![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetuni | Structured version Visualization version GIF version |
Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetuni.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetuni.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
mdetuni.0g | โข 0 = (0gโ๐ ) |
mdetuni.1r | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mdetuni.pg | โข + = (+gโ๐ ) |
mdetuni.tg | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetuni.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mdetuni.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
mdetuni.ff | โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) |
mdetuni.al | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) |
mdetuni.li | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.sc | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.e | โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) |
mdetuni.cr | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mdetuni.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
mdetuni.no | โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni | โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mdetuni.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | mdetuni.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | mdetuni.k | . . 3 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
4 | mdetuni.0g | . . 3 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
5 | mdetuni.1r | . . 3 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
6 | mdetuni.pg | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
7 | mdetuni.tg | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
8 | mdetuni.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
9 | mdetuni.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
10 | mdetuni.ff | . . 3 โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) | |
11 | mdetuni.al | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) | |
12 | mdetuni.li | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) | |
13 | mdetuni.sc | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) | |
14 | mdetuni.e | . . 3 โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) | |
15 | mdetuni.cr | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
16 | mdetuni.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | mdetuni0 22447 | . 2 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น))) |
18 | mdetuni.no | . . 3 โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) | |
19 | 18 | oveq1d 7417 | . 2 โข (๐ โ ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น)) = ( 1 ยท (๐ธโ๐น))) |
20 | 14, 1, 2, 3 | mdetcl 22422 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐น โ ๐ต) โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
21 | 15, 16, 20 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
22 | 3, 7, 5 | ringlidm 20160 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ธโ๐น) โ ๐พ) โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
23 | 9, 21, 22 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
24 | 17, 19, 23 | 3eqtrd 2768 | 1 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2932 โwral 3053 โ cdif 3938 {csn 4621 ร cxp 5665 โพ cres 5669 โถwf 6530 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โf cof 7662 Fincfn 8936 Basecbs 17145 +gcplusg 17198 .rcmulr 17199 0gc0g 17386 1rcur 20078 Ringcrg 20130 CRingccrg 20131 Mat cmat 22231 maDet cmdat 22410 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-addf 11186 ax-mulf 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-ot 4630 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-tpos 8207 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-sup 9434 df-oi 9502 df-card 9931 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11870 df-nn 12211 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-5 12276 df-6 12277 df-7 12278 df-8 12279 df-9 12280 df-n0 12471 df-xnn0 12543 df-z 12557 df-dec 12676 df-uz 12821 df-rp 12973 df-fz 13483 df-fzo 13626 df-seq 13965 df-exp 14026 df-hash 14289 df-word 14463 df-lsw 14511 df-concat 14519 df-s1 14544 df-substr 14589 df-pfx 14619 df-splice 14698 df-reverse 14707 df-s2 14797 df-struct 17081 df-sets 17098 df-slot 17116 df-ndx 17128 df-base 17146 df-ress 17175 df-plusg 17211 df-mulr 17212 df-starv 17213 df-sca 17214 df-vsca 17215 df-ip 17216 df-tset 17217 df-ple 17218 df-ds 17220 df-unif 17221 df-hom 17222 df-cco 17223 df-0g 17388 df-gsum 17389 df-prds 17394 df-pws 17396 df-mre 17531 df-mrc 17532 df-acs 17534 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-mhm 18705 df-submnd 18706 df-efmnd 18786 df-grp 18858 df-minusg 18859 df-sbg 18860 df-mulg 18988 df-subg 19042 df-ghm 19131 df-gim 19176 df-cntz 19225 df-oppg 19254 df-symg 19279 df-pmtr 19354 df-psgn 19403 df-evpm 19404 df-cmn 19694 df-abl 19695 df-mgp 20032 df-rng 20050 df-ur 20079 df-srg 20084 df-ring 20132 df-cring 20133 df-oppr 20228 df-dvdsr 20251 df-unit 20252 df-invr 20282 df-dvr 20295 df-rhm 20366 df-subrng 20438 df-subrg 20463 df-drng 20581 df-lmod 20700 df-lss 20771 df-sra 21013 df-rgmod 21014 df-cnfld 21231 df-zring 21304 df-zrh 21360 df-dsmm 21597 df-frlm 21612 df-mamu 22210 df-mat 22232 df-mdet 22411 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |