Theorem lcdlssvscl 40781

Description: Closure of scalar product in a closed kernel dual vector space. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlssvscl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlssvscl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlssvscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
lcdlssvscl.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐹)
lcdlssvscl.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlssvscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdlssvscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
lcdlssvscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
lcdlssvscl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdlssvscl.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑆)
lcdlssvscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
lcdlssvscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)

Assertion

Ref	Expression
lcdlssvscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem lcdlssvscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlssvscl.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdlssvscl.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlssvscl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 40767	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdlssvscl.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑆)
6		lcdlssvscl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑅)
7		lcdlssvscl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		lcdlssvscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑈)
9		lcdlssvscl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐹)
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
12	1, 7, 8, 9, 2, 10, 11, 3	lcdsbase 40775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = 𝑅)
13	6, 12	eleqtrrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
14		lcdlssvscl.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐿)
15		lcdlssvscl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
16		lcdlssvscl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
17	10, 15, 11, 16	lssvscl 20711	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ 𝑆) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)) ∧ 𝑌 ∈ 𝐿)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐿)
18	4, 5, 13, 14, 17	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205   ·_𝑠 cvsca 17206  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  LCDualclcd 40761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-riotaBAD 38127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-lshyp 38151  df-lcv 38193  df-lfl 38232  df-lkr 38260  df-ldual 38298  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570  df-lcdual 40762

This theorem is referenced by:  mapdpglem12  40858  mapdpglem19  40865