Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rerrext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rerrext 30651
Description: The field of the real numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
rerrext fld ∈ ℝExt

Proof of Theorem rerrext
StepHypRef Expression
1 cnnrg 22992 . . . 4 fld ∈ NrmRing
2 resubdrg 20351 . . . . 5 (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
32simpli 478 . . . 4 ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4 df-refld 20348 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
54subrgnrg 22885 . . . 4 ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
61, 3, 5mp2an 682 . . 3 fld ∈ NrmRing
72simpri 481 . . 3 fld ∈ DivRing
86, 7pm3.2i 464 . 2 (ℝfld ∈ NrmRing ∧ ℝfld ∈ DivRing)
9 rezh 30613 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod
10 reofld 30402 . . . 4 fld ∈ oField
11 ofldchr 30376 . . . 4 (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (chr‘ℝfld) = 0
139, 12pm3.2i 464 . 2 ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℝfld) = 0)
14 recusp 23588 . . 3 fld ∈ CUnifSp
15 reust 23587 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
1614, 15pm3.2i 464 . 2 (ℝfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))))
17 rebase 20349 . . 3 ℝ = (Base‘ℝfld)
18 eqid 2778 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
19 eqid 2778 . . 3 (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
2017, 18, 19isrrext 30642 . 2 (ℝfld ∈ ℝExt ↔ ((ℝfld ∈ NrmRing ∧ ℝfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℝfld) = 0) ∧ (ℝfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))))))
218, 13, 16, 20mpbir3an 1398 1 fld ∈ ℝExt
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   × cxp 5353  cres 5357  cfv 6135  cr 10271  0cc0 10272  distcds 16347  DivRingcdr 19139  SubRingcsubrg 19168  metUnifcmetu 20133  fldccnfld 20142  ℤModczlm 20245  chrcchr 20246  fldcrefld 20347  UnifStcuss 22465  CUnifSpccusp 22509  NrmRingcnrg 22792  NrmModcnlm 22793  oFieldcofld 30358   ℝExt crrext 30636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-toset 17420  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-lmod 19257  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-metu 20141  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zlm 20249  df-chr 20250  df-refld 20348  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-flim 22151  df-fcls 22153  df-ust 22412  df-utop 22443  df-uss 22468  df-usp 22469  df-cfilu 22499  df-cusp 22510  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-cncf 23089  df-cfil 23461  df-cmet 23463  df-cms 23541  df-omnd 30261  df-ogrp 30262  df-orng 30359  df-ofld 30360  df-rrext 30641
This theorem is referenced by:  rrhre  30663  sitgclre  31005  sitmcl  31011
  Copyright terms: Public domain W3C validator