Theorem isinito4a 49543

Description: The predicate "is an initial object" of a category, using universal property. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
isinito4.1	⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
isinito4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
isinito4a.f	⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
isinito4a	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Proof of Theorem isinito4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		initorcl 17897	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
2	1	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ (InitO‘𝐶)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat))
3		uobrcl 49188	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 1 ∈ Cat))
4	3	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋) → 𝐶 ∈ Cat)
5	4	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)) → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat))
6		isinito4.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ TermCat)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 1 ∈ TermCat)
8		isinito4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 𝑋 ∈ (Base‘ 1 ))
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( 1 Δfunc𝐶) = ( 1 Δfunc𝐶)
11	7	termccd 49474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 1 ∈ Cat)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘ 1 ) = (Base‘ 1 )
14		isinito4a.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ((1st ‘( 1 Δfunc𝐶))‘𝑋)
15	10, 11, 12, 13, 9, 14	diag1cl 18148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 1 ))
16	7, 9, 15	isinito4 49542	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ Cat) → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))
17	2, 5, 16	pm5.21nd 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (InitO‘𝐶) ↔ 𝐼 ∈ dom (𝐹(𝐶 UP 1 )𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  Basecbs 17120  Catccat 17570  InitOcinito 17888  Δ_funccdiag 18118   UP cup 49168  TermCatctermc 49467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-hom 17185  df-cco 17186  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-comf 17577  df-oppc 17618  df-sect 17654  df-inv 17655  df-iso 17656  df-cic 17703  df-func 17765  df-idfu 17766  df-cofu 17767  df-full 17813  df-fth 17814  df-nat 17853  df-fuc 17854  df-inito 17891  df-termo 17892  df-setc 17983  df-catc 18006  df-xpc 18078  df-1stf 18079  df-curf 18120  df-diag 18122  df-up 49169  df-thinc 49413  df-termc 49468

This theorem is referenced by: (None)