Theorem vmappw 27448

Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmappw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16854	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12616	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14220	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}
6	5	vmaval 27445	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
8		df-rab 3413	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))}
9		prmdvdsexpb 16897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
10	9	biimpd 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11	10	3coml 1145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12	11	3expa 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
13	12	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 16454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
17	15, 16	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
18	14, 17	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
19		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
21	19, 20	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))))
22	18, 21	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))))
23	13, 22	impbid 215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24		velsn 4596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
25	23, 24	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
26	25	eqabcdv 2894	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))} = {𝑃})
27	8, 26	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑃})
28	27	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (♯‘{𝑃}))
29		hashsng 14516	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (♯‘{𝑃}) = 1)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑃}) = 1)
31	28, 30	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1)
32	31	iftrued 4489	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
33	27	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = ∪ {𝑃})
34		unisng 4884	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∪ {𝑃} = 𝑃)
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑃} = 𝑃)
36	33, 35	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = 𝑃)
37	36	fveq2d 6889	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (log‘𝑃))
38	7, 32, 37	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  {crab 3412  ifcif 4481  {csn 4584  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  ℕcn 12338  ℕ₀cn0 12609  ℤcz 12696  ↑cexp 14207  ♯chash 14477   ∥ cdvds 16427  ℙcprime 16851  logclog 26887  Λcvma 27424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852  df-vma 27430

This theorem is used by:  vmaprm  27449  vmacl  27450  efvmacl  27452  vmalelog  27537  vmasum  27548  chpval2  27550  rplogsumlem2  27817  rpvmasumlem  27819