Theorem vmappw 27026

Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmappw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16644	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12449	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14039	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}
6	5	vmaval 27023	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
8		df-rab 3406	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))}
9		prmdvdsexpb 16686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11	10	3coml 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12	11	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 16249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
18	14, 17	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
19		eleq1 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20		breq1 5110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
21	19, 20	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))))
22	18, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))))
23	13, 22	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24		velsn 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
25	23, 24	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
26	25	eqabcdv 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))} = {𝑃})
27	8, 26	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑃})
28	27	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (♯‘{𝑃}))
29		hashsng 14334	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (♯‘{𝑃}) = 1)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑃}) = 1)
31	28, 30	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1)
32	31	iftrued 4496	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
33	27	unieqd 4884	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = ∪ {𝑃})
34		unisng 4889	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∪ {𝑃} = 𝑃)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑃} = 𝑃)
36	33, 35	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = 𝑃)
37	36	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (log‘𝑃))
38	7, 32, 37	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  {crab 3405  ifcif 4488  {csn 4589  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ↑cexp 14026  ♯chash 14295   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641  logclog 26463  Λcvma 27002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-vma 27008

This theorem is referenced by:  vmaprm  27027  vmacl  27028  efvmacl  27030  vmalelog  27116  vmasum  27127  chpval2  27129  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398