 13, 19, 20, 23, 24frlmvscaval 20455 . 2 (𝜑 → ((𝐴( ·𝑠 ‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
269, 25eqtrd 2857 1 (𝜑 → ((𝐴 𝑋)‘𝐽) = (𝐴 · (𝑋𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℝcr 10525   · cmul 10531  Basecbs 16474   ·𝑠 cvsca 16560  ℝfldcrefld 20291   freeLMod cfrlm 20433  toℂPreHilctcph 23770  ℝ^crrx 23985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-cnfld 20090  df-refld 20292  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-tng 23189  df-tcph 23772  df-rrx 23987 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator