Theorem hlhil 25797

Description: Corollary of the Projection Theorem: A subcomplex Hilbert space is a Hilbert space (in the algebraic sense, meaning that all algebraically closed subspaces have a projection decomposition). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hlhil	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlhil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 25719	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (proj‘𝑊) = (proj‘𝑊)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
4	2, 3	pjcss 22055	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	6, 7, 8, 3	cldcss2 25796	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ClSubSp‘𝑊) = ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
10		elin 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
11	7, 8, 2	pjth2 25794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊))
12	11	3expib 1140	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → ((𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊)))
13	10, 12	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑥 ∈ ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊)))
14	13	ssrdv 3919	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ⊆ dom (proj‘𝑊))
15	9, 14	eqsstrd 3947	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ClSubSp‘𝑊) ⊆ dom (proj‘𝑊))
16	5, 15	eqssd 3930	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → dom (proj‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊))
17	2, 3	ishil 22057	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Hil ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)))
18	1, 16, 17	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Hil)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  dom cdm 5656  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  TopOpenctopn 17624  LSubSpclss 21239  PreHilcphl 21963  ClSubSpccss 22000  projcpj 22039  Hilchil 22040  Clsdccld 23367  ℂHilchl 25688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-lsm 19883  df-pj1 19884  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-staf 21129  df-srng 21130  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lmhm 21330  df-lvec 21411  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-phl 21965  df-ipf 21966  df-ocv 22002  df-css 22003  df-pj 22042  df-hil 22043  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-t1 23665  df-haus 23666  df-cmp 23738  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-flim 24291  df-fcls 24293  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-nm 24934  df-ngp 24935  df-tng 24936  df-nlm 24938  df-cncf 25232  df-clm 25417  df-cph 25522  df-tcph 25523  df-cfil 25609  df-cmet 25611  df-cms 25689  df-bn 25690  df-hl 25691

This theorem is used by: (None)