MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmappw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmappw 25692
Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmappw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16017 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11903 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 13441 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 eqid 2821 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}
65vmaval 25689 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0))
74, 6syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0))
8 df-rab 3147 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))}
9 prmdvdsexpb 16059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
109biimpd 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11103coml 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12113expa 1114 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
1312expimpd 456 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15 prmz 16018 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16 iddvdsexp 15632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))
1715, 16sylan 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))
1814, 17jca 514 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾)))
19 eleq1 2900 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20 breq1 5068 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾)))
2119, 20anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃𝐾))))
2218, 21syl5ibrcom 249 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))))
2313, 22impbid 214 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24 velsn 4582 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
2523, 24syl6bbr 291 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
2625abbi1dv 2952 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾))} = {𝑃})
278, 26syl5eq 2868 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑃})
2827fveq2d 6673 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = (♯‘{𝑃}))
29 hashsng 13729 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (♯‘{𝑃}) = 1)
3029adantr 483 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑃}) = 1)
3128, 30eqtrd 2856 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1)
3231iftrued 4474 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}), 0) = (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}))
3327unieqd 4851 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = {𝑃})
34 unisng 4856 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → {𝑃} = 𝑃)
3534adantr 483 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑃} = 𝑃)
3633, 35eqtrd 2856 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)} = 𝑃)
3736fveq2d 6673 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃𝐾)}) = (log‘𝑃))
387, 32, 373eqtrd 2860 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃𝐾)) = (log‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  {cab 2799  {crab 3142  ifcif 4466  {csn 4566   cuni 4837   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537  cn 11637  0cn0 11896  cz 11980  cexp 13428  chash 13689  cdvds 15606  cprime 16014  logclog 25137  Λcvma 25668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-prm 16015  df-vma 25674
This theorem is referenced by:  vmaprm  25693  vmacl  25694  efvmacl  25696  vmalelog  25780  vmasum  25791  chpval2  25793  rplogsumlem2  26060  rpvmasumlem  26062
  Copyright terms: Public domain W3C validator