MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem2 22115
Description: Lemma for mdetuni 22124. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetunilem2.ph (๐œ“ โ†’ ๐œ‘)
mdetunilem2.eg (๐œ“ โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐บ))
mdetunilem2.f ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
mdetunilem2.h ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem2 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   + ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   0 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   1 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐œ“,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐บ,๐‘Ž,๐‘   ๐น,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐น(๐‘)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem mdetunilem2
StepHypRef Expression
1 mdetunilem2.ph . 2 (๐œ“ โ†’ ๐œ‘)
2 mdetuni.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 mdetuni.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mdetuni.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
5 mdetuni.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (๐œ“ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (๐œ“ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 mdetunilem2.f . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
1093adant2 1132 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
11 mdetunilem2.h . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
1210, 11ifcld 4575 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) โˆˆ ๐พ)
1310, 12ifcld 4575 . . 3 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) โˆˆ ๐พ)
142, 3, 4, 6, 8, 13matbas2d 21925 . 2 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))) โˆˆ ๐ต)
15 eqidd 2734 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))))
16 iftrue 4535 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ธ โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = ๐น)
17 csbeq1a 3908 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ ๐น = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
1816, 17sylan9eq 2793 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘ = ๐‘ค) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
1918adantl 483 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
20 eqidd 2734 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐ธ) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
21 mdetunilem2.eg . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐บ))
2221simp1d 1143 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐‘)
2322adantr 482 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐‘)
24 simpr 486 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
25 nfv 1918 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘(๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
26 nfcsb1v 3919 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น
2726nfel1 2920 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ
2825, 27nfim 1900 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ)
29 eleq1w 2817 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
3029anbi2d 630 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†” (๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘)))
3117eleq1d 2819 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ (๐น โˆˆ ๐พ โ†” โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ))
3230, 31imbi12d 345 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ (((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ)))
3328, 32, 9chvarfv 2234 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ)
34 nfv 1918 . . . . 5 โ„ฒ๐‘Ž(๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
35 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘๐ธ
36 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘Ž๐‘ค
37 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘Žโฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น
3815, 19, 20, 23, 24, 33, 34, 25, 35, 36, 37, 26ovmpodxf 7558 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
3921simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ“ โ†’ ๐ธ โ‰  ๐บ)
4039adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โ‰  ๐บ)
41 neeq2 3005 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐บ โ†’ (๐ธ โ‰  ๐‘Ž โ†” ๐ธ โ‰  ๐บ))
4240, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ž = ๐บ โ†’ ๐ธ โ‰  ๐‘Ž))
4342imp 408 . . . . . . . . . 10 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ๐ธ โ‰  ๐‘Ž)
4443necomd 2997 . . . . . . . . 9 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ๐‘Ž โ‰  ๐ธ)
4544neneqd 2946 . . . . . . . 8 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ยฌ ๐‘Ž = ๐ธ)
4645adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ ยฌ ๐‘Ž = ๐ธ)
4746iffalsed 4540 . . . . . 6 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))
48 iftrue 4535 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐บ โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) = ๐น)
4948, 17sylan9eq 2793 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค) โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
5049adantl 483 . . . . . 6 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
5147, 50eqtrd 2773 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
52 eqidd 2734 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
5321simp2d 1144 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘)
5453adantr 482 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘)
55 nfcv 2904 . . . . 5 โ„ฒ๐‘๐บ
5615, 51, 52, 54, 24, 33, 34, 25, 55, 36, 37, 26ovmpodxf 7558 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
5738, 56eqtr4d 2776 . . 3 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค))
5857ralrimiva 3147 . 2 (๐œ“ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค))
59 mdetuni.0g . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘…)
60 mdetuni.1r . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
61 mdetuni.pg . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
62 mdetuni.tg . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
63 mdetuni.ff . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
64 mdetuni.al . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
65 mdetuni.li . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
66 mdetuni.sc . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
672, 4, 3, 59, 60, 61, 62, 5, 7, 63, 64, 65, 66mdetunilem1 22114 . 2 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค)) โˆง (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))) = 0 )
681, 14, 58, 21, 67syl31anc 1374 1 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โฆ‹csb 3894   โˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   ร— cxp 5675   โ†พ cres 5679  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   โˆ˜f cof 7668  Fincfn 8939  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  1rcur 20004  Ringcrg 20056   Mat cmat 21907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mat 21908
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  22119  mdetunilem8  22121
  Copyright terms: Public domain W3C validator