Theorem hlhil 25364

Description: Corollary of the Projection Theorem: A subcomplex Hilbert space is a Hilbert space (in the algebraic sense, meaning that all algebraically closed subspaces have a projection decomposition). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hlhil	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlhil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 25286	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (proj‘𝑊) = (proj‘𝑊)
3		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
4	2, 3	pjcss 21643	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
6		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
8		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	6, 7, 8, 3	cldcss2 25363	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ClSubSp‘𝑊) = ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
10		elin 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
11	7, 8, 2	pjth2 25361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊))
12	11	3expib 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → ((𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊)))
13	10, 12	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑥 ∈ ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊)))
14	13	ssrdv 3984	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ⊆ dom (proj‘𝑊))
15	9, 14	eqsstrd 4016	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ClSubSp‘𝑊) ⊆ dom (proj‘𝑊))
16	5, 15	eqssd 3995	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → dom (proj‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊))
17	2, 3	ishil 21645	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Hil ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)))
18	1, 16, 17	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Hil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  TopOpenctopn 17396  LSubSpclss 20808  PreHilcphl 21549  ClSubSpccss 21586  projcpj 21627  Hilchil 21628  Clsdccld 22913  ℂHilchl 25255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-pj1 19585  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-phl 21551  df-ipf 21552  df-ocv 21588  df-css 21589  df-pj 21630  df-hil 21631  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-t1 23211  df-haus 23212  df-cmp 23284  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-flim 23836  df-fcls 23838  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-nm 24484  df-ngp 24485  df-tng 24486  df-nlm 24488  df-cncf 24791  df-clm 24983  df-cph 25089  df-tcph 25090  df-cfil 25176  df-cmet 25178  df-cms 25256  df-bn 25257  df-hl 25258

This theorem is referenced by: (None)