Theorem hlhil 24148

Description: Corollary of the Projection Theorem: A subcomplex Hilbert space is a Hilbert space (in the algebraic sense, meaning that all algebraically closed subspaces have a projection decomposition). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hlhil	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Hil)

Proof of Theorem hlhil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 24070	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (proj‘𝑊) = (proj‘𝑊)
3		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (ClSubSp‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)
4	2, 3	pjcss 20486	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ (ClSubSp‘𝑊))
6		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
8		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9	6, 7, 8, 3	cldcss2 24147	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ClSubSp‘𝑊) = ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
10		elin 3876	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))))
11	7, 8, 2	pjth2 24145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊))
12	11	3expib 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → ((𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊)))
13	10, 12	syl5bi 245	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑥 ∈ ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) → 𝑥 ∈ dom (proj‘𝑊)))
14	13	ssrdv 3900	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → ((LSubSp‘𝑊) ∩ (Clsd‘(TopOpen‘𝑊))) ⊆ dom (proj‘𝑊))
15	9, 14	eqsstrd 3932	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (ClSubSp‘𝑊) ⊆ dom (proj‘𝑊))
16	5, 15	eqssd 3911	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → dom (proj‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊))
17	2, 3	ishil 20488	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Hil ↔ (𝑊 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝑊) = (ClSubSp‘𝑊)))
18	1, 16, 17	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Hil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  dom cdm 5527  ‘cfv 6339  Basecbs 16546  TopOpenctopn 16758  LSubSpclss 19776  PreHilcphl 20394  ClSubSpccss 20431  projcpj 20470  Hilchil 20471  Clsdccld 21721  ℂHilchl 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658  ax-addf 10659  ax-mulf 10660

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-tpos 7907  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-2o 8118  df-er 8304  df-map 8423  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-fi 8913  df-sup 8944  df-inf 8945  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-q 12394  df-rp 12436  df-xneg 12553  df-xadd 12554  df-xmul 12555  df-ioo 12788  df-ico 12790  df-icc 12791  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-exp 13485  df-hash 13746  df-cj 14511  df-re 14512  df-im 14513  df-sqrt 14647  df-abs 14648  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-starv 16643  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-unif 16651  df-hom 16652  df-cco 16653  df-rest 16759  df-topn 16760  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-topgen 16780  df-pt 16781  df-prds 16784  df-xrs 16838  df-qtop 16843  df-imas 16844  df-xps 16846  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-lsm 18833  df-pj1 18834  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-oppr 19449  df-dvdsr 19467  df-unit 19468  df-invr 19498  df-dvr 19509  df-rnghom 19543  df-drng 19577  df-subrg 19606  df-staf 19689  df-srng 19690  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-lmhm 19867  df-lvec 19948  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-psmet 20163  df-xmet 20164  df-met 20165  df-bl 20166  df-mopn 20167  df-fbas 20168  df-fg 20169  df-cnfld 20172  df-phl 20396  df-ipf 20397  df-ocv 20433  df-css 20434  df-pj 20473  df-hil 20474  df-top 21599  df-topon 21616  df-topsp 21638  df-bases 21651  df-cld 21724  df-ntr 21725  df-cls 21726  df-nei 21803  df-cn 21932  df-cnp 21933  df-t1 22019  df-haus 22020  df-cmp 22092  df-tx 22267  df-hmeo 22460  df-fil 22551  df-flim 22644  df-fcls 22646  df-xms 23027  df-ms 23028  df-tms 23029  df-nm 23289  df-ngp 23290  df-tng 23291  df-nlm 23293  df-cncf 23584  df-clm 23769  df-cph 23874  df-tcph 23875  df-cfil 23960  df-cmet 23962  df-cms 24040  df-bn 24041  df-hl 24042

This theorem is referenced by: (None)