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Theorem trgcopyeu 28565
Description: Triangle construction: a copy of a given triangle can always be constructed in such a way that one side is lying on a half-line, and the third vertex is on a given half-plane: uniqueness part. Second part of Theorem 10.16 of [Schwabhauser] p. 92. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
trgcopy.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
trgcopy.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
trgcopy.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
trgcopy.k 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
trgcopy.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
trgcopy.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
trgcopy.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
trgcopy.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
trgcopy.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
trgcopy.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
trgcopy.1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
trgcopy.2 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
trgcopyeu (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Distinct variable groups:   βˆ’ ,𝑓   𝐴,𝑓   𝐡,𝑓   𝐢,𝑓   𝐷,𝑓   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐼   𝑓,𝐿   𝑃,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑓,𝐾

Proof of Theorem trgcopyeu
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘˜ 𝑑 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 trgcopy.m . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 trgcopy.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 trgcopy.k . . 3 𝐾 = (hlGβ€˜πΊ)
6 trgcopy.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 trgcopy.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8 trgcopy.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
9 trgcopy.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
10 trgcopy.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
11 trgcopy.e . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
12 trgcopy.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
13 trgcopy.1 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
14 trgcopy.2 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
15 trgcopy.3 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15trgcopy 28563 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
176ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
187ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
198ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
209ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
2110ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
2211ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
2312ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
2413ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ Β¬ (𝐴 ∈ (𝐡𝐿𝐢) ∨ 𝐡 = 𝐢))
2514ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ Β¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
2615ad5antr 731 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
27 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
2827eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ↔ π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))))
29 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ 𝑦 = 𝑏)
3029eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))))
3128, 30anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ↔ (π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)))))
32 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ 𝑧 = 𝑑)
33 simpll 764 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ π‘₯ = π‘Ž)
34 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ 𝑦 = 𝑏)
3533, 34oveq12d 7423 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ (π‘₯𝐼𝑦) = (π‘ŽπΌπ‘))
3632, 35eleq12d 2821 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) ∧ 𝑧 = 𝑑) β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
3736cbvrexdva 3231 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘)))
3831, 37anbi12d 630 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = π‘Ž ∧ 𝑦 = 𝑏) β†’ (((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦)) ↔ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))))
3938cbvopabv 5214 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ∣ ((π‘₯ ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦))} = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– (𝐷𝐿𝐸))) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
40 simp-5r 783 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓 ∈ 𝑃)
41 simp-4r 781 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ π‘˜ ∈ 𝑃)
42 simpllr 773 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
4342simpld 494 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ©)
44 simplr 766 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©)
4542simprd 495 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
46 simpr 484 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
471, 2, 3, 4, 5, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 46trgcopyeulem 28564 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©) ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) β†’ 𝑓 = π‘˜)
4847anasss 466 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜)
4948expl 457 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ π‘˜ ∈ 𝑃) β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
5049anasss 466 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ 𝑃 ∧ π‘˜ ∈ 𝑃)) β†’ (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
5150ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑃 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑃 (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜))
52 eqidd 2727 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝐷 = 𝐷)
53 eqidd 2727 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝐸 = 𝐸)
54 id 22 . . . . . 6 (𝑓 = π‘˜ β†’ 𝑓 = π‘˜)
5552, 53, 54s3eqd 14821 . . . . 5 (𝑓 = π‘˜ β†’ βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© = βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©)
5655breq2d 5153 . . . 4 (𝑓 = π‘˜ β†’ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ↔ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ©))
57 breq1 5144 . . . 4 (𝑓 = π‘˜ β†’ (𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹 ↔ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
5856, 57anbi12d 630 . . 3 (𝑓 = π‘˜ β†’ ((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ↔ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)))
5958reu4 3722 . 2 (βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ↔ (βˆƒπ‘“ ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ βˆ€π‘“ ∈ 𝑃 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑃 (((βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹) ∧ (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘˜β€βŸ© ∧ π‘˜((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹)) β†’ 𝑓 = π‘˜)))
6016, 51, 59sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑓 ∈ 𝑃 (βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπ‘“β€βŸ© ∧ 𝑓((hpGβ€˜πΊ)β€˜(𝐷𝐿𝐸))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368   βˆ– cdif 3940   class class class wbr 5141  {copab 5203  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  βŸ¨β€œcs3 14799  Basecbs 17153  distcds 17215  TarskiGcstrkg 28186  Itvcitv 28192  LineGclng 28193  cgrGccgrg 28269  hlGchlg 28359  hpGchpg 28516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28207  df-trkgb 28208  df-trkgcb 28209  df-trkgld 28211  df-trkg 28212  df-cgrg 28270  df-ismt 28292  df-leg 28342  df-hlg 28360  df-mir 28412  df-rag 28453  df-perpg 28455  df-hpg 28517  df-mid 28533  df-lmi 28534
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