Theorem gsummulsubdishift1s 33170

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishifts.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift1s.1	⊢ (𝑖 = 0 → 𝑉 = 𝐺)
gsummulsubdishift1s.2	⊢ (𝑖 = 𝑁 → 𝑉 = 𝐻)
gsummulsubdishift1s.3	⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑉 = 𝑃)
gsummulsubdishift1s.4	⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑉 = 𝑄)
gsummulsubdishift1s.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐻 · 𝐴) − (𝐺 · 𝐶)))
gsummulsubdishift1s.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((𝑃 · 𝐴) − (𝑄 · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift1s	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝐵,𝑖,𝑘   𝑖,𝐺   𝑖,𝐻   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑄,𝑖   𝑘,𝑉   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝑃(𝑘)   + (𝑖,𝑘)   𝑄(𝑘)   𝑅(𝑖)   · (𝑖)   𝐸(𝑖,𝑘)   𝐹(𝑖,𝑘)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   − (𝑖)   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem gsummulsubdishift1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift1s.3	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → 𝑉 = 𝑃)
2	1	cbvmptv 5204	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)
3	2	oveq2i 7381	. . 3 ⊢ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃))
4	3	oveq1i 7380	. 2 ⊢ ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶))
5		gsummulsubdishift.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		gsummulsubdishift.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		gsummulsubdishift.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑅)
8		gsummulsubdishift.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		gsummulsubdishift.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		gsummulsubdishift.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsummulsubdishift.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
12		gsummulsubdishift.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		gsummulsubdishifts.d	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑉 ∈ 𝐵)
14	13	fmpttd 7071	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉):(0...𝑁)⟶𝐵)
15		gsummulsubdishift1s.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐻 · 𝐴) − (𝐺 · 𝐶)))
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉) = (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)
17		gsummulsubdishift1s.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → 𝑉 = 𝐻)
18		nn0fz0 13555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
19	12, 18	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
20	17	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 𝑁) → 𝑉 = 𝐻)
21	12, 20	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 = 𝐻)
22	13	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵)
23		rspcsbela 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
24	19, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑁 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
25	21, 24	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐵)
26	16, 17, 19, 25	fvmptd3 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) = 𝐻)
27	26	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐴) = (𝐻 · 𝐴))
28		gsummulsubdishift1s.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 0 → 𝑉 = 𝐺)
29		0elfz 13554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
30	12, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
31	28	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 = 0) → 𝑉 = 𝐺)
32	30, 31	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 = 𝐺)
33		rspcsbela 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
34	30, 22, 33	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ⦋0 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
35	32, 34	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
36	16, 28, 30, 35	fvmptd3 6975	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) = 𝐺)
37	36	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐶) = (𝐺 · 𝐶))
38	27, 37	oveq12d 7388	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐶)) = ((𝐻 · 𝐴) − (𝐺 · 𝐶)))
39	15, 38	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑁) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘0) · 𝐶)))
40		gsummulsubdishift1s.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((𝑃 · 𝐴) − (𝑄 · 𝐶)))
41		fzossfz 13608	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
42		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑁))
43	41, 42	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
44	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑉 = 𝑃)
45	42, 44	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 = 𝑃)
46	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵)
47		rspcsbela 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
48	43, 46, 47	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋𝑘 / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
49	45, 48	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
50	16, 1, 43, 49	fvmptd3 6975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) = 𝑃)
51	50	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐴) = (𝑃 · 𝐴))
52		gsummulsubdishift1s.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑉 = 𝑄)
53		fzofzp1 13694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
54	53	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
55	52	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 = (𝑘 + 1)) → 𝑉 = 𝑄)
56	54, 55	csbied 3887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 = 𝑄)
57		rspcsbela 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0...𝑁)𝑉 ∈ 𝐵) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
58	54, 46, 57	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ⦋(𝑘 + 1) / 𝑖⦌𝑉 ∈ 𝐵)
59	56, 58	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
60	16, 52, 54, 59	fvmptd3 6975	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) = 𝑄)
61	60	oveq1d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐶) = (𝑄 · 𝐶))
62	51, 61	oveq12d 7388	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)) = ((𝑃 · 𝐴) − (𝑄 · 𝐶)))
63	40, 62	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = ((((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘𝑘) · 𝐴) − (((𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
64	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 39, 63	gsummulsubdishift1 33168	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑉)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))
65	4, 64	eqtr3id 2786	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑃)) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⦋csb 3851   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043  ℕ₀cn0 12415  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192   Σ_g cgsu 17374  -_gcsg 18882  Ringcrg 20185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187

This theorem is referenced by: (None)