MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvplusgscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvplusgscavalb 21633
Description: Addition combined with scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmplusgvalb.i (𝜑𝐼𝑊)
frlmplusgvalb.x (𝜑𝑋𝐵)
frlmplusgvalb.z (𝜑𝑍𝐵)
frlmplusgvalb.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmvscavalb.a (𝜑𝐴𝐾)
frlmvscavalb.v = ( ·𝑠𝐹)
frlmvscavalb.t · = (.r𝑅)
frlmvplusgscavalb.y (𝜑𝑌𝐵)
frlmvplusgscavalb.a + = (+g𝑅)
frlmvplusgscavalb.p = (+g𝐹)
frlmvplusgscavalb.c (𝜑𝐶𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmvplusgscavalb (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   𝜑,𝑖   𝐴,𝑖   ,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑌   ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   𝑊(𝑖)

Proof of Theorem frlmvplusgscavalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.f . . 3 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmplusgvalb.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐹)
3 frlmplusgvalb.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
4 frlmplusgvalb.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
51frlmlmod 21611 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝐹 ∈ LMod)
64, 3, 5syl2anc 583 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
7 frlmvscavalb.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐾)
8 frlmvscavalb.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑅)
97, 8eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
101frlmsca 21615 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
114, 3, 10syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1211fveq2d 6885 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
139, 12eleqtrd 2827 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
14 frlmplusgvalb.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
15 eqid 2724 . . . . 5 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
16 frlmvscavalb.v . . . . 5 = ( ·𝑠𝐹)
17 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
182, 15, 16, 17lmodvscl 20713 . . . 4 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑋𝐵) → (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵)
196, 13, 14, 18syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝑋) ∈ 𝐵)
20 frlmplusgvalb.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
21 frlmvplusgscavalb.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐾)
2221, 8eleqtrdi 2835 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘𝑅))
2322, 12eleqtrd 2827 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
24 frlmvplusgscavalb.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
252, 15, 16, 17lmodvscl 20713 . . . 4 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑌𝐵) → (𝐶 𝑌) ∈ 𝐵)
266, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐶 𝑌) ∈ 𝐵)
27 frlmvplusgscavalb.a . . 3 + = (+g𝑅)
28 frlmvplusgscavalb.p . . 3 = (+g𝐹)
291, 2, 3, 19, 20, 4, 26, 27, 28frlmplusgvalb 21631 . 2 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖))))
303adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
317adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐴𝐾)
3214adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑋𝐵)
33 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
34 frlmvscavalb.t . . . . . 6 · = (.r𝑅)
351, 2, 8, 30, 31, 32, 33, 16, 34frlmvscaval 21630 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝐴 𝑋)‘𝑖) = (𝐴 · (𝑋𝑖)))
3621adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐶𝐾)
3724adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝑌𝐵)
381, 2, 8, 30, 36, 37, 33, 16, 34frlmvscaval 21630 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝐶 𝑌)‘𝑖) = (𝐶 · (𝑌𝑖)))
3935, 38oveq12d 7419 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖)) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖))))
4039eqeq2d 2735 . . 3 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑍𝑖) = (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖)) ↔ (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
4140ralbidva 3167 . 2 (𝜑 → (∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = (((𝐴 𝑋)‘𝑖) + ((𝐶 𝑌)‘𝑖)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
4229, 41bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑍 = ((𝐴 𝑋) (𝐶 𝑌)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑍𝑖) = ((𝐴 · (𝑋𝑖)) + (𝐶 · (𝑌𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  +gcplusg 17195  .rcmulr 17196  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  Ringcrg 20127  LModclmod 20695   freeLMod cfrlm 21608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-hom 17219  df-cco 17220  df-0g 17385  df-prds 17391  df-pws 17393  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrg 20460  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-sra 21010  df-rgmod 21011  df-dsmm 21594  df-frlm 21609
This theorem is referenced by:  rrxplusgvscavalb  25244
  Copyright terms: Public domain W3C validator