MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem2 22619
Description: Lemma for mdetuni 22628. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem2.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem2.eg (𝜓 → (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺))
mdetunilem2.f ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
mdetunilem2.h ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem2 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem2
StepHypRef Expression
1 mdetunilem2.ph . 2 (𝜓𝜑)
2 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜓𝑅 ∈ Ring)
9 mdetunilem2.f . . . . 5 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
1093adant2 1132 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
11 mdetunilem2.h . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
1210, 11ifcld 4572 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
1310, 12ifcld 4572 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐾)
142, 3, 4, 6, 8, 13matbas2d 22429 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) ∈ 𝐵)
15 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))))
16 iftrue 4531 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝐹)
17 csbeq1a 3913 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤𝐹 = 𝑤 / 𝑏𝐹)
1816, 17sylan9eq 2797 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑤) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
1918adantl 481 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
20 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐸) → 𝑁 = 𝑁)
21 mdetunilem2.eg . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺))
2221simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜓𝐸𝑁)
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐸𝑁)
24 simpr 484 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤𝑁)
25 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑏(𝜓𝑤𝑁)
26 nfcsb1v 3923 . . . . . . . 8 𝑏𝑤 / 𝑏𝐹
2726nfel1 2922 . . . . . . 7 𝑏𝑤 / 𝑏𝐹𝐾
2825, 27nfim 1896 . . . . . 6 𝑏((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)
29 eleq1w 2824 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑤 → (𝑏𝑁𝑤𝑁))
3029anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤 → ((𝜓𝑏𝑁) ↔ (𝜓𝑤𝑁)))
3117eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤 → (𝐹𝐾𝑤 / 𝑏𝐹𝐾))
3230, 31imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑤 → (((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾) ↔ ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)))
3328, 32, 9chvarfv 2240 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)
34 nfv 1914 . . . . 5 𝑎(𝜓𝑤𝑁)
35 nfcv 2905 . . . . 5 𝑏𝐸
36 nfcv 2905 . . . . 5 𝑎𝑤
37 nfcv 2905 . . . . 5 𝑎𝑤 / 𝑏𝐹
3815, 19, 20, 23, 24, 33, 34, 25, 35, 36, 37, 26ovmpodxf 7583 . . . 4 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
3921simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝐸𝐺)
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐸𝐺)
41 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐺 → (𝐸𝑎𝐸𝐺))
4240, 41syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝑎 = 𝐺𝐸𝑎))
4342imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝐸𝑎)
4443necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝑎𝐸)
4544neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
4645adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
4746iffalsed 4536 . . . . . 6 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))
48 iftrue 4531 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐺 → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝐹)
4948, 17sylan9eq 2797 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5049adantl 481 . . . . . 6 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5147, 50eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
52 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝑁 = 𝑁)
5321simp2d 1144 . . . . . 6 (𝜓𝐺𝑁)
5453adantr 480 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐺𝑁)
55 nfcv 2905 . . . . 5 𝑏𝐺
5615, 51, 52, 54, 24, 33, 34, 25, 55, 36, 37, 26ovmpodxf 7583 . . . 4 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5738, 56eqtr4d 2780 . . 3 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤))
5857ralrimiva 3146 . 2 (𝜓 → ∀𝑤𝑁 (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤))
59 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
60 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
61 mdetuni.pg . . 3 + = (+g𝑅)
62 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
63 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
64 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
65 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
66 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
672, 4, 3, 59, 60, 61, 62, 5, 7, 63, 64, 65, 66mdetunilem1 22618 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤)) ∧ (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
681, 14, 58, 21, 67syl31anc 1375 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  csb 3899  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626   × cxp 5683  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  f cof 7695  Fincfn 8985  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  1rcur 20178  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  22623  mdetunilem8  22625
  Copyright terms: Public domain W3C validator