Theorem prjspnfv01 40461

Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the value of the zeroth coordinate). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnfv01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspnfv01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnfv01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnfv01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnfv01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnfv01.1	⊢ 1 = (1r‘𝐾)
prjspnfv01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnfv01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnfv01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnfv01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnfv01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Distinct variable groups:   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐵,𝑏   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem prjspnfv01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnfv01.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
2		fveq1 6773	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3	2	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
5	2	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
6	5, 4	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
7	3, 4, 6	ifbieq12d 4487	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
8		prjspnfv01.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ovexd 7310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
10	8, 9	ifexd 4507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
11	1, 7, 8, 10	fvmptd3 6898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
12	11	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0))
13		iffv 6791	. . 3 ⊢ (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)))
15		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝑋‘0) = 0 )
16		prjspnfv01.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		ovexd 7310	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
20		prjspnfv01.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
21		ovexd 7310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
22		prjspnfv01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
23	8, 22	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
24	23	eldifad 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
25	16, 18, 17	frlmbasf 20967	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26	21, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
27		prjspnfv01.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		0elfz 13353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
30	26, 29	ffvelrnd 6962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
31		neqne 2951	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
32		prjspnfv01.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
33		prjspnfv01.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
34	18, 32, 33	drnginvrcl 20008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 30, 31, 34	syl2an3an 1421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
36	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
37	29	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
38		prjspnfv01.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
40	16, 17, 18, 19, 35, 36, 37, 38, 39	frlmvscaval 20975	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)))
41		prjspnfv01.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐾)
42	18, 32, 39, 41, 33	drnginvrl 20010	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
43	20, 30, 31, 42	syl2an3an 1421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
44	40, 43	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = 1 )
45	15, 44	ifeq12da 4492	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))
46	12, 14, 45	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991   freeLMod cfrlm 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954

This theorem is referenced by: (None)