MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsc 21053
Description: The identity matrix multiplied with a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matsc.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matsc.m · = ( ·𝑠𝐴)
matsc.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsc ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗

Proof of Theorem matsc
StepHypRef Expression
1 simp3 1134 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝐿𝐾)
2 3simpa 1144 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3 matsc.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 21046 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5 eqid 2821 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 eqid 2821 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
75, 6ringidcl 19312 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
82, 4, 73syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9 matsc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 matsc.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
11 eqid 2821 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2821 . . . 4 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
133, 5, 9, 10, 11, 12matvsca2 21031 . . 3 ((𝐿𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)))
141, 8, 13syl2anc 586 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)))
15 simp1 1132 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
16 simp13 1201 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐿𝐾)
17 fvex 6677 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
18 matsc.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
1918fvexi 6678 . . . . 5 0 ∈ V
2017, 19ifex 4514 . . . 4 if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V)
22 fconstmpo 7263 . . . 4 ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿)
2322a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿))
24 eqid 2821 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
253, 24, 18mat1 21050 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
26253adant3 1128 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
2715, 15, 16, 21, 23, 26offval22 7777 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))))
28 ovif2 7246 . . . 4 (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 ))
299, 11, 24ringridm 19316 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
30293adant1 1126 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
319, 11, 18ringrz 19332 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
32313adant1 1126 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3330, 32ifeq12d 4486 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3428, 33syl5eq 2868 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3534mpoeq3dv 7227 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
3614, 27, 353eqtrd 2860 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  ifcif 4466  {csn 4560   × cxp 5547  cfv 6349  (class class class)co 7150  cmpo 7152  f cof 7401  Fincfn 8503  Basecbs 16477  .rcmulr 16560   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  1rcur 19245  Ringcrg 19291   Mat cmat 21010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mamu 20989  df-mat 21011
This theorem is referenced by:  scmatscm  21116  madurid  21247  chmatval  21431
  Copyright terms: Public domain W3C validator