Theorem prjspnfv01 42185

Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the value of the zeroth coordinate). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnfv01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspnfv01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnfv01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnfv01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnfv01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnfv01.1	⊢ 1 = (1r‘𝐾)
prjspnfv01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnfv01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnfv01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnfv01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnfv01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Distinct variable groups:   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐵,𝑏   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem prjspnfv01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnfv01.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
2		fveq1 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3	2	eqeq1d 2727	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
5	2	fveq2d 6900	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
6	5, 4	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
7	3, 4, 6	ifbieq12d 4558	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
8		prjspnfv01.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ovexd 7454	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
10	8, 9	ifexd 4578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
11	1, 7, 8, 10	fvmptd3 7027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
12	11	fveq1d 6898	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0))
13		iffv 6913	. . 3 ⊢ (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)))
15		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝑋‘0) = 0 )
16		prjspnfv01.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
17		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		ovexd 7454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
20		prjspnfv01.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
21		ovexd 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
22		prjspnfv01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
23	8, 22	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
24	23	eldifad 3956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
25	16, 18, 17	frlmbasf 21716	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26	21, 24, 25	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
27		prjspnfv01.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		0elfz 13638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
30	26, 29	ffvelcdmd 7094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
31		neqne 2937	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
32		prjspnfv01.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
33		prjspnfv01.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
34	18, 32, 33	drnginvrcl 20663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 30, 31, 34	syl2an3an 1419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
36	24	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
37	29	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
38		prjspnfv01.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
40	16, 17, 18, 19, 35, 36, 37, 38, 39	frlmvscaval 21724	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)))
41		prjspnfv01.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐾)
42	18, 32, 39, 41, 33	drnginvrl 20666	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
43	20, 30, 31, 42	syl2an3an 1419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
44	40, 43	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = 1 )
45	15, 44	ifeq12da 4563	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))
46	12, 14, 45	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941  ifcif 4530  {csn 4630   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11145  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13524  Basecbs 17188  ._rcmulr 17242   ·_𝑠 cvsca 17245  0_gc0g 17429  1_rcur 20138  inv_rcinvr 20343  DivRingcdr 20641   freeLMod cfrlm 21702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-sca 17257  df-vsca 17258  df-ip 17259  df-tset 17260  df-ple 17261  df-ds 17263  df-hom 17265  df-cco 17266  df-0g 17431  df-prds 17437  df-pws 17439  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-drng 20643  df-sra 21075  df-rgmod 21076  df-dsmm 21688  df-frlm 21703

This theorem is referenced by: (None)