Theorem nsssmfmbf 47534

Description: The sigma-measurable functions (w.r.t. the Lebesgue measure on the Reals) are not a subset of the measurable functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsssmfmbf.1	⊢ 𝑆 = dom vol

Assertion

Ref	Expression
nsssmfmbf	⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

Proof of Theorem nsssmfmbf

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vitali2 47449	. . . . 5 ⊢ dom vol ⊊ 𝒫 ℝ
2	1	pssnssi 45860	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol
3		nss 4004	. . . 4 ⊢ (¬ 𝒫 ℝ ⊆ dom vol ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol))
4	2, 3	mpbi 233	. . 3 ⊢ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol)
5		nsssmfmbf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = dom vol
6		elpwi 4574	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑥 ⊆ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → 𝑥 ⊆ ℝ)
8	5	eleq2i 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑥 ∈ dom vol)
9	8	bicomi 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ dom vol ↔ 𝑥 ∈ 𝑆)
10	9	notbii 323	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ dom vol ↔ ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
11	10	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ¬ 𝑥 ∈ 𝑆)
12		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ 0)
13	5, 7, 11, 12	nsssmfmbflem 47533	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
14	13	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom vol) → ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
15	4, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn)
16		nss 4004	. 2 ⊢ (¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (SMblFn‘𝑆) ∧ ¬ 𝑓 ∈ MblFn))
17	15, 16	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (SMblFn‘𝑆) ⊆ MblFn

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  𝒫 cpw 4567   ↦ cmpt 5197  dom cdm 5666  ‘cfv 6543  ℝcr 11117  0cc0 11118  volcvol 25659  MblFncmbf 25810  SMblFncsmblfn 47450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437  ax-ac2 10465  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-acn 9947  df-ac 10119  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cmp 23581  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-salg 47064  df-smblfn 47451

This theorem is used by:  mbfpsssmf  47538