Theorem prjspnfv01 43471

Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the value of the zeroth coordinate). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnfv01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspnfv01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnfv01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnfv01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnfv01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnfv01.1	⊢ 1 = (1r‘𝐾)
prjspnfv01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnfv01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnfv01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnfv01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnfv01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Distinct variable groups:   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐵,𝑏   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem prjspnfv01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnfv01.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
2		fveq1 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3	2	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
4		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
5	2	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
6	5, 4	oveq12d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
7	3, 4, 6	ifbieq12d 4511	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
8		prjspnfv01.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ovexd 7449	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
10	8, 9	ifexd 4531	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
11	1, 7, 8, 10	fvmptd3 7011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
12	11	fveq1d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0))
13		iffv 6896	. . 3 ⊢ (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)))
15		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝑋‘0) = 0 )
16		prjspnfv01.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		ovexd 7449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
20		prjspnfv01.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
21		ovexd 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
22		prjspnfv01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
23	8, 22	eleqtrdi 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
24	23	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
25	16, 18, 17	frlmbasf 21974	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26	21, 24, 25	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
27		prjspnfv01.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		0elfz 13680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
30	26, 29	ffvelcdmd 7079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
31		neqne 2963	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
32		prjspnfv01.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
33		prjspnfv01.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
34	18, 32, 33	drnginvrcl 20921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 30, 31, 34	syl2an3an 1449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
36	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
37	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
38		prjspnfv01.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
40	16, 17, 18, 19, 35, 36, 37, 38, 39	frlmvscaval 21982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)))
41		prjspnfv01.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐾)
42	18, 32, 39, 41, 33	drnginvrl 20924	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
43	20, 30, 31, 42	syl2an3an 1449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
44	40, 43	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = 1 )
45	15, 44	ifeq12da 4516	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))
46	12, 14, 45	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896  ifcif 4482  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  ℕ₀cn0 12529  ...cfz 13562  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  1_rcur 20321  inv_rcinvr 20529  DivRingcdr 20891   freeLMod cfrlm 21960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-drng 20893  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-dsmm 21946  df-frlm 21961

This theorem is used by: (None)