Theorem prjspnfv01 40469

Description: Any vector is equivalent to a vector whose zeroth coordinate is 0 or 1 (proof of the value of the zeroth coordinate). (Contributed by SN, 13-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
prjspnfv01.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
prjspnfv01.b	⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
prjspnfv01.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
prjspnfv01.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
prjspnfv01.0	⊢ 0 = (0g‘𝐾)
prjspnfv01.1	⊢ 1 = (1r‘𝐾)
prjspnfv01.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
prjspnfv01.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
prjspnfv01.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
prjspnfv01.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prjspnfv01	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Distinct variable groups:   0 ,𝑏   · ,𝑏   𝐵,𝑏   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   1 (𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐾(𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem prjspnfv01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prjspnfv01.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)))
2		fveq1 6765	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝑏‘0) = (𝑋‘0))
3	2	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏‘0) = 0 ↔ (𝑋‘0) = 0 ))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → 𝑏 = 𝑋)
5	2	fveq2d 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → (𝐼‘(𝑏‘0)) = (𝐼‘(𝑋‘0)))
6	5, 4	oveq12d 7285	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏) = ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))
7	3, 4, 6	ifbieq12d 4487	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑋 → if((𝑏‘0) = 0 , 𝑏, ((𝐼‘(𝑏‘0)) · 𝑏)) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
8		prjspnfv01.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ovexd 7302	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋) ∈ V)
10	8, 9	ifexd 4507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)) ∈ V)
11	1, 7, 8, 10	fvmptd3 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)))
12	11	fveq1d 6768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0))
13		iffv 6783	. . 3 ⊢ (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0))
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (if((𝑋‘0) = 0 , 𝑋, ((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋))‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)))
15		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝑋‘0) = 0 )
16		prjspnfv01.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0...𝑁))
17		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
18		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
19		ovexd 7302	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (0...𝑁) ∈ V)
20		prjspnfv01.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
21		ovexd 7302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ V)
22		prjspnfv01.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)})
23	8, 22	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((Base‘𝑊) ∖ {(0g‘𝑊)}))
24	23	eldifad 3898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
25	16, 18, 17	frlmbasf 20977	. . . . . . . 8 ⊢ (((0...𝑁) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26	21, 24, 25	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(0...𝑁)⟶(Base‘𝐾))
27		prjspnfv01.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
28		0elfz 13363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
30	26, 29	ffvelrnd 6954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾))
31		neqne 2951	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑋‘0) = 0 → (𝑋‘0) ≠ 0 )
32		prjspnfv01.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐾)
33		prjspnfv01.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝐾)
34	18, 32, 33	drnginvrcl 20018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
35	20, 30, 31, 34	syl2an3an 1421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (𝐼‘(𝑋‘0)) ∈ (Base‘𝐾))
36	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
37	29	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → 0 ∈ (0...𝑁))
38		prjspnfv01.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
39		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
40	16, 17, 18, 19, 35, 36, 37, 38, 39	frlmvscaval 20985	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)))
41		prjspnfv01.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝐾)
42	18, 32, 39, 41, 33	drnginvrl 20020	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝑋‘0) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋‘0) ≠ 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
43	20, 30, 31, 42	syl2an3an 1421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → ((𝐼‘(𝑋‘0))(.r‘𝐾)(𝑋‘0)) = 1 )
44	40, 43	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋‘0) = 0 ) → (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0) = 1 )
45	15, 44	ifeq12da 4492	. 2 ⊢ (𝜑 → if((𝑋‘0) = 0 , (𝑋‘0), (((𝐼‘(𝑋‘0)) · 𝑋)‘0)) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))
46	12, 14, 45	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)‘0) = if((𝑋‘0) = 0 , 0 , 1 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3429   ∖ cdif 3883  ifcif 4459  {csn 4561   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  0cc0 10881  ℕ₀cn0 12243  ...cfz 13249  Basecbs 16922  ._rcmulr 16973   ·_𝑠 cvsca 16976  0_gc0g 17160  1_rcur 19747  inv_rcinvr 19923  DivRingcdr 20001   freeLMod cfrlm 20963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-tpos 8029  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-prds 17168  df-pws 17170  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-oppr 19872  df-dvdsr 19893  df-unit 19894  df-invr 19924  df-drng 20003  df-sra 20444  df-rgmod 20445  df-dsmm 20949  df-frlm 20964

This theorem is referenced by: (None)