Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvplusgscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvplusgscavalb 20536
 Description: Addition combined with scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscavalb.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscavalb.v = ( ·𝑠𝐹)
frlmvscavalb.t · = (.r𝑅)
frlmvplusgscavalb.y (𝜑𝑌𝐵)
frlmvplusgscavalb.a + = (+g𝑅)
frlmvplusgscavalb.p = (+g𝐹)
frlmvplusgscavalb.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmvplusgscavalb (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝐴,𝑖   ,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑌   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmvplusgscavalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.f . . 3 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmplusgvalb.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 frlmplusgvalb.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
4 frlmplusgvalb.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
51frlmlmod 20514 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
64, 3, 5syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
7 frlmvscavalb.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐾)
8 frlmvscavalb.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
97, 8eleqtrdi 2862 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
101frlmsca 20518 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
114, 3, 10syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1211fveq2d 6662 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
139, 12eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
14 frlmplusgvalb.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
15 eqid 2758 . . . . 5 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
16 frlmvscavalb.v . . . . 5 = ( ·𝑠𝐹)
17 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
182, 15, 16, 17lmodvscl 19719 . . . 4 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵)
196, 13, 14, 18syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵)
20 frlmplusgvalb.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
21 frlmvplusgscavalb.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐾)
2221, 8eleqtrdi 2862 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
2322, 12eleqtrd 2854 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
24 frlmvplusgscavalb.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
252, 15, 16, 17lmodvscl 19719 . . . 4 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐶 𝑌) ∈ 𝐵)
266, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐶 𝑌) ∈ 𝐵)
27 frlmvplusgscavalb.a . . 3 + = (+g𝑅)
28 frlmvplusgscavalb.p . . 3 = (+g𝐹)
291, 2, 3, 19, 20, 4, 26, 27, 28frlmplusgvalb 20534 . 2 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖))))
303adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
317adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐴𝐾)
3214adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
33 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
34 frlmvscavalb.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
351, 2, 8, 30, 31, 32, 33, 16, 34frlmvscaval 20533 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝐴 𝑋)‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖)))
3621adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐶𝐾)
3724adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑌𝐵)
381, 2, 8, 30, 36, 37, 33, 16, 34frlmvscaval 20533 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝐶 𝑌)‘𝑖) = (𝐶 · (𝑌𝑖)))
3935, 38oveq12d 7168 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖)) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖))))
4039eqeq2d 2769 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖)) ↔ (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
4140ralbidva 3125 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
4229, 41bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  +gcplusg 16623  .rcmulr 16624  Scalarcsca 16626   ·𝑠 cvsca 16627  Ringcrg 19365  LModclmod 19702   freeLMod cfrlm 20511 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-dsmm 20497  df-frlm 20512 This theorem is referenced by:  rrxplusgvscavalb  24095
 Copyright terms: Public domain W3C validator