Theorem mdetuni 22525

Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.e	⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetuni.cr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetuni.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mdetuni.no	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
mdetuni	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐸‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, + ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 1 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem mdetuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mdetuni.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		mdetuni.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.0g	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdetuni.1r	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mdetuni.pg	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		mdetuni.tg	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetuni.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9		mdetuni.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		mdetuni.ff	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
11		mdetuni.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
12		mdetuni.li	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
13		mdetuni.sc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
14		mdetuni.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
15		mdetuni.cr	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16		mdetuni.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mdetuni0 22524	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))
18		mdetuni.no	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 1 )
19	18	oveq1d 7368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) = ( 1 · (𝐸‘𝐹)))
20	14, 1, 2, 3	mdetcl 22499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾)
21	15, 16, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	3, 7, 5	ringlidm 20172	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾) → ( 1 · (𝐸‘𝐹)) = (𝐸‘𝐹))
23	9, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸‘𝐹)) = (𝐸‘𝐹))
24	17, 19, 23	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3902  {csn 4579   × cxp 5621   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  Fincfn 8879  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137   Mat cmat 22310   maDet cmdat 22487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-word 14439  df-lsw 14488  df-concat 14496  df-s1 14521  df-substr 14566  df-pfx 14596  df-splice 14674  df-reverse 14683  df-s2 14773  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-efmnd 18761  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-gim 19156  df-cntz 19214  df-oppg 19243  df-symg 19267  df-pmtr 19339  df-psgn 19388  df-evpm 19389  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-mamu 22294  df-mat 22311  df-mdet 22488

This theorem is referenced by: (None)