Theorem psgnfieu 19612

Description: A permutation of a finite set has exactly one parity. (Contributed by AV, 13-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfitr.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
psgnfitr.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
psgnfitr.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnfieu	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑄   𝑤,𝑇   𝐺,𝑠   𝑁,𝑠,𝑤   𝑄,𝑠   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤, 𝑠)

Proof of Theorem psgnfieu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ 𝐵)
2		psgnfitr.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝑁)
3		psgnfitr.p	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	sygbasnfpfi 19606	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin)
5		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
6	2, 5, 3	psgneldm 19597	. . 3 ⊢ (𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁) ↔ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ dom (𝑄 ∖ I ) ∈ Fin))
7	1, 4, 6	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁))
8		psgnfitr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝑁)
9	2, 8, 5	psgneu 19600	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ dom (pmSgn‘𝑁) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))
10	7, 9	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → ∃!𝑠∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝑄 = (𝐺 Σg 𝑤) ∧ 𝑠 = (-1↑(♯‘𝑤))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2598  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903   I cid 5557  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Fincfn 8945  1c1 11112  -cneg 11453  ↑cexp 14111  ♯chash 14380  Word cword 14564  Basecbs 17287   Σ_g cgsu 17511  SymGrpcsymg 19463  pmTrspcpmtr 19535  pmSgncpsgn 19583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-word 14565  df-lsw 14614  df-concat 14622  df-s1 14649  df-substr 14695  df-pfx 14727  df-splice 14805  df-reverse 14814  df-s2 14905  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-tset 17347  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-efmnd 18952  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-gim 19353  df-oppg 19440  df-symg 19464  df-pmtr 19536  df-psgn 19585

This theorem is used by: (None)