![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetuni | Structured version Visualization version GIF version |
Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetuni.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetuni.k | โข ๐พ = (Baseโ๐ ) |
mdetuni.0g | โข 0 = (0gโ๐ ) |
mdetuni.1r | โข 1 = (1rโ๐ ) |
mdetuni.pg | โข + = (+gโ๐ ) |
mdetuni.tg | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetuni.n | โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
mdetuni.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
mdetuni.ff | โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) |
mdetuni.al | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) |
mdetuni.li | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.sc | โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
mdetuni.e | โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) |
mdetuni.cr | โข (๐ โ ๐ โ CRing) |
mdetuni.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
mdetuni.no | โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetuni | โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mdetuni.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | mdetuni.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
3 | mdetuni.k | . . 3 โข ๐พ = (Baseโ๐ ) | |
4 | mdetuni.0g | . . 3 โข 0 = (0gโ๐ ) | |
5 | mdetuni.1r | . . 3 โข 1 = (1rโ๐ ) | |
6 | mdetuni.pg | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
7 | mdetuni.tg | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
8 | mdetuni.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Fin) | |
9 | mdetuni.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
10 | mdetuni.ff | . . 3 โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) | |
11 | mdetuni.al | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) | |
12 | mdetuni.li | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) | |
13 | mdetuni.sc | . . 3 โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) | |
14 | mdetuni.e | . . 3 โข ๐ธ = (๐ maDet ๐ ) | |
15 | mdetuni.cr | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ CRing) | |
16 | mdetuni.f | . . 3 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
17 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | mdetuni0 21993 | . 2 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น))) |
18 | mdetuni.no | . . 3 โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 1 ) | |
19 | 18 | oveq1d 7376 | . 2 โข (๐ โ ((๐ทโ(1rโ๐ด)) ยท (๐ธโ๐น)) = ( 1 ยท (๐ธโ๐น))) |
20 | 14, 1, 2, 3 | mdetcl 21968 | . . . 4 โข ((๐ โ CRing โง ๐น โ ๐ต) โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
21 | 15, 16, 20 | syl2anc 585 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธโ๐น) โ ๐พ) |
22 | 3, 7, 5 | ringlidm 20000 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ธโ๐น) โ ๐พ) โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
23 | 9, 21, 22 | syl2anc 585 | . 2 โข (๐ โ ( 1 ยท (๐ธโ๐น)) = (๐ธโ๐น)) |
24 | 17, 19, 23 | 3eqtrd 2777 | 1 โข (๐ โ (๐ทโ๐น) = (๐ธโ๐น)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 โwral 3061 โ cdif 3911 {csn 4590 ร cxp 5635 โพ cres 5639 โถwf 6496 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โf cof 7619 Fincfn 8889 Basecbs 17091 +gcplusg 17141 .rcmulr 17142 0gc0g 17329 1rcur 19921 Ringcrg 19972 CRingccrg 19973 Mat cmat 21777 maDet cmdat 21956 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-addf 11138 ax-mulf 11139 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-xor 1511 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-ot 4599 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-tpos 8161 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-2o 8417 df-er 8654 df-map 8773 df-pm 8774 df-ixp 8842 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-sup 9386 df-oi 9454 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-xnn0 12494 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-seq 13916 df-exp 13977 df-hash 14240 df-word 14412 df-lsw 14460 df-concat 14468 df-s1 14493 df-substr 14538 df-pfx 14568 df-splice 14647 df-reverse 14656 df-s2 14746 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-starv 17156 df-sca 17157 df-vsca 17158 df-ip 17159 df-tset 17160 df-ple 17161 df-ds 17163 df-unif 17164 df-hom 17165 df-cco 17166 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-prds 17337 df-pws 17339 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-mhm 18609 df-submnd 18610 df-efmnd 18687 df-grp 18759 df-minusg 18760 df-sbg 18761 df-mulg 18881 df-subg 18933 df-ghm 19014 df-gim 19057 df-cntz 19105 df-oppg 19132 df-symg 19157 df-pmtr 19232 df-psgn 19281 df-evpm 19282 df-cmn 19572 df-abl 19573 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-srg 19926 df-ring 19974 df-cring 19975 df-oppr 20057 df-dvdsr 20078 df-unit 20079 df-invr 20109 df-dvr 20120 df-rnghom 20156 df-drng 20221 df-subrg 20262 df-lmod 20367 df-lss 20437 df-sra 20678 df-rgmod 20679 df-cnfld 20820 df-zring 20893 df-zrh 20927 df-dsmm 21161 df-frlm 21176 df-mamu 21756 df-mat 21778 df-mdet 21957 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |