![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetuni | Structured version Visualization version GIF version |
Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetuni.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetuni.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
mdetuni.0g | โข 0 = (0gโ๐ ) |
mdetuni.1r | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mdetuni.pg | โข + = (+gโ๐ ) |
mdetuni.tg | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetuni.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mdetuni.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
mdetuni.ff | โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) |
mdetuni.al | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) |
mdetuni.li | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.sc | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.e | โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) |
mdetuni.cr | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mdetuni.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
mdetuni.no | โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni | โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mdetuni.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | mdetuni.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | mdetuni.k | . . 3 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
4 | mdetuni.0g | . . 3 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
5 | mdetuni.1r | . . 3 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
6 | mdetuni.pg | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
7 | mdetuni.tg | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
8 | mdetuni.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
9 | mdetuni.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
10 | mdetuni.ff | . . 3 โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) | |
11 | mdetuni.al | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) | |
12 | mdetuni.li | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) | |
13 | mdetuni.sc | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) | |
14 | mdetuni.e | . . 3 โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) | |
15 | mdetuni.cr | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
16 | mdetuni.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | mdetuni0 22517 | . 2 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น))) |
18 | mdetuni.no | . . 3 โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) | |
19 | 18 | oveq1d 7430 | . 2 โข (๐ โ ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น)) = ( 1 ยท (๐ธโ๐น))) |
20 | 14, 1, 2, 3 | mdetcl 22492 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐น โ ๐ต) โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
21 | 15, 16, 20 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
22 | 3, 7, 5 | ringlidm 20199 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ธโ๐น) โ ๐พ) โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
23 | 9, 21, 22 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
24 | 17, 19, 23 | 3eqtrd 2772 | 1 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1085 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2936 โwral 3057 โ cdif 3942 {csn 4625 ร cxp 5671 โพ cres 5675 โถwf 6539 โcfv 6543 (class class class)co 7415 โf cof 7678 Fincfn 8958 Basecbs 17174 +gcplusg 17227 .rcmulr 17228 0gc0g 17415 1rcur 20115 Ringcrg 20167 CRingccrg 20168 Mat cmat 22301 maDet cmdat 22480 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-addf 11212 ax-mulf 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-xor 1506 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2937 df-nel 3043 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3472 df-sbc 3776 df-csb 3891 df-dif 3948 df-un 3950 df-in 3952 df-ss 3962 df-pss 3964 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-ot 4634 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7680 df-om 7866 df-1st 7988 df-2nd 7989 df-supp 8161 df-tpos 8226 df-frecs 8281 df-wrecs 8312 df-recs 8386 df-rdg 8425 df-1o 8481 df-2o 8482 df-er 8719 df-map 8841 df-pm 8842 df-ixp 8911 df-en 8959 df-dom 8960 df-sdom 8961 df-fin 8962 df-fsupp 9381 df-sup 9460 df-oi 9528 df-card 9957 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-xnn0 12570 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-rp 13002 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-seq 13994 df-exp 14054 df-hash 14317 df-word 14492 df-lsw 14540 df-concat 14548 df-s1 14573 df-substr 14618 df-pfx 14648 df-splice 14727 df-reverse 14736 df-s2 14826 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-prds 17423 df-pws 17425 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-mhm 18734 df-submnd 18735 df-efmnd 18815 df-grp 18887 df-minusg 18888 df-sbg 18889 df-mulg 19018 df-subg 19072 df-ghm 19162 df-gim 19207 df-cntz 19262 df-oppg 19291 df-symg 19316 df-pmtr 19391 df-psgn 19440 df-evpm 19441 df-cmn 19731 df-abl 19732 df-mgp 20069 df-rng 20087 df-ur 20116 df-srg 20121 df-ring 20169 df-cring 20170 df-oppr 20267 df-dvdsr 20290 df-unit 20291 df-invr 20321 df-dvr 20334 df-rhm 20405 df-subrng 20477 df-subrg 20502 df-drng 20620 df-lmod 20739 df-lss 20810 df-sra 21052 df-rgmod 21053 df-cnfld 21274 df-zring 21367 df-zrh 21423 df-dsmm 21660 df-frlm 21675 df-mamu 22280 df-mat 22302 df-mdet 22481 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |