Theorem frlmvplusgscavalb 22132

Description: Addition combined with scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmplusgvalb.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
frlmplusgvalb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
frlmplusgvalb.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscavalb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscavalb.v	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmvscavalb.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmvplusgscavalb.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
frlmvplusgscavalb.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
frlmvplusgscavalb.p	⊢ + = (+g‘𝐹)
frlmvplusgscavalb.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmvplusgscavalb	⊢ (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 ∙ 𝑋) + (𝐶 ∙ 𝑌)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 · (𝑋‘𝑖)) + (𝐶 · (𝑌‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝐴,𝑖   ∙ ,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑌   + ,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmvplusgscavalb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmplusgvalb.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2		frlmplusgvalb.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		frlmplusgvalb.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		frlmplusgvalb.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	1	frlmlmod 22110	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
6	4, 3, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
7		frlmvscavalb.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8		frlmvscavalb.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
9	7, 8	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
10	1	frlmsca 22114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
11	4, 3, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
12	11	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
13	9, 12	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
14		frlmplusgvalb.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
16		frlmvscavalb.v	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
18	2, 15, 16, 17	lmodvscl 21204	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
19	6, 13, 14, 18	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
20		frlmplusgvalb.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
21		frlmvplusgscavalb.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐾)
22	21, 8	eleqtrdi 2874	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
23	22, 12	eleqtrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
24		frlmvplusgscavalb.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	2, 15, 16, 17	lmodvscl 21204	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∙ 𝑌) ∈ 𝐵)
26	6, 23, 24, 25	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∙ 𝑌) ∈ 𝐵)
27		frlmvplusgscavalb.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
28		frlmvplusgscavalb.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐹)
29	1, 2, 3, 19, 20, 4, 26, 27, 28	frlmplusgvalb 22130	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 ∙ 𝑋) + (𝐶 ∙ 𝑌)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 ∙ 𝑌)‘𝑖))))
30	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
31	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
32	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ 𝐵)
33		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ 𝐼)
34		frlmvscavalb.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
35	1, 2, 8, 30, 31, 32, 33, 16, 34	frlmvscaval 22129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋‘𝑖)))
36	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝐾)
37	24	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑌 ∈ 𝐵)
38	1, 2, 8, 30, 36, 37, 33, 16, 34	frlmvscaval 22129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐶 ∙ 𝑌)‘𝑖) = (𝐶 · (𝑌‘𝑖)))
39	35, 38	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 ∙ 𝑌)‘𝑖)) = ((𝐴 · (𝑋‘𝑖)) + (𝐶 · (𝑌‘𝑖))))
40	39	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑍‘𝑖) = (((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 ∙ 𝑌)‘𝑖)) ↔ (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 · (𝑋‘𝑖)) + (𝐶 · (𝑌‘𝑖)))))
41	40	ralbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = (((𝐴 ∙ 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 ∙ 𝑌)‘𝑖)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 · (𝑋‘𝑖)) + (𝐶 · (𝑌‘𝑖)))))
42	29, 41	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 ∙ 𝑋) + (𝐶 ∙ 𝑌)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑍‘𝑖) = ((𝐴 · (𝑋‘𝑖)) + (𝐶 · (𝑌‘𝑖)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  Ringcrg 20510  LModclmod 21186   freeLMod cfrlm 22107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrg 20873  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108

This theorem is used by:  rrxplusgvscavalb  25771