Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nsssmfmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsssmfmbf 43269
 Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nsssmfmbf.1 𝑆 = dom vol
Assertion
Ref Expression
nsssmfmbf ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Proof of Theorem nsssmfmbf
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vitali2 43190 . . . . 5 dom vol ⊊ 𝒫 ℝ
21pssnssi 41590 . . . 4 ¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol
3 nss 4013 . . . 4 (¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol))
42, 3mpbi 233 . . 3 𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol)
5 nsssmfmbf.1 . . . . 5 𝑆 = dom vol
6 elpwi 4529 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → 𝑥 ⊆ ℝ)
85eleq2i 2907 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝑥 ∈ dom vol)
98bicomi 227 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑥𝑆)
109notbii 323 . . . . . . 7 𝑥 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑥𝑆)
1110biimpi 219 . . . . . 6 𝑥 ∈ dom vol → ¬ 𝑥𝑆)
1211adantl 485 . . . . 5 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ¬ 𝑥𝑆)
13 eqid 2824 . . . . 5 (𝑦𝑥 ↦ 0) = (𝑦𝑥 ↦ 0)
145, 7, 12, 13nsssmfmbflem 43268 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
1514exlimiv 1932 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
164, 15ax-mp 5 . 2 𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)
17 nss 4013 . 2 (¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
1816, 17mpbir 234 1 ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3918  𝒫 cpw 4520   ↦ cmpt 5129  dom cdm 5538  ‘cfv 6338  ℝcr 10523  0cc0 10524  volcvol 24058  MblFncmbf 24209  SMblFncsmblfn 43191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-inf2 9090  ax-cc 9844  ax-ac2 9872  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601  ax-pre-sup 10602 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-disj 5015  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-se 5498  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-isom 6347  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-omul 8092  df-er 8274  df-ec 8276  df-qs 8280  df-map 8393  df-pm 8394  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-acn 9357  df-ac 9529  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-div 11285  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-rest 16687  df-topgen 16708  df-psmet 20525  df-xmet 20526  df-met 20527  df-bl 20528  df-mopn 20529  df-top 21490  df-topon 21507  df-bases 21542  df-cmp 21983  df-ovol 24059  df-vol 24060  df-mbf 24214  df-salg 42808  df-smblfn 43192 This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  43273
 Copyright terms: Public domain W3C validator