Theorem lamberte 46882

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at e. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lamberte.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lamberte	⊢ e𝑅1

Proof of Theorem lamberte

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2		epr 16182	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ+
3	2	elexi 3473	. . . . . 6 ⊢ e ∈ V
4		eqcom 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 ↔ 1 = 𝑥)
5	4	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 = 𝑥)
6		ax-1cn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	eqeltrrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑦 = e)
10		df-e 16040	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e = (exp‘1)
11		rpssre 12965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12		ax-resscn 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13	11, 12	sstri 3958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
14	13, 2	sselii 3945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e ∈ ℂ
15	10, 14	eqeltrri 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘1) ∈ ℂ
16	15	mullidi 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (exp‘1)) = (exp‘1)
17	16, 10	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (exp‘1)) = e
18	5	fveq2d 6864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (exp‘1) = (exp‘𝑥))
19	5, 18	oveq12d 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · (exp‘1)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
20	17, 19	eqtr3id 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → e = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → e = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
22	9, 21	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
23	8, 22	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
24		tbtru 1548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
26		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
27	1, 3, 25, 26	braba 5499	. . . . 5 ⊢ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ ⊤)
28		tbtru 1548	. . . . 5 ⊢ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ ⊤))
29	27, 28	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e
30		df-mpt 5191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
31	30	breqi 5115	. . . 4 ⊢ (1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e ↔ 1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e)
32	29, 31	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e
33	3, 1	brcnv 5848	. . 3 ⊢ (e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1 ↔ 1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e)
34	32, 33	mpbir 231	. 2 ⊢ e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1
35		lamberte.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
36	35	breqi 5115	. 2 ⊢ (e𝑅1 ↔ e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1)
37	34, 36	mpbir 231	1 ⊢ e𝑅1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  {copab 5171   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5639  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℂcc 11072  ℝcr 11073  1c1 11075   · cmul 11079  ℝ⁺crp 12957  expce 16033  eceu 16034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-inf2 9600  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-pm 8804  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12914  df-rp 12958  df-ico 13318  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-fl 13760  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14245  df-bc 14274  df-hash 14302  df-shft 15039  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-limsup 15443  df-clim 15460  df-rlim 15461  df-sum 15659  df-ef 16039  df-e 16040

This theorem is referenced by: (None)