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Theorem trgcopyeu 28654
Description: Triangle construction: a copy of a given triangle can always be constructed in such a way that one side is lying on a half-line, and the third vertex is on a given half-plane: uniqueness part. Second part of Theorem 10.16 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
trgcopy.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
trgcopy.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
trgcopy.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
trgcopy.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
trgcopy.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
trgcopy.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
trgcopy.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
trgcopy.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
trgcopy.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
trgcopy.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
trgcopy.1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
trgcopy.2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
trgcopyeu (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑓,𝐿   𝑃,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑓,𝐾

Proof of Theorem trgcopyeu
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘˜ 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 trgcopy.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 trgcopy.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 trgcopy.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
6 trgcopy.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 trgcopy.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 trgcopy.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
9 trgcopy.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 trgcopy.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
11 trgcopy.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
12 trgcopy.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
13 trgcopy.1 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
14 trgcopy.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
15 trgcopy.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15trgcopy 28652 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
176ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
187ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
198ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
209ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2110ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2211ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2312ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2413ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
2514ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2615ad5antr 732 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
27 simpl 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
2827eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ↔ π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))))
29 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ 𝑦 = 𝑏)
3029eleq1d 2810 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))))
3128, 30anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)))))
32 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ 𝑧 = 𝑑)
33 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
34 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ 𝑦 = 𝑏)
3533, 34oveq12d 7434 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ (π‘₯𝐼𝑦) = (π‘ŽπΌπ‘))
3632, 35eleq12d 2819 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
3736cbvrexdva 3228 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
3831, 37anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))))
3938cbvopabv 5216 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))} = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
40 simp-5r 784 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓 ∈ 𝑃)
41 simp-4r 782 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ π‘˜ ∈ 𝑃)
42 simpllr 774 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
4342simpld 493 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ©)
44 simplr 767 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©)
4542simprd 494 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
46 simpr 483 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
471, 2, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46trgcopyeulem 28653 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓 = π‘˜)
4847anasss 465 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜)
4948expl 456 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
5049anasss 465 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝑃 ∧ π‘˜ ∈ 𝑃)) β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
5150ralrimivva 3191 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑃 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑃 (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
52 eqidd 2726 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝐷 = 𝐷)
53 eqidd 2726 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝐸 = 𝐸)
54 id 22 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝑓 = π‘˜)
5552, 53, 54s3eqd 14847 . . . . 5 (𝑓 = π‘˜ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©)
5655breq2d 5155 . . . 4 (𝑓 = π‘˜ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©))
57 breq1 5146 . . . 4 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹 ↔ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
5856, 57anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
5958reu4 3718 . 2 (βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑃 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑃 (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜)))
6016, 51, 59sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆƒ!wreu 3362   βˆ– cdif 3936   class class class wbr 5143  {copab 5205  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  βŸ¨β€œcs3 14825  Basecbs 17179  distcds 17241  TarskiGcstrkg 28275  Itvcitv 28281  LineGclng 28282  cgrGccgrg 28358  hlGchlg 28448  hpGchpg 28605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-trkgc 28296  df-trkgb 28297  df-trkgcb 28298  df-trkgld 28300  df-trkg 28301  df-cgrg 28359  df-ismt 28381  df-leg 28431  df-hlg 28449  df-mir 28501  df-rag 28542  df-perpg 28544  df-hpg 28606  df-mid 28622  df-lmi 28623
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