Theorem lamberte 47483

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at e. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lamberte.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lamberte	⊢ e𝑅1

Proof of Theorem lamberte

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11177	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2		epr 16241	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ+
3	2	elexi 3477	. . . . . 6 ⊢ e ∈ V
4		eqcom 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 ↔ 1 = 𝑥)
5	4	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 = 𝑥)
6		ax-1cn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	eqeltrrdi 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑦 = e)
10		df-e 16099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e = (exp‘1)
11		rpssre 13002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12		ax-resscn 11131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13	11, 12	sstri 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
14	13, 2	sselii 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e ∈ ℂ
15	10, 14	eqeltrri 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘1) ∈ ℂ
16	15	mullidi 11188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (exp‘1)) = (exp‘1)
17	16, 10	eqtr4i 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (exp‘1)) = e
18	5	fveq2d 6872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (exp‘1) = (exp‘𝑥))
19	5, 18	oveq12d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · (exp‘1)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
20	17, 19	eqtr3id 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → e = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
21	20	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → e = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
22	9, 21	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
23	8, 22	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
24		tbtru 1569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
25	23, 24	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
26		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
27	1, 3, 25, 26	braba 5508	. . . . 5 ⊢ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ ⊤)
28		tbtru 1569	. . . . 5 ⊢ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ ⊤))
29	27, 28	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e
30		df-mpt 5183	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
31	30	breqi 5107	. . . 4 ⊢ (1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e ↔ 1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e)
32	29, 31	mpbir 233	. . 3 ⊢ 1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e
33	3, 1	brcnv 5855	. . 3 ⊢ (e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1 ↔ 1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e)
34	32, 33	mpbir 233	. 2 ⊢ e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1
35		lamberte.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
36	35	breqi 5107	. 2 ⊢ (e𝑅1 ↔ e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1)
37	34, 36	mpbir 233	1 ⊢ e𝑅1

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561  ⊤wtru 1562   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  {copab 5163   ↦ cmpt 5182  ^◡ccnv 5647  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  ℝcr 11073  1c1 11075   · cmul 11079  ℝ⁺crp 12994  expce 16092  eceu 16093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-pm 8812  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-card 9898  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-ico 13356  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14288  df-bc 14317  df-hash 14345  df-shft 15081  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-limsup 15499  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-sum 15715  df-ef 16098  df-e 16099

This theorem is referenced by: (None)