Theorem lamberte 46898

Description: A value of Lambert W (product logarithm) function at e. (Contributed by Ender Ting, 13-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
lamberte.1	⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
lamberte	⊢ e𝑅1

Proof of Theorem lamberte

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11100	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2		epr 16109	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ+
3	2	elexi 3457	. . . . . 6 ⊢ e ∈ V
4		eqcom 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 ↔ 1 = 𝑥)
5	4	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → 1 = 𝑥)
6		ax-1cn 11056	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
7	5, 6	eqeltrrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑥 ∈ ℂ)
9		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑦 = e)
10		df-e 15967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e = (exp‘1)
11		rpssre 12890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
12		ax-resscn 11055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
13	11, 12	sstri 3942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
14	13, 2	sselii 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ e ∈ ℂ
15	10, 14	eqeltrri 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (exp‘1) ∈ ℂ
16	15	mullidi 11109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (exp‘1)) = (exp‘1)
17	16, 10	eqtr4i 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (exp‘1)) = e
18	5	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 1 → (exp‘1) = (exp‘𝑥))
19	5, 18	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 · (exp‘1)) = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
20	17, 19	eqtr3id 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → e = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → e = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
22	9, 21	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))
23	8, 22	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))))
24		tbtru 1549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
25	23, 24	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = e) → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥))) ↔ ⊤))
26		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
27	1, 3, 25, 26	braba 5475	. . . . 5 ⊢ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ ⊤)
28		tbtru 1549	. . . . 5 ⊢ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ (1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e ↔ ⊤))
29	27, 28	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e
30		df-mpt 5171	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥))) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}
31	30	breqi 5095	. . . 4 ⊢ (1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e ↔ 1{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = (𝑥 · (exp‘𝑥)))}e)
32	29, 31	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e
33	3, 1	brcnv 5820	. . 3 ⊢ (e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1 ↔ 1(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))e)
34	32, 33	mpbir 231	. 2 ⊢ e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1
35		lamberte.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = ◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))
36	35	breqi 5095	. 2 ⊢ (e𝑅1 ↔ e◡(𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · (exp‘𝑥)))1)
37	34, 36	mpbir 231	1 ⊢ e𝑅1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  {copab 5151   ↦ cmpt 5170  ^◡ccnv 5613  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  1c1 10999   · cmul 11003  ℝ⁺crp 12882  expce 15960  eceu 15961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-ico 13243  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-fl 13688  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-bc 14202  df-hash 14230  df-shft 14966  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-limsup 15370  df-clim 15387  df-rlim 15388  df-sum 15586  df-ef 15966  df-e 15967

This theorem is referenced by: (None)