MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnfieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnfieu 18637
Description: A permutation of a finite set has exactly one parity. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnfitr.g 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
psgnfitr.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfitr.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
psgnfieu ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐵) → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑄   𝑤,𝑇   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠,𝑤   𝑄,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤,𝑠)

Proof of Theorem psgnfieu
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐵) → 𝑄𝐵)
2 psgnfitr.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
3 psgnfitr.p . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
42, 3sygbasnfpfi 18631 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐵) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
5 eqid 2822 . . . 4 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
62, 5, 3psgneldm 18622 . . 3 (𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁) ↔ (𝑄𝐵 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
71, 4, 6sylanbrc 586 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐵) → 𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁))
8 psgnfitr.t . . 3 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)
92, 8, 5psgneu 18625 . 2 (𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁) → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
107, 9syl 17 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄𝐵) → ∃!𝑠𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  ∃!weu 2652  wrex 3131  cdif 3905   I cid 5436  dom cdm 5532  ran crn 5533  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  1c1 10527  -cneg 10860  cexp 13425  chash 13686  Word cword 13857  Basecbs 16474   Σg cgsu 16705  SymGrpcsymg 18486  pmTrspcpmtr 18560  pmSgncpsgn 18608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-ot 4548  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-splice 14103  df-reverse 14112  df-s2 14201  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-tset 16575  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-efmnd 18025  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-gim 18390  df-oppg 18465  df-symg 18487  df-pmtr 18561  df-psgn 18610
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator