Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsc 21150
 Description: The identity matrix multiplied with a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
matsc.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matsc.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
matsc.m · = ( ·𝑠𝐴)
matsc.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matsc ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗

Proof of Theorem matsc
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝐿𝐾)
2 3simpa 1145 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3 matsc.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 21143 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6 eqid 2758 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
75, 6ringidcl 19389 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
82, 4, 73syl 18 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9 matsc.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 matsc.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝐴)
11 eqid 2758 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2758 . . . 4 (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
133, 5, 9, 10, 11, 12matvsca2 21128 . . 3 ((𝐿𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)))
141, 8, 13syl2anc 587 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)))
15 simp1 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
16 simp13 1202 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝐿𝐾)
17 fvex 6671 . . . . 5 (1r𝑅) ∈ V
18 matsc.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
1918fvexi 6672 . . . . 5 0 ∈ V
2017, 19ifex 4470 . . . 4 if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ) ∈ V)
22 fconstmpo 7263 . . . 4 ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿)
2322a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁𝐿))
24 eqid 2758 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
253, 24, 18mat1 21147 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
26253adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (1r𝐴) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )))
2715, 15, 16, 21, 23, 26offval22 7788 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r𝑅)(1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))))
28 ovif2 7246 . . . 4 (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 ))
299, 11, 24ringridm 19393 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
30293adant1 1127 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐿)
319, 11, 18ringrz 19409 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
32313adant1 1127 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3330, 32ifeq12d 4441 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r𝑅)(1r𝑅)), (𝐿(.r𝑅) 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3428, 33syl5eq 2805 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
3534mpoeq3dv 7227 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝐿(.r𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑅), 0 ))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
3614, 27, 353eqtrd 2797 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿𝐾) → (𝐿 · (1r𝐴)) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409  ifcif 4420  {csn 4522   × cxp 5522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ∘f cof 7403  Fincfn 8527  Basecbs 16541  .rcmulr 16624   ·𝑠 cvsca 16627  0gc0g 16771  1rcur 19319  Ringcrg 19365   Mat cmat 21107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-ot 4531  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-hom 16647  df-cco 16648  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-prds 16779  df-pws 16781  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-subrg 19601  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-mamu 21086  df-mat 21108 This theorem is referenced by:  scmatscm  21213  madurid  21344  chmatval  21529
 Copyright terms: Public domain W3C validator