MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetuni 22518
Description: According to the definition in [Weierstrass] p. 272, the determinant function is the unique multilinear, alternating and normalized function from the algebra of square matrices of the same dimension over a commutative ring to this ring. So for any multilinear (mdetuni.li and mdetuni.sc), alternating (mdetuni.al) and normalized (mdetuni.no) function D (mdetuni.ff) from the algebra of square matrices (mdetuni.a) to their underlying commutative ring (mdetuni.cr), the function value of this function D for a matrix F (mdetuni.f) is the determinant of this matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Jul-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.e ๐ธ = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetuni.cr (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
mdetuni.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
mdetuni.no (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 1 )
Assertion
Ref Expression
mdetuni (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) = (๐ธโ€˜๐น))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, + ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ธ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐น,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค

Proof of Theorem mdetuni
StepHypRef Expression
1 mdetuni.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
2 mdetuni.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
3 mdetuni.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
4 mdetuni.0g . . 3 0 = (0gโ€˜๐‘…)
5 mdetuni.1r . . 3 1 = (1rโ€˜๐‘…)
6 mdetuni.pg . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
7 mdetuni.tg . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
8 mdetuni.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
9 mdetuni.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
10 mdetuni.ff . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
11 mdetuni.al . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
12 mdetuni.li . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
13 mdetuni.sc . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
14 mdetuni.e . . 3 ๐ธ = (๐‘ maDet ๐‘…)
15 mdetuni.cr . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
16 mdetuni.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16mdetuni0 22517 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) = ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)))
18 mdetuni.no . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 1 )
1918oveq1d 7430 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) ยท (๐ธโ€˜๐น)) = ( 1 ยท (๐ธโ€˜๐น)))
2014, 1, 2, 3mdetcl 22492 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐น โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ธโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ)
2115, 16, 20syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ)
223, 7, 5ringlidm 20199 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ธโ€˜๐น) โˆˆ ๐พ) โ†’ ( 1 ยท (๐ธโ€˜๐น)) = (๐ธโ€˜๐น))
239, 21, 22syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ ( 1 ยท (๐ธโ€˜๐น)) = (๐ธโ€˜๐น))
2417, 19, 233eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜๐น) = (๐ธโ€˜๐น))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2936  โˆ€wral 3057   โˆ– cdif 3942  {csn 4625   ร— cxp 5671   โ†พ cres 5675  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7415   โˆ˜f cof 7678  Fincfn 8958  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  1rcur 20115  Ringcrg 20167  CRingccrg 20168   Mat cmat 22301   maDet cmdat 22480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-tpos 8226  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-concat 14548  df-s1 14573  df-substr 14618  df-pfx 14648  df-splice 14727  df-reverse 14736  df-s2 14826  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-efmnd 18815  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-mulg 19018  df-subg 19072  df-ghm 19162  df-gim 19207  df-cntz 19262  df-oppg 19291  df-symg 19316  df-pmtr 19391  df-psgn 19440  df-evpm 19441  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-srg 20121  df-ring 20169  df-cring 20170  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-rhm 20405  df-subrng 20477  df-subrg 20502  df-drng 20620  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-cnfld 21274  df-zring 21367  df-zrh 21423  df-dsmm 21660  df-frlm 21675  df-mamu 22280  df-mat 22302  df-mdet 22481
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator