Theorem psgnfieu 19783

Description: A permutation of a finite set has exactly one parity. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfitr.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
psgnfitr.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfitr.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnfieu	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑄   𝑤,𝑇   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠,𝑤   𝑄,𝑠   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤, 𝑠)

Proof of Theorem psgnfieu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ 𝐵)
2		psgnfitr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
3		psgnfitr.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	sygbasnfpfi 19777	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
6	2, 5, 3	psgneldm 19768	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁) ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
7	1, 4, 6	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁))
8		psgnfitr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)
9	2, 8, 5	psgneu 19771	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = ( -1↑(♯‘𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048   I cid 5552  dom cdm 5658  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  1c1 11240   -cneg 11581  ↑cexp 14244  ♯chash 14515  Word cword 14699  Basecbs 17431   Σ_g cgsu 17661  SymGrpcsymg 19634  pmTrspcpmtr 19706  pmSgncpsgn 19754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-word 14700  df-lsw 14749  df-concat 14757  df-s1 14784  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-splice 14941  df-reverse 14950  df-s2 15041  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-tset 17492  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-efmnd 19115  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-gim 19523  df-oppg 19611  df-symg 19635  df-pmtr 19707  df-psgn 19756

This theorem is used by: (None)