Theorem vmappw 27159

Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmappw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16711	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12533	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 14115	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}
6	5	vmaval 27156	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
8		df-rab 3437	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))}
9		prmdvdsexpb 16753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
10	9	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11	10	3coml 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12	11	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
13	12	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 16317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
18	14, 17	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
19		eleq1 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20		breq1 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
21	19, 20	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))))
22	18, 21	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))))
23	13, 22	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24		velsn 4642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
25	23, 24	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
26	25	eqabcdv 2876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))} = {𝑃})
27	8, 26	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑃})
28	27	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (♯‘{𝑃}))
29		hashsng 14408	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (♯‘{𝑃}) = 1)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑃}) = 1)
31	28, 30	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1)
32	31	iftrued 4533	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
33	27	unieqd 4920	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = ∪ {𝑃})
34		unisng 4925	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∪ {𝑃} = 𝑃)
35	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑃} = 𝑃)
36	33, 35	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = 𝑃)
37	36	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (log‘𝑃))
38	7, 32, 37	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2714  {crab 3436  ifcif 4525  {csn 4626  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102  ♯chash 14369   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708  logclog 26596  Λcvma 27135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-vma 27141

This theorem is referenced by:  vmaprm  27160  vmacl  27161  efvmacl  27163  vmalelog  27249  vmasum  27260  chpval2  27262  rplogsumlem2  27529  rpvmasumlem  27531