Theorem gsummulsubdishift1 33209

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶)))
gsummulsubdishift1.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift1	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift1

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ringcmnd 20321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 13980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		gsummulsubdishift.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
8	7	ffvelcdmda 7060	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
10	1, 5, 6, 9	gsummptcl 19998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) ∈ 𝐵)
11		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 10, 11, 12	ringsubdi 20344	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · (𝐴 − 𝐶)) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶)))
14		gsummulsubdishift.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nn0uz 12871	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
17		fzisfzounsn 13780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
19	18	mpteq1d 5187	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))))
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))
23		fvexd 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
24	22, 6, 8, 23	fsuppmptdm 9316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘)) finSupp (0g‘𝑅))
25	1, 21, 2, 4, 6, 11, 8, 24	gsummulc1 20351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴))
26		gsummulsubdishift.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
27		fzofi 13981	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
29	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		fzossfz 13678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁))
32	31	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
33	32, 8	syldan 600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
34	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35	1, 2, 29, 33, 34	ringcld 20297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐴) ∈ 𝐵)
36		fzonel 13673	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
38		nn0fz0 13624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
39	14, 38	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
40	7, 39	ffvelcdmd 7061	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
41	1, 2, 4, 40, 11	ringcld 20297	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐴) ∈ 𝐵)
42		fveq2 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑁))
43	42	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐷‘𝑘) · 𝐴) = ((𝐷‘𝑁) · 𝐴))
44	1, 26, 5, 28, 35, 14, 37, 41, 43	gsumunsn 19991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)))
45	20, 25, 44	3eqtr3d 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)))
46	1, 21, 2, 4, 6, 12, 8, 24	gsummulc1 20351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶))
47		fz0sn0fz1 13644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
48	14, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
49		uncom 4109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑁) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1...𝑁))
50	48, 49	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
51	50	mpteq1d 5187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∪ {0}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
52	51	oveq2d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∪ {0}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
53		fzfid 13980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
54	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
55		fz1ssfz0 13622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
57	56	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
58	57, 8	syldan 600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
59	12	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
60	1, 2, 54, 58, 59	ringcld 20297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
61		c0ex 11167	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
63		0nnn 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
64		elfznn 13552	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) → 0 ∈ ℕ)
65	63, 64	mto 199	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ∈ (1...𝑁)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
67		0elfz 13623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
68	14, 67	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
69	7, 68	ffvelcdmd 7061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
70	1, 2, 4, 69, 12	ringcld 20297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐶) ∈ 𝐵)
71		fveq2 6862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘0))
72	71	oveq1d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) = ((𝐷‘0) · 𝐶))
73	1, 26, 5, 53, 60, 62, 66, 70, 72	gsumunsn 19991	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∪ {0}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
74		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶)
75		fveq2 6862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘(𝑙 + 1)))
76	75	oveq1d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) = ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶))
77		ssidd 3957	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
78	14	nn0zd 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
79		fzoval 13659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
81	80	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
82	81	biimpar 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
83		fz0add1fz1 13735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
84	14, 82, 83	syl2an2r 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
85	57	elfzelzd 13524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
86	78	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
88		elfzm1b 13601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
89	88	biimpa 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
90	85, 86, 87, 89	syl21anc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		eqcom 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 + 1) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (𝑙 + 1))
92		elfznn0 13619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
93	92	nn0cnd 12538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑙 ∈ ℂ)
94	93	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑙 ∈ ℂ)
95		1cnd 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
96	85	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
97	96	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
98	94, 95, 97	addlsub 11597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑙 + 1) = 𝑘 ↔ 𝑙 = (𝑘 − 1)))
99	91, 98	bitr3id 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 = (𝑙 + 1) ↔ 𝑙 = (𝑘 − 1)))
100	90, 99	reu6dv 32631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (𝑙 + 1))
101	74, 1, 21, 76, 5, 53, 77, 60, 84, 100	gsummptf1o 19994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶))))
102		fvoveq1 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐷‘(𝑙 + 1)) = (𝐷‘(𝑘 + 1)))
103	102	oveq1d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶) = ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))
104	103	cbvmptv 5201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))
105	80	mpteq1d 5187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
106	104, 105	eqtr4id 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
107	106	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))))
108	101, 107	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))))
109	108	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
110	52, 73, 109	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
111	46, 110	eqtr3d 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
112	45, 111	oveq12d 7409	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶)) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶))))
113	4	ringabld 20320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
114	35	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐷‘𝑘) · 𝐴) ∈ 𝐵)
115	1, 5, 28, 114	gsummptcl 19998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) ∈ 𝐵)
116	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
117		fz0add1fz1 13735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
118	14, 117	sylan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
119	55, 118	sselid 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
120	116, 119	ffvelcdmd 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
121	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
122	1, 2, 29, 120, 121	ringcld 20297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶) ∈ 𝐵)
123	122	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶) ∈ 𝐵)
124	1, 5, 28, 123	gsummptcl 19998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) ∈ 𝐵)
125	1, 26, 3	ablsub4 19841	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐴) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘0) · 𝐶) ∈ 𝐵)) → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶))) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
126	113, 115, 41, 124, 70, 125	syl122anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶))) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
127	13, 112, 126	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · (𝐴 − 𝐶)) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
128	7	feqmptd 6930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘)))
129	128	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))))
130	129	oveq1d 7406	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · (𝐴 − 𝐶)))
131		gsummulsubdishift1.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
132	131	mpteq2dva 5190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))))
133	132	oveq2d 7407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))))
134		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))
135		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))
136	1, 3, 113, 28, 35, 122, 134, 135	gsummptfidmsub 19981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))))
137	133, 136	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))))
138		gsummulsubdishift1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶)))
139	137, 138	oveq12d 7409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
140	127, 130, 139	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4579   ↦ cmpt 5178  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Fincfn 8921  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  ℕcn 12204  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  ._rcmulr 17278  0_gc0g 17459   Σ_g cgsu 17460  -_gcsg 18968  Abelcabl 19812  Ringcrg 20270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272

This theorem is referenced by:  gsummulsubdishift2  33210  gsummulsubdishift1s  33211