Theorem gsummulsubdishift1 33629

Description: Distribute a subtraction over an indexed sum, shift one of the resulting sums, and regroup terms. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummulsubdishift.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
gsummulsubdishift.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
gsummulsubdishift.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
gsummulsubdishift.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
gsummulsubdishift.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
gsummulsubdishift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsummulsubdishift.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummulsubdishift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
gsummulsubdishift1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶)))
gsummulsubdishift1.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
gsummulsubdishift1	⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

Distinct variable groups:   − ,𝑘   · ,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem gsummulsubdishift1

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulsubdishift.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		gsummulsubdishift.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		gsummulsubdishift.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
4		gsummulsubdishift.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	ringcmnd 20513	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
6		fzfid 14116	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7		gsummulsubdishift.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
8	7	ffvelcdmda 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
9	8	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
10	1, 5, 6, 9	gsummptcl 20181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) ∈ 𝐵)
11		gsummulsubdishift.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		gsummulsubdishift.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
13	1, 2, 3, 4, 10, 11, 12	ringsubdi 20538	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · (𝐴 − 𝐶)) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶)))
14		gsummulsubdishift.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nn0uz 13003	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	14, 15	eleqtrdi 2870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
17		fzisfzounsn 13915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
19	18	mpteq1d 5194	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴)) = (𝑘 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴)))
20	19	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))))
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
22		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))
23		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
24	22, 6, 8, 23	fsuppmptdm 9368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘)) finSupp (0g‘𝑅))
25	1, 21, 2, 4, 6, 11, 8, 24	gsummulc1 20545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴))
26		gsummulsubdishift.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
27		fzofi 14117	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
29	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
30		fzossfz 13813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁))
32	31	sselda 3908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
33	32, 8	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
34	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
35	1, 2, 29, 33, 34	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐴) ∈ 𝐵)
36		fzonel 13808	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁)
37	36	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^𝑁))
38		nn0fz0 13759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
39	14, 38	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
40	7, 39	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ 𝐵)
41	1, 2, 4, 40, 11	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) · 𝐴) ∈ 𝐵)
42		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑁))
43	42	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐷‘𝑘) · 𝐴) = ((𝐷‘𝑁) · 𝐴))
44	1, 26, 5, 28, 35, 14, 37, 41, 43	gsumunsn 20174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)))
45	20, 25, 44	3eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)))
46	1, 21, 2, 4, 6, 12, 8, 24	gsummulc1 20545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶))
47		fz0sn0fz1 13779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
48	14, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ (1...𝑁)))
49		uncom 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1...𝑁) ∪ {0}) = ({0} ∪ (1...𝑁))
50	48, 49	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
51	50	mpteq1d 5194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∪ {0}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶)))
52	51	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∪ {0}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))))
53		fzfid 14116	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
54	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
55		fz1ssfz0 13757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
56	55	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
57	56	sselda 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
58	57, 8	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) ∈ 𝐵)
59	12	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
60	1, 2, 54, 58, 59	ringcld 20484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) ∈ 𝐵)
61		c0ex 11300	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
62	61	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
63		0nnn 12374	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
64		elfznn 13687	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ (1...𝑁) → 0 ∈ ℕ)
65	63, 64	mto 200	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ∈ (1...𝑁)
66	65	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (1...𝑁))
67		0elfz 13758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
68	14, 67	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
69	7, 68	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) ∈ 𝐵)
70	1, 2, 4, 69, 12	ringcld 20484	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0) · 𝐶) ∈ 𝐵)
71		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘0))
72	71	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) = ((𝐷‘0) · 𝐶))
73	1, 26, 5, 53, 60, 62, 66, 70, 72	gsumunsn 20174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ((1...𝑁) ∪ {0}) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
74		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶)
