Theorem mdetuni 22669

Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetuni.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetuni.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetuni.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdetuni.0g	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mdetuni.1r	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mdetuni.pg	⊢ + = (+g‘𝑅)
mdetuni.tg	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetuni.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mdetuni.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdetuni.ff	⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
mdetuni.al	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
mdetuni.li	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.sc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
mdetuni.e	⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetuni.cr	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mdetuni.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
mdetuni.no	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
mdetuni	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐸‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, · ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, + ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 0 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥, 1 ,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧,𝑤   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑤

Proof of Theorem mdetuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetuni.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mdetuni.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		mdetuni.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdetuni.0g	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		mdetuni.1r	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		mdetuni.pg	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
7		mdetuni.tg	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		mdetuni.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9		mdetuni.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		mdetuni.ff	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷:𝐵⟶𝐾)
11		mdetuni.al	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑁 ∀𝑧 ∈ 𝑁 ((𝑦 ≠ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑦𝑥𝑤) = (𝑧𝑥𝑤)) → (𝐷‘𝑥) = 0 ))
12		mdetuni.li	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((𝑦 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) ∘f + (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑦 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = ((𝐷‘𝑦) + (𝐷‘𝑧))))
13		mdetuni.sc	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐾 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝑁 (((𝑥 ↾ ({𝑤} × 𝑁)) = ((({𝑤} × 𝑁) × {𝑦}) ∘f · (𝑧 ↾ ({𝑤} × 𝑁))) ∧ (𝑥 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁)) = (𝑧 ↾ ((𝑁 ∖ {𝑤}) × 𝑁))) → (𝐷‘𝑥) = (𝑦 · (𝐷‘𝑧))))
14		mdetuni.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑁 maDet 𝑅)
15		mdetuni.cr	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16		mdetuni.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mdetuni0 22668	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)))
18		mdetuni.no	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(1r‘𝐴)) = 1 )
19	18	oveq1d 7405	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(1r‘𝐴)) · (𝐸‘𝐹)) = ( 1 · (𝐸‘𝐹)))
20	14, 1, 2, 3	mdetcl 22643	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾)
21	15, 16, 20	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾)
22	3, 7, 5	ringlidm 20305	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐸‘𝐹) ∈ 𝐾) → ( 1 · (𝐸‘𝐹)) = (𝐸‘𝐹))
23	9, 21, 22	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 · (𝐸‘𝐹)) = (𝐸‘𝐹))
24	17, 19, 23	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐹) = (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   ∖ cdif 3899  {csn 4579   × cxp 5641   ↾ cres 5645  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7652  Fincfn 8920  Basecbs 17235  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  0_gc0g 17458  1_rcur 20217  Ringcrg 20269  CRingccrg 20270   Mat cmat 22454   maDet cmdat 22631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-addf 11145  ax-mulf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-tpos 8199  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-word 14520  df-lsw 14569  df-concat 14577  df-s1 14603  df-substr 14648  df-pfx 14678  df-splice 14756  df-reverse 14765  df-s2 14854  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-mhm 18807  df-submnd 18808  df-efmnd 18893  df-grp 18968  df-minusg 18969  df-sbg 18970  df-mulg 19100  df-subg 19155  df-ghm 19244  df-gim 19289  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-symg 19400  df-pmtr 19472  df-psgn 19521  df-evpm 19522  df-cmn 19812  df-abl 19813  df-mgp 20177  df-rng 20189  df-ur 20218  df-srg 20223  df-ring 20271  df-cring 20272  df-oppr 20372  df-dvdsr 20392  df-unit 20393  df-invr 20423  df-dvr 20436  df-rhm 20507  df-subrng 20582  df-subrg 20606  df-drng 20767  df-lmod 20916  df-lss 20986  df-sra 21227  df-rgmod 21228  df-cnfld 21412  df-zring 21486  df-zrh 21542  df-dsmm 21771  df-frlm 21786  df-mamu 22438  df-mat 22455  df-mdet 22632

This theorem is referenced by: (None)