Theorem nsssmfmbf 47317

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsssmfmbf.1	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbf	⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Proof of Theorem nsssmfmbf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali2 47232	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊊ 𝒫 ℝ
2	1	pssnssi 45643	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol
3		nss 4000	. . . 4 ⊢ (¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol))
4	2, 3	mpbi 232	. . 3 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol)
5		nsssmfmbf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
6		elpwi 4561	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → 𝑥 ⊆ ℝ)
8	5	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ dom vol)
9	8	bicomi 226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	notbii 322	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
11	10	bilani 508	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0)
13	5, 7, 11, 12	nsssmfmbflem 47316	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
14	13	exlimiv 1949	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
15	4, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)
16		nss 4000	. 2 ⊢ (¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
17	15, 16	mpbir 233	1 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5645  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  0cc0 11070  volcvol 25505  MblFncmbf 25656  SMblFncsmblfn 47233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cmp 23427  df-ovol 25506  df-vol 25507  df-mbf 25661  df-salg 46847  df-smblfn 47234

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  47321