Theorem rerrext 30651

Description: The field of the real numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rerrext	⊢ ℝfld ∈ ℝExt

Proof of Theorem rerrext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnnrg 22992	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ NrmRing
2		resubdrg 20351	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
3	2	simpli 478	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
4		df-refld 20348	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
5	4	subrgnrg 22885	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ NrmRing ∧ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → ℝfld ∈ NrmRing)
6	1, 3, 5	mp2an 682	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ NrmRing
7	2	simpri 481	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
8	6, 7	pm3.2i 464	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ NrmRing ∧ ℝfld ∈ DivRing)
9		rezh 30613	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod
10		reofld 30402	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ oField
11		ofldchr 30376	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ oField → (chr‘ℝfld) = 0)
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (chr‘ℝfld) = 0
13	9, 12	pm3.2i 464	. 2 ⊢ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℝfld) = 0)
14		recusp 23588	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ CUnifSp
15		reust 23587	. . 3 ⊢ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
16	14, 15	pm3.2i 464	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))))
17		rebase 20349	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
18		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
19		eqid 2778	. . 3 ⊢ (ℤMod‘ℝfld) = (ℤMod‘ℝfld)
20	17, 18, 19	isrrext 30642	. 2 ⊢ (ℝfld ∈ ℝExt ↔ ((ℝfld ∈ NrmRing ∧ ℝfld ∈ DivRing) ∧ ((ℤMod‘ℝfld) ∈ NrmMod ∧ (chr‘ℝfld) = 0) ∧ (ℝfld ∈ CUnifSp ∧ (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))))))
21	8, 13, 16, 20	mpbir3an 1398	1 ⊢ ℝfld ∈ ℝExt

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   × cxp 5353   ↾ cres 5357  ‘cfv 6135  ℝcr 10271  0cc0 10272  distcds 16347  DivRingcdr 19139  SubRingcsubrg 19168  metUnifcmetu 20133  ℂ_fldccnfld 20142  ℤModczlm 20245  chrcchr 20246  ℝ_fldcrefld 20347  UnifStcuss 22465  CUnifSpccusp 22509  NrmRingcnrg 22792  NrmModcnlm 22793  oFieldcofld 30358   ℝExt crrext 30636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-toset 17420  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-lmod 19257  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-metu 20141  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zlm 20249  df-chr 20250  df-refld 20348  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-flim 22151  df-fcls 22153  df-ust 22412  df-utop 22443  df-uss 22468  df-usp 22469  df-cfilu 22499  df-cusp 22510  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-cncf 23089  df-cfil 23461  df-cmet 23463  df-cms 23541  df-omnd 30261  df-ogrp 30262  df-orng 30359  df-ofld 30360  df-rrext 30641

This theorem is referenced by:  rrhre  30663  sitgclre  31005  sitmcl  31011