75		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘(𝑙 + 1)))
76	75	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑙 + 1) → ((𝐷‘𝑘) · 𝐶) = ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶))
77		ssidd 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐵)
78	14	nn0zd 12718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
79		fzoval 13794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
80	78, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
81	80	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
82	81	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑙 ∈ (0..^𝑁))
83		fz0add1fz1 13870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑙 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
84	14, 82, 83	syl2an2r 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑙 + 1) ∈ (1...𝑁))
85	57	elfzelzd 13657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
86	78	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (1...𝑁))
88		elfzm1b 13736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑘 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1))))
89	88	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
90	85, 86, 87, 89	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		eqcom 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑙 + 1) = 𝑘 ↔ 𝑘 = (𝑙 + 1))
92		elfznn0 13754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
93	92	nn0cnd 12669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑙 ∈ ℂ)
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑙 ∈ ℂ)
95		1cnd 11302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
96	85	zcnd 12804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
97	96	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
98	94, 95, 97	addlsub 11732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑙 + 1) = 𝑘 ↔ 𝑙 = (𝑘 − 1)))
99	91, 98	bitr3id 288	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑘 = (𝑙 + 1) ↔ 𝑙 = (𝑘 − 1)))
100	90, 99	reu6dv 33069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ∃!𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝑘 = (𝑙 + 1))
101	74, 1, 21, 76, 5, 53, 77, 60, 84, 100	gsummptf1o 20177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶))))
102		fvoveq1 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐷‘(𝑙 + 1)) = (𝐷‘(𝑘 + 1)))
103	102	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶) = ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))
104	103	cbvmptv 5208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))
105	80	mpteq1d 5194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
106	104, 105	eqtr4id 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
107	106	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↦ ((𝐷‘(𝑙 + 1)) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))))
108	101, 107	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))))
109	108	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
110	52, 73, 109	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐶))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
111	46, 110	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶)))
112	45, 111	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐴) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · 𝐶)) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶))))
113	4	ringabld 20512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Abel)
114	35	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐷‘𝑘) · 𝐴) ∈ 𝐵)
115	1, 5, 28, 114	gsummptcl 20181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) ∈ 𝐵)
116	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷:(0...𝑁)⟶𝐵)
117		fz0add1fz1 13870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
118	14, 117	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (1...𝑁))
119	55, 118	sselid 3906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
120	116, 119	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝐵)
121	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ 𝐵)
122	1, 2, 29, 120, 121	ringcld 20484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶) ∈ 𝐵)
123	122	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶) ∈ 𝐵)
124	1, 5, 28, 123	gsummptcl 20181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) ∈ 𝐵)
125	1, 26, 3	ablsub4 20024	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘𝑁) · 𝐴) ∈ 𝐵) ∧ ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐷‘0) · 𝐶) ∈ 𝐵)) → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶))) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
126	113, 115, 41, 124, 70, 125	syl122anc 1406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) + ((𝐷‘𝑁) · 𝐴)) − ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))) + ((𝐷‘0) · 𝐶))) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
127	13, 112, 126	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · (𝐴 − 𝐶)) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
128	7	feqmptd 6953	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘)))
129	128	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg 𝐷) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))))
130	129	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ (𝐷‘𝑘))) · (𝐴 − 𝐶)))
131		gsummulsubdishift1.f	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹 = (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))
132	131	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))))
133	132	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))))
134		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴)) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))
135		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)) = (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶))
136	1, 3, 113, 28, 35, 122, 134, 135	gsummptfidmsub 20164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ (((𝐷‘𝑘) · 𝐴) − ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))))
137	133, 136	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))))
138		gsummulsubdishift1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶)))
139	137, 138	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸) = (((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘𝑘) · 𝐴))) − (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝐷‘(𝑘 + 1)) · 𝐶)))) + (((𝐷‘𝑁) · 𝐴) − ((𝐷‘0) · 𝐶))))
140	127, 130, 139	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 Σg 𝐷) · (𝐴 − 𝐶)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝐹)) + 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ..^cfzo 13788  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  -_gcsg 19146  Abelcabl 19995  Ringcrg 20459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461

This theorem is used by:  gsummulsubdishift2  33630  gsummulsubdishift1s  33631