![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetuni | Structured version Visualization version GIF version |
Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetuni.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetuni.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
mdetuni.0g | โข 0 = (0gโ๐ ) |
mdetuni.1r | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mdetuni.pg | โข + = (+gโ๐ ) |
mdetuni.tg | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetuni.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mdetuni.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
mdetuni.ff | โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) |
mdetuni.al | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) |
mdetuni.li | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.sc | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.e | โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) |
mdetuni.cr | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mdetuni.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
mdetuni.no | โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni | โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mdetuni.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | mdetuni.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | mdetuni.k | . . 3 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
4 | mdetuni.0g | . . 3 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
5 | mdetuni.1r | . . 3 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
6 | mdetuni.pg | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
7 | mdetuni.tg | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
8 | mdetuni.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
9 | mdetuni.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
10 | mdetuni.ff | . . 3 โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) | |
11 | mdetuni.al | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) | |
12 | mdetuni.li | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) | |
13 | mdetuni.sc | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) | |
14 | mdetuni.e | . . 3 โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) | |
15 | mdetuni.cr | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
16 | mdetuni.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | mdetuni0 22122 | . 2 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น))) |
18 | mdetuni.no | . . 3 โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) | |
19 | 18 | oveq1d 7423 | . 2 โข (๐ โ ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น)) = ( 1 ยท (๐ธโ๐น))) |
20 | 14, 1, 2, 3 | mdetcl 22097 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐น โ ๐ต) โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
21 | 15, 16, 20 | syl2anc 584 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
22 | 3, 7, 5 | ringlidm 20085 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ธโ๐น) โ ๐พ) โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
23 | 9, 21, 22 | syl2anc 584 | . 2 โข (๐ โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
24 | 17, 19, 23 | 3eqtrd 2776 | 1 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 โwral 3061 โ cdif 3945 {csn 4628 ร cxp 5674 โพ cres 5678 โถwf 6539 โcfv 6543 (class class class)co 7408 โf cof 7667 Fincfn 8938 Basecbs 17143 +gcplusg 17196 .rcmulr 17197 0gc0g 17384 1rcur 20003 Ringcrg 20055 CRingccrg 20056 Mat cmat 21906 maDet cmdat 22085 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-addf 11188 ax-mulf 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-xor 1510 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-ot 4637 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-of 7669 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8146 df-tpos 8210 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-sup 9436 df-oi 9504 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-xnn0 12544 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-rp 12974 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-word 14464 df-lsw 14512 df-concat 14520 df-s1 14545 df-substr 14590 df-pfx 14620 df-splice 14699 df-reverse 14708 df-s2 14798 df-struct 17079 df-sets 17096 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-ress 17173 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-starv 17211 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-unif 17219 df-hom 17220 df-cco 17221 df-0g 17386 df-gsum 17387 df-prds 17392 df-pws 17394 df-mre 17529 df-mrc 17530 df-acs 17532 df-mgm 18560 df-sgrp 18609 df-mnd 18625 df-mhm 18670 df-submnd 18671 df-efmnd 18749 df-grp 18821 df-minusg 18822 df-sbg 18823 df-mulg 18950 df-subg 19002 df-ghm 19089 df-gim 19132 df-cntz 19180 df-oppg 19209 df-symg 19234 df-pmtr 19309 df-psgn 19358 df-evpm 19359 df-cmn 19649 df-abl 19650 df-mgp 19987 df-ur 20004 df-srg 20009 df-ring 20057 df-cring 20058 df-oppr 20149 df-dvdsr 20170 df-unit 20171 df-invr 20201 df-dvr 20214 df-rnghom 20250 df-subrg 20316 df-drng 20358 df-lmod 20472 df-lss 20542 df-sra 20784 df-rgmod 20785 df-cnfld 20944 df-zring 21017 df-zrh 21052 df-dsmm 21286 df-frlm 21301 df-mamu 21885 df-mat 21907 df-mdet 22086 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |