MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem2 21510
Description: Lemma for mdetuni 21519. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g 0 = (0g𝑅)
mdetuni.1r 1 = (1r𝑅)
mdetuni.pg + = (+g𝑅)
mdetuni.tg · = (.r𝑅)
mdetuni.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
mdetuni.al (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
mdetuni.li (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
mdetuni.sc (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
mdetunilem2.ph (𝜓𝜑)
mdetunilem2.eg (𝜓 → (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺))
mdetunilem2.f ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
mdetunilem2.h ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
Assertion
Ref Expression
mdetunilem2 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   + ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   0 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   1 ,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐻,𝑦,𝑧,𝑤   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝐸,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑎,𝑏)   · (𝑎,𝑏)   𝐹(𝑏)   𝐻(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mdetunilem2
StepHypRef Expression
1 mdetunilem2.ph . 2 (𝜓𝜑)
2 mdetuni.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 mdetuni.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdetuni.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 mdetuni.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
61, 5syl 17 . . 3 (𝜓𝑁 ∈ Fin)
7 mdetuni.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 7syl 17 . . 3 (𝜓𝑅 ∈ Ring)
9 mdetunilem2.f . . . . 5 ((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
1093adant2 1133 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐹𝐾)
11 mdetunilem2.h . . . . 5 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → 𝐻𝐾)
1210, 11ifcld 4485 . . . 4 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) ∈ 𝐾)
1310, 12ifcld 4485 . . 3 ((𝜓𝑎𝑁𝑏𝑁) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) ∈ 𝐾)
142, 3, 4, 6, 8, 13matbas2d 21320 . 2 (𝜓 → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) ∈ 𝐵)
15 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) = (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))))
16 iftrue 4445 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐸 → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝐹)
17 csbeq1a 3825 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤𝐹 = 𝑤 / 𝑏𝐹)
1816, 17sylan9eq 2798 . . . . . 6 ((𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑤) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
1918adantl 485 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐸𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
20 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐸) → 𝑁 = 𝑁)
21 mdetunilem2.eg . . . . . . 7 (𝜓 → (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺))
2221simp1d 1144 . . . . . 6 (𝜓𝐸𝑁)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐸𝑁)
24 simpr 488 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤𝑁)
25 nfv 1922 . . . . . . 7 𝑏(𝜓𝑤𝑁)
26 nfcsb1v 3836 . . . . . . . 8 𝑏𝑤 / 𝑏𝐹
2726nfel1 2920 . . . . . . 7 𝑏𝑤 / 𝑏𝐹𝐾
2825, 27nfim 1904 . . . . . 6 𝑏((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)
29 eleq1w 2820 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑤 → (𝑏𝑁𝑤𝑁))
3029anbi2d 632 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤 → ((𝜓𝑏𝑁) ↔ (𝜓𝑤𝑁)))
3117eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑤 → (𝐹𝐾𝑤 / 𝑏𝐹𝐾))
3230, 31imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑤 → (((𝜓𝑏𝑁) → 𝐹𝐾) ↔ ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)))
3328, 32, 9chvarfv 2238 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝑤 / 𝑏𝐹𝐾)
34 nfv 1922 . . . . 5 𝑎(𝜓𝑤𝑁)
35 nfcv 2904 . . . . 5 𝑏𝐸
36 nfcv 2904 . . . . 5 𝑎𝑤
37 nfcv 2904 . . . . 5 𝑎𝑤 / 𝑏𝐹
3815, 19, 20, 23, 24, 33, 34, 25, 35, 36, 37, 26ovmpodxf 7359 . . . 4 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
3921simp3d 1146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜓𝐸𝐺)
4039adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐸𝐺)
41 neeq2 3004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝐺 → (𝐸𝑎𝐸𝐺))
4240, 41syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . . 11 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝑎 = 𝐺𝐸𝑎))
4342imp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝐸𝑎)
4443necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝑎𝐸)
4544neneqd 2945 . . . . . . . 8 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
4645adantrr 717 . . . . . . 7 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → ¬ 𝑎 = 𝐸)
4746iffalsed 4450 . . . . . 6 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))
48 iftrue 4445 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐺 → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝐹)
4948, 17sylan9eq 2798 . . . . . . 7 ((𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5049adantl 485 . . . . . 6 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5147, 50eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ (𝑎 = 𝐺𝑏 = 𝑤)) → if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
52 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜓𝑤𝑁) ∧ 𝑎 = 𝐺) → 𝑁 = 𝑁)
5321simp2d 1145 . . . . . 6 (𝜓𝐺𝑁)
5453adantr 484 . . . . 5 ((𝜓𝑤𝑁) → 𝐺𝑁)
55 nfcv 2904 . . . . 5 𝑏𝐺
5615, 51, 52, 54, 24, 33, 34, 25, 55, 36, 37, 26ovmpodxf 7359 . . . 4 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = 𝑤 / 𝑏𝐹)
5738, 56eqtr4d 2780 . . 3 ((𝜓𝑤𝑁) → (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤))
5857ralrimiva 3105 . 2 (𝜓 → ∀𝑤𝑁 (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤))
59 mdetuni.0g . . 3 0 = (0g𝑅)
60 mdetuni.1r . . 3 1 = (1r𝑅)
61 mdetuni.pg . . 3 + = (+g𝑅)
62 mdetuni.tg . . 3 · = (.r𝑅)
63 mdetuni.ff . . 3 (𝜑𝐷:𝐵𝐾)
64 mdetuni.al . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑁𝑧𝑁 ((𝑦𝑧 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷𝑥) = 0 ))
65 mdetuni.li . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = ((𝐷𝑦) + (𝐷𝑧))))
66 mdetuni.sc . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐾𝑧𝐵𝑤𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷𝑥) = (𝑦 · (𝐷𝑧))))
672, 4, 3, 59, 60, 61, 62, 5, 7, 63, 64, 65, 66mdetunilem1 21509 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻))) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑤𝑁 (𝐸(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤) = (𝐺(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))𝑤)) ∧ (𝐸𝑁𝐺𝑁𝐸𝐺)) → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
681, 14, 58, 21, 67syl31anc 1375 1 (𝜓 → (𝐷‘(𝑎𝑁, 𝑏𝑁 ↦ if(𝑎 = 𝐸, 𝐹, if(𝑎 = 𝐺, 𝐹, 𝐻)))) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  csb 3811  cdif 3863  ifcif 4439  {csn 4541   × cxp 5549  cres 5553  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  f cof 7467  Fincfn 8626  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  .rcmulr 16803  0gc0g 16944  1rcur 19516  Ringcrg 19562   Mat cmat 21304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-prds 16952  df-pws 16954  df-sra 20209  df-rgmod 20210  df-dsmm 20694  df-frlm 20709  df-mat 21305
This theorem is referenced by:  mdetunilem6  21514  mdetunilem8  21516
  Copyright terms: Public domain W3C validator