MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmvplusgscavalb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmvplusgscavalb 21692
Description: Addition combined with scalar multiplication in a free module at the coordinates. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmplusgvalb.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmplusgvalb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmplusgvalb.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
frlmplusgvalb.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
frlmplusgvalb.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
frlmplusgvalb.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
frlmvscavalb.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmvscavalb.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
frlmvscavalb.v βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΉ)
frlmvscavalb.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
frlmvplusgscavalb.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
frlmvplusgscavalb.a + = (+gβ€˜π‘…)
frlmvplusgscavalb.p ✚ = (+gβ€˜πΉ)
frlmvplusgscavalb.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmvplusgscavalb (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑍   πœ‘,𝑖   𝐴,𝑖   βˆ™ ,𝑖   𝐢,𝑖   𝑖,π‘Œ   ✚ ,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑖)   + (𝑖)   𝑅(𝑖)   Β· (𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐾(𝑖)   π‘Š(𝑖)

Proof of Theorem frlmvplusgscavalb
StepHypRef Expression
1 frlmplusgvalb.f . . 3 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 frlmplusgvalb.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
3 frlmplusgvalb.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4 frlmplusgvalb.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51frlmlmod 21670 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 ∈ LMod)
64, 3, 5syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LMod)
7 frlmvscavalb.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
8 frlmvscavalb.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
97, 8eleqtrdi 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
101frlmsca 21674 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
114, 3, 10syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
1211fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
139, 12eleqtrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
14 frlmplusgvalb.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
15 eqid 2727 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΉ) = (Scalarβ€˜πΉ)
16 frlmvscavalb.v . . . . 5 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜πΉ)
17 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ))
182, 15, 16, 17lmodvscl 20750 . . . 4 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝐡)
196, 13, 14, 18syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) ∈ 𝐡)
20 frlmplusgvalb.z . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
21 frlmvplusgscavalb.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
2221, 8eleqtrdi 2838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2322, 12eleqtrd 2830 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
24 frlmvplusgscavalb.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
252, 15, 16, 17lmodvscl 20750 . . . 4 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 βˆ™ π‘Œ) ∈ 𝐡)
266, 23, 24, 25syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ™ π‘Œ) ∈ 𝐡)
27 frlmvplusgscavalb.a . . 3 + = (+gβ€˜π‘…)
28 frlmvplusgscavalb.p . . 3 ✚ = (+gβ€˜πΉ)
291, 2, 3, 19, 20, 4, 26, 27, 28frlmplusgvalb 21690 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) + ((𝐢 βˆ™ π‘Œ)β€˜π‘–))))
303adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
317adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
3214adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
33 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
34 frlmvscavalb.t . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
351, 2, 8, 30, 31, 32, 33, 16, 34frlmvscaval 21689 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)))
3621adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
3724adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
381, 2, 8, 30, 36, 37, 33, 16, 34frlmvscaval 21689 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐢 βˆ™ π‘Œ)β€˜π‘–) = (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))
3935, 38oveq12d 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) + ((𝐢 βˆ™ π‘Œ)β€˜π‘–)) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–))))
4039eqeq2d 2738 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘β€˜π‘–) = (((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) + ((𝐢 βˆ™ π‘Œ)β€˜π‘–)) ↔ (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
4140ralbidva 3170 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((𝐴 βˆ™ 𝑋)β€˜π‘–) + ((𝐢 βˆ™ π‘Œ)β€˜π‘–)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
4229, 41bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 = ((𝐴 βˆ™ 𝑋) ✚ (𝐢 βˆ™ π‘Œ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = ((𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘–)) + (𝐢 Β· (π‘Œβ€˜π‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  Ringcrg 20164  LModclmod 20732   freeLMod cfrlm 21667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668
This theorem is referenced by:  rrxplusgvscavalb  25310
  Copyright terms: Public domain W3C validator