Theorem nsssmfmbf 47225

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsssmfmbf.1	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbf	⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Proof of Theorem nsssmfmbf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali2 47140	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊊ 𝒫 ℝ
2	1	pssnssi 45549	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol
3		nss 3987	. . . 4 ⊢ (¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol))
4	2, 3	mpbi 230	. . 3 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol)
5		nsssmfmbf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
6		elpwi 4549	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → 𝑥 ⊆ ℝ)
8	5	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ dom vol)
9	8	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	notbii 320	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
11	10	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom vol → ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0)
14	5, 7, 12, 13	nsssmfmbflem 47224	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
15	14	exlimiv 1932	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
16	4, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)
17		nss 3987	. 2 ⊢ (¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
18	16, 17	mpbir 231	1 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  0cc0 11029  volcvol 25440  MblFncmbf 25591  SMblFncsmblfn 47141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ec 8638  df-qs 8642  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-acn 9857  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-cmp 23362  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-salg 46755  df-smblfn 47142

This theorem is referenced by:  mbfpsssmf  47229