MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem2 22114
Description: Lemma for mdetuni 22123. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetunilem2.ph (๐œ“ โ†’ ๐œ‘)
mdetunilem2.eg (๐œ“ โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐บ))
mdetunilem2.f ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
mdetunilem2.h ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem2 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))) = 0 )
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   + ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   0 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   1 ,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ด,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐œ“,๐‘Ž,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐ธ,๐‘Ž,๐‘   ๐บ,๐‘Ž,๐‘   ๐น,๐‘Ž
Allowed substitution hints:   ๐‘…(๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐น(๐‘)   ๐ป(๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem mdetunilem2
StepHypRef Expression
1 mdetunilem2.ph . 2 (๐œ“ โ†’ ๐œ‘)
2 mdetuni.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 mdetuni.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mdetuni.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
5 mdetuni.n . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (๐œ“ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (๐œ“ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 mdetunilem2.f . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
1093adant2 1131 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
11 mdetunilem2.h . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ป โˆˆ ๐พ)
1210, 11ifcld 4574 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) โˆˆ ๐พ)
1310, 12ifcld 4574 . . 3 ((๐œ“ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) โˆˆ ๐พ)
142, 3, 4, 6, 8, 13matbas2d 21924 . 2 (๐œ“ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))) โˆˆ ๐ต)
15 eqidd 2733 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))) = (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))))
16 iftrue 4534 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ธ โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = ๐น)
17 csbeq1a 3907 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ ๐น = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
1816, 17sylan9eq 2792 . . . . . 6 ((๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘ = ๐‘ค) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
1918adantl 482 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐ธ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
20 eqidd 2733 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐ธ) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
21 mdetunilem2.eg . . . . . . 7 (๐œ“ โ†’ (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐บ))
2221simp1d 1142 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐‘)
2322adantr 481 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โˆˆ ๐‘)
24 simpr 485 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
25 nfv 1917 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘(๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
26 nfcsb1v 3918 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น
2726nfel1 2919 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ
2825, 27nfim 1899 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ)
29 eleq1w 2816 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
3029anbi2d 629 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ ((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†” (๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘)))
3117eleq1d 2818 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ (๐น โˆˆ ๐พ โ†” โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ))
3230, 31imbi12d 344 . . . . . 6 (๐‘ = ๐‘ค โ†’ (((๐œ“ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ) โ†” ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ)))
3328, 32, 9chvarfv 2233 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น โˆˆ ๐พ)
34 nfv 1917 . . . . 5 โ„ฒ๐‘Ž(๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
35 nfcv 2903 . . . . 5 โ„ฒ๐‘๐ธ
36 nfcv 2903 . . . . 5 โ„ฒ๐‘Ž๐‘ค
37 nfcv 2903 . . . . 5 โ„ฒ๐‘Žโฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น
3815, 19, 20, 23, 24, 33, 34, 25, 35, 36, 37, 26ovmpodxf 7557 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
3921simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ“ โ†’ ๐ธ โ‰  ๐บ)
4039adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ธ โ‰  ๐บ)
41 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐บ โ†’ (๐ธ โ‰  ๐‘Ž โ†” ๐ธ โ‰  ๐บ))
4240, 41syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘Ž = ๐บ โ†’ ๐ธ โ‰  ๐‘Ž))
4342imp 407 . . . . . . . . . 10 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ๐ธ โ‰  ๐‘Ž)
4443necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ๐‘Ž โ‰  ๐ธ)
4544neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ยฌ ๐‘Ž = ๐ธ)
4645adantrr 715 . . . . . . 7 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ ยฌ ๐‘Ž = ๐ธ)
4746iffalsed 4539 . . . . . 6 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))
48 iftrue 4534 . . . . . . . 8 (๐‘Ž = ๐บ โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) = ๐น)
4948, 17sylan9eq 2792 . . . . . . 7 ((๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค) โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
5049adantl 482 . . . . . 6 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
5147, 50eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Ž = ๐บ โˆง ๐‘ = ๐‘ค)) โ†’ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
52 eqidd 2733 . . . . 5 (((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘Ž = ๐บ) โ†’ ๐‘ = ๐‘)
5321simp2d 1143 . . . . . 6 (๐œ“ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘)
5453adantr 481 . . . . 5 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘)
55 nfcv 2903 . . . . 5 โ„ฒ๐‘๐บ
5615, 51, 52, 54, 24, 33, 34, 25, 55, 36, 37, 26ovmpodxf 7557 . . . 4 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = โฆ‹๐‘ค / ๐‘โฆŒ๐น)
5738, 56eqtr4d 2775 . . 3 ((๐œ“ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค))
5857ralrimiva 3146 . 2 (๐œ“ โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค))
59 mdetuni.0g . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘…)
60 mdetuni.1r . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
61 mdetuni.pg . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
62 mdetuni.tg . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
63 mdetuni.ff . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
64 mdetuni.al . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
65 mdetuni.li . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
66 mdetuni.sc . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
672, 4, 3, 59, 60, 61, 62, 5, 7, 63, 64, 65, 66mdetunilem1 22113 . 2 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป))) โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐ธ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค) = (๐บ(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))๐‘ค)) โˆง (๐ธ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐บ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐ธ โ‰  ๐บ)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))) = 0 )
681, 14, 58, 21, 67syl31anc 1373 1 (๐œ“ โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘Ž โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘Ž = ๐ธ, ๐น, if(๐‘Ž = ๐บ, ๐น, ๐ป)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โฆ‹csb 3893   โˆ– cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   ร— cxp 5674   โ†พ cres 5678  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410   โˆ˜f cof 7667  Fincfn 8938  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  1rcur 20003  Ringcrg 20055   Mat cmat 21906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mat 21907
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  22118  mdetunilem8  22120
  Copyright terms: Public domain W3C validator