Theorem prjspnfv01 43248

Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the value of the zeroth coordinate). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnfv01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspnfv01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnfv01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnfv01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnfv01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnfv01.1	⊢ 1 = (1r‘𝐾)
prjspnfv01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnfv01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnfv01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnfv01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnfv01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Distinct variable groups:   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐵,𝑏   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem prjspnfv01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnfv01.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
2		fveq1 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3	2	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
4		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
5	2	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
6	5, 4	oveq12d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
7	3, 4, 6	ifbieq12d 4521	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
8		prjspnfv01.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
10	8, 9	ifexd 4541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
11	1, 7, 8, 10	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
12	11	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0))
13		iffv 6899	. . 3 ⊢ (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)))
15		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝑋‘0) = 0 )
16		prjspnfv01.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
17		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
20		prjspnfv01.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
21		ovexd 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
22		prjspnfv01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
23	8, 22	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
24	23	eldifad 3925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
25	16, 18, 17	frlmbasf 21879	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26	21, 24, 25	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
27		prjspnfv01.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		0elfz 13652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
30	26, 29	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
31		neqne 2972	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
32		prjspnfv01.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
33		prjspnfv01.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
34	18, 32, 33	drnginvrcl 20836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 30, 31, 34	syl2an3an 1447	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
36	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
37	29	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
38		prjspnfv01.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
40	16, 17, 18, 19, 35, 36, 37, 38, 39	frlmvscaval 21887	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)))
41		prjspnfv01.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐾)
42	18, 32, 39, 41, 33	drnginvrl 20839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
43	20, 30, 31, 42	syl2an3an 1447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
44	40, 43	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = 1 )
45	15, 44	ifeq12da 4526	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))
46	12, 14, 45	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  ifcif 4492  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  0cc0 11100  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492  1_rcur 20263  inv_rcinvr 20469  DivRingcdr 20813   freeLMod cfrlm 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-drng 20815  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866

This theorem is referenced by: (None)