MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmappw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmappw 26999
Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmappw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16616 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 12480 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 14043 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 595 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 eqid 2726 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}
65vmaval 26996 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0))
74, 6syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0))
8 df-rab 3427 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))}
9 prmdvdsexpb 16658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
109biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11103coml 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12113expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
1312expimpd 453 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15 prmz 16617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 16228 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))
1715, 16sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))
1814, 17jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾)))
19 eleq1 2815 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾)))
2119, 20anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))))
2218, 21syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))))
2313, 22impbid 211 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24 velsn 4639 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
2523, 24bitr4di 289 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
2625eqabcdv 2862 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))} = {𝑃})
278, 26eqtrid 2778 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑃})
2827fveq2d 6888 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = (♯‘{𝑃}))
29 hashsng 14332 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (♯‘{𝑃}) = 1)
3029adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑃}) = 1)
3128, 30eqtrd 2766 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1)
3231iftrued 4531 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0) = (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}))
3327unieqd 4915 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑃})
34 unisng 4922 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → {𝑃} = 𝑃)
3534adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑃} = 𝑃)
3633, 35eqtrd 2766 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = 𝑃)
3736fveq2d 6888 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = (log‘𝑃))
387, 32, 373eqtrd 2770 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = (log‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2703  {crab 3426  ifcif 4523  {csn 4623   cuni 4902   class class class wbr 5141  cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110  cn 12213  0cn0 12473  cz 12559  cexp 14030  chash 14293  cdvds 16202  cprime 16613  logclog 26439  Λcvma 26975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-vma 26981
This theorem is referenced by:  vmaprm  27000  vmacl  27001  efvmacl  27003  vmalelog  27089  vmasum  27100  chpval2  27102  rplogsumlem2  27369  rpvmasumlem  27371
  Copyright terms: Public domain W3C validator