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Theorem trgcopyeu 27790
Description: Triangle construction: a copy of a given triangle can always be constructed in such a way that one side is lying on a half-line, and the third vertex is on a given half-plane: uniqueness part. Second part of Theorem 10.16 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
trgcopy.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
trgcopy.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
trgcopy.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
trgcopy.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
trgcopy.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
trgcopy.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
trgcopy.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
trgcopy.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
trgcopy.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
trgcopy.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
trgcopy.1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
trgcopy.2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
trgcopyeu (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑓,𝐿   𝑃,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑓,𝐾

Proof of Theorem trgcopyeu
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘˜ 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 trgcopy.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 trgcopy.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 trgcopy.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
6 trgcopy.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 trgcopy.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 trgcopy.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
9 trgcopy.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 trgcopy.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
11 trgcopy.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
12 trgcopy.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
13 trgcopy.1 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
14 trgcopy.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
15 trgcopy.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15trgcopy 27788 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
176ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
187ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
198ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
209ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2110ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2211ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2312ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2413ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
2514ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2615ad5antr 733 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
27 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
2827eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ↔ π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))))
29 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ 𝑦 = 𝑏)
3029eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))))
3128, 30anbi12d 632 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)))))
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ 𝑧 = 𝑑)
33 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
34 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ 𝑦 = 𝑏)
3533, 34oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ (π‘₯𝐼𝑦) = (π‘ŽπΌπ‘))
3632, 35eleq12d 2832 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
3736cbvrexdva 3330 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
3831, 37anbi12d 632 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))))
3938cbvopabv 5183 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))} = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
40 simp-5r 785 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓 ∈ 𝑃)
41 simp-4r 783 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ π‘˜ ∈ 𝑃)
42 simpllr 775 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
4342simpld 496 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ©)
44 simplr 768 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©)
4542simprd 497 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
46 simpr 486 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
471, 2, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46trgcopyeulem 27789 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓 = π‘˜)
4847anasss 468 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜)
4948expl 459 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
5049anasss 468 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝑃 ∧ π‘˜ ∈ 𝑃)) β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
5150ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑃 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑃 (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
52 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝐷 = 𝐷)
53 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝐸 = 𝐸)
54 id 22 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝑓 = π‘˜)
5552, 53, 54s3eqd 14760 . . . . 5 (𝑓 = π‘˜ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©)
5655breq2d 5122 . . . 4 (𝑓 = π‘˜ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©))
57 breq1 5113 . . . 4 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹 ↔ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
5856, 57anbi12d 632 . . 3 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
5958reu4 3694 . 2 (βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑃 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑃 (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜)))
6016, 51, 59sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3354   βˆ– cdif 3912   class class class wbr 5110  {copab 5172  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  βŸ¨β€œcs3 14738  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  cgrGccgrg 27494  hlGchlg 27584  hpGchpg 27741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-ismt 27517  df-leg 27567  df-hlg 27585  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-hpg 27742  df-mid 27758  df-lmi 27759
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