Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prjspnfv01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prjspnfv01 42113
Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the value of the zeroth coordinate). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
prjspnfv01.f ๐น = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if((๐‘โ€˜0) = 0 , ๐‘, ((๐ผโ€˜(๐‘โ€˜0)) ยท ๐‘)))
prjspnfv01.b ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
prjspnfv01.w ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...๐‘))
prjspnfv01.t ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
prjspnfv01.0 0 = (0gโ€˜๐พ)
prjspnfv01.1 1 = (1rโ€˜๐พ)
prjspnfv01.i ๐ผ = (invrโ€˜๐พ)
prjspnfv01.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
prjspnfv01.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
prjspnfv01.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prjspnfv01 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‹)โ€˜0) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , 0 , 1 ))
Distinct variable groups:   0 ,๐‘   ยท ,๐‘   ๐ต,๐‘   ๐ผ,๐‘   ๐‘‹,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘)   1 (๐‘)   ๐น(๐‘)   ๐พ(๐‘)   ๐‘(๐‘)   ๐‘Š(๐‘)

Proof of Theorem prjspnfv01
StepHypRef Expression
1 prjspnfv01.f . . . 4 ๐น = (๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if((๐‘โ€˜0) = 0 , ๐‘, ((๐ผโ€˜(๐‘โ€˜0)) ยท ๐‘)))
2 fveq1 6891 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘โ€˜0) = (๐‘‹โ€˜0))
32eqeq1d 2727 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ ((๐‘โ€˜0) = 0 โ†” (๐‘‹โ€˜0) = 0 ))
4 id 22 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ ๐‘ = ๐‘‹)
52fveq2d 6896 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘โ€˜0)) = (๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)))
65, 4oveq12d 7434 . . . . 5 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ ((๐ผโ€˜(๐‘โ€˜0)) ยท ๐‘) = ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹))
73, 4, 6ifbieq12d 4552 . . . 4 (๐‘ = ๐‘‹ โ†’ if((๐‘โ€˜0) = 0 , ๐‘, ((๐ผโ€˜(๐‘โ€˜0)) ยท ๐‘)) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , ๐‘‹, ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)))
8 prjspnfv01.x . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
9 ovexd 7451 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹) โˆˆ V)
108, 9ifexd 4572 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , ๐‘‹, ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)) โˆˆ V)
111, 7, 8, 10fvmptd3 7023 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘‹) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , ๐‘‹, ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)))
1211fveq1d 6894 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‹)โ€˜0) = (if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , ๐‘‹, ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹))โ€˜0))
13 iffv 6909 . . 3 (if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , ๐‘‹, ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹))โ€˜0) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , (๐‘‹โ€˜0), (((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)โ€˜0))
1413a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , ๐‘‹, ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹))โ€˜0) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , (๐‘‹โ€˜0), (((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)โ€˜0)))
15 simpr 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ (๐‘‹โ€˜0) = 0 )
16 prjspnfv01.w . . . . 5 ๐‘Š = (๐พ freeLMod (0...๐‘))
17 eqid 2725 . . . . 5 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
18 eqid 2725 . . . . 5 (Baseโ€˜๐พ) = (Baseโ€˜๐พ)
19 ovexd 7451 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ (0...๐‘) โˆˆ V)
20 prjspnfv01.k . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ DivRing)
21 ovexd 7451 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0...๐‘) โˆˆ V)
22 prjspnfv01.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)})
238, 22eleqtrdi 2835 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Š) โˆ– {(0gโ€˜๐‘Š)}))
2423eldifad 3951 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
2516, 18, 17frlmbasf 21698 . . . . . . . 8 (((0...๐‘) โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘‹:(0...๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
2621, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹:(0...๐‘)โŸถ(Baseโ€˜๐พ))
27 prjspnfv01.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
28 0elfz 13630 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘))
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘))
3026, 29ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹โ€˜0) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
31 neqne 2938 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 โ†’ (๐‘‹โ€˜0) โ‰  0 )
32 prjspnfv01.0 . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐พ)
33 prjspnfv01.i . . . . . . 7 ๐ผ = (invrโ€˜๐พ)
3418, 32, 33drnginvrcl 20650 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง (๐‘‹โ€˜0) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง (๐‘‹โ€˜0) โ‰  0 ) โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
3520, 30, 31, 34syl2an3an 1419 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ))
3624adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š))
3729adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ 0 โˆˆ (0...๐‘))
38 prjspnfv01.t . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Š)
39 eqid 2725 . . . . 5 (.rโ€˜๐พ) = (.rโ€˜๐พ)
4016, 17, 18, 19, 35, 36, 37, 38, 39frlmvscaval 21706 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ (((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)โ€˜0) = ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0))(.rโ€˜๐พ)(๐‘‹โ€˜0)))
41 prjspnfv01.1 . . . . . 6 1 = (1rโ€˜๐พ)
4218, 32, 39, 41, 33drnginvrl 20653 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ DivRing โˆง (๐‘‹โ€˜0) โˆˆ (Baseโ€˜๐พ) โˆง (๐‘‹โ€˜0) โ‰  0 ) โ†’ ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0))(.rโ€˜๐พ)(๐‘‹โ€˜0)) = 1 )
4320, 30, 31, 42syl2an3an 1419 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ ((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0))(.rโ€˜๐พ)(๐‘‹โ€˜0)) = 1 )
4440, 43eqtrd 2765 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (๐‘‹โ€˜0) = 0 ) โ†’ (((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)โ€˜0) = 1 )
4515, 44ifeq12da 4557 . 2 (๐œ‘ โ†’ if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , (๐‘‹โ€˜0), (((๐ผโ€˜(๐‘‹โ€˜0)) ยท ๐‘‹)โ€˜0)) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , 0 , 1 ))
4612, 14, 453eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘‹)โ€˜0) = if((๐‘‹โ€˜0) = 0 , 0 , 1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3936  ifcif 4524  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5226  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  โ„•0cn0 12502  ...cfz 13516  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ยท๐‘  cvsca 17236  0gc0g 17420  1rcur 20125  invrcinvr 20330  DivRingcdr 20628   freeLMod cfrlm 21684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator