Theorem isinito4a 50779

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4a.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
isinito4a	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 18170	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2	1	anim2i 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat))
3		uobrcl 50402	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 1 ∈ Cat))
4	3	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋) → 𝐶 ∈ Cat)
5	4	anim2i 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat))
6		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 1 ∈ TermCat)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
11	7	termccatd 50707	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 1 ∈ Cat)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
14		isinito4a.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘𝑋)
15	10, 11, 12, 13, 9, 14	diag1cl 18421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
16	7, 9, 15	isinito4 50778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
17	2, 5, 16	pm5.21nd 814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  Basecbs 17392  Catccat 17843  InitOcinito 18161  Δ_funccdiag 18391   UP cup 50382  TermCatctermc 50700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-hom 17457  df-cco 17458  df-cat 17847  df-cid 17848  df-homf 17849  df-comf 17850  df-oppc 17891  df-sect 17927  df-inv 17928  df-iso 17929  df-cic 17976  df-func 18038  df-idfu 18039  df-cofu 18040  df-full 18086  df-fth 18087  df-nat 18126  df-fuc 18127  df-inito 18164  df-termo 18165  df-setc 18256  df-catc 18279  df-xpc 18351  df-1stf 18352  df-curf 18393  df-diag 18395  df-up 50383  df-thinc 50646  df-termc 50701

This theorem is used by: (None)