Theorem matsc 22745

Description: The identity matrix multiplied with a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
matsc.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matsc.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
matsc.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matsc	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗, 0   𝐴,𝑖,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑖,𝐾,𝑗

Proof of Theorem matsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → 𝐿 ∈ 𝐾)
2		3simpa 1166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3		matsc.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22738	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴)
7	5, 6	ringidcl 20474	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
8	2, 4, 7	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴))
9		matsc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		matsc.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐴)
11		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
13	3, 5, 9, 10, 11, 12	matvsca2 22723	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐾 ∧ (1r‘𝐴) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝐴)))
14	1, 8, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝐴)))
15		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
16		simp13 1224	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐿 ∈ 𝐾)
17		fvex 6890	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
18		matsc.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19	18	fvexi 6891	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
20	17, 19	ifex 4533	. . . 4 ⊢ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ) ∈ V)
22		fconstmpo 7529	. . . 4 ⊢ ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐿)
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → ((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ 𝐿))
24		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
25	3, 24, 18	mat1 22742	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )))
26	25	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )))
27	15, 15, 16, 21, 23, 26	offval22 8088	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (((𝑁 × 𝑁) × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑅)(1r‘𝐴)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ))))
28		ovif2 7511	. . . 4 ⊢ (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐿(.r‘𝑅) 0 ))
29	9, 11, 24	ringridm 20479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐿)
30	29	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝐿)
31	9, 11, 18	ringrz 20505	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
32	31	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
33	30, 32	ifeq12d 4504	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → if(𝑖 = 𝑗, (𝐿(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)), (𝐿(.r‘𝑅) 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
34	28, 33	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 )) = if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 ))
35	34	mpoeq3dv 7491	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝐿(.r‘𝑅)if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), 0 ))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))
36	14, 27, 35	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ 𝐾) → (𝐿 · (1r‘𝐴)) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, 𝐿, 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482  {csn 4584   × cxp 5649  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ∘_f cof 7680  Fincfn 8957  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  1_rcur 20387  Ringcrg 20439   Mat cmat 22702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-mamu 22686  df-mat 22703

This theorem is used by:  scmatscm  22808  madurid  22939  chmatval  23127