Theorem nsssmfmbf 45795

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsssmfmbf.1	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbf	⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Proof of Theorem nsssmfmbf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali2 45710	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊊ 𝒫 ℝ
2	1	pssnssi 44093	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol
3		nss 4047	. . . 4 ⊢ (¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol))
4	2, 3	mpbi 229	. . 3 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol)
5		nsssmfmbf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
6		elpwi 4610	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → 𝑥 ⊆ ℝ)
8	5	eleq2i 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ dom vol)
9	8	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	notbii 319	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
11	10	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom vol → ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0)
14	5, 7, 12, 13	nsssmfmbflem 45794	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
15	14	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
16	4, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)
17		nss 4047	. 2 ⊢ (¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
18	16, 17	mpbir 230	1 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  ℝcr 11112  0cc0 11113  volcvol 25213  MblFncmbf 25364  SMblFncsmblfn 45711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-salg 45325  df-smblfn 45712

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  45799