MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsc 20987
Description: The identity matrix multiplied with a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matsc.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matsc.m · = ( ·𝑠𝐴)
matsc.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsc ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗

Proof of Theorem matsc
StepHypRef Expression
1 simp3 1130 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝐿𝐾)
2 3simpa 1140 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3 matsc.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 20980 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 eqid 2818 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
75, 6ringidcl 19247 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
82, 4, 73syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9 matsc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 matsc.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
11 eqid 2818 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2818 . . . 4 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
133, 5, 9, 10, 11, 12matvsca2 20965 . . 3 ((𝐿𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)))
141, 8, 13syl2anc 584 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)))
15 simp1 1128 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
16 simp13 1197 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐿𝐾)
17 fvex 6676 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
18 matsc.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
1918fvexi 6677 . . . . 5 0 ∈ V
2017, 19ifex 4511 . . . 4 if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V)
22 fconstmpo 7258 . . . 4 ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿)
2322a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿))
24 eqid 2818 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
253, 24, 18mat1 20984 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
26253adant3 1124 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
2715, 15, 16, 21, 23, 26offval22 7772 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))))
28 ovif2 7241 . . . 4 (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 ))
299, 11, 24ringridm 19251 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
30293adant1 1122 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
319, 11, 18ringrz 19267 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
32313adant1 1122 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3330, 32ifeq12d 4483 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3428, 33syl5eq 2865 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3534mpoeq3dv 7222 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
3614, 27, 353eqtrd 2857 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  ifcif 4463  {csn 4557   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  f cof 7396  Fincfn 8497  Basecbs 16471  .rcmulr 16554   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  1rcur 19180  Ringcrg 19226   Mat cmat 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mamu 20923  df-mat 20945
This theorem is referenced by:  scmatscm  21050  madurid  21181  chmatval  21365
  Copyright terms: Public domain W3C validator