Theorem vmappw 26265

Description: Value of the von Mangoldt function at a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmappw	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Proof of Theorem vmappw

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16379	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12240	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		nnexpcl 13795	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑𝐾) ∈ ℕ)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}
6	5	vmaval 26262	. . 3 ⊢ ((𝑃↑𝐾) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0))
8		df-rab 3073	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))}
9		prmdvdsexpb 16421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑝 = 𝑃))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
11	10	3coml 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
12	11	3expa 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) → 𝑝 = 𝑃))
13	12	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) → 𝑝 = 𝑃))
14		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16		iddvdsexp 15989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
17	15, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))
18	14, 17	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
19		eleq1 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ↔ 𝑃 ∈ ℙ))
20		breq1 5077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾) ↔ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾)))
21	19, 20	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝑃↑𝐾))))
22	18, 21	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))))
23	13, 22	impbid 211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 = 𝑃))
24		velsn 4577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑃} ↔ 𝑝 = 𝑃)
25	23, 24	bitr4di 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)) ↔ 𝑝 ∈ {𝑃}))
26	25	abbi1dv 2878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∣ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾))} = {𝑃})
27	8, 26	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = {𝑃})
28	27	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (♯‘{𝑃}))
29		hashsng 14084	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (♯‘{𝑃}) = 1)
30	29	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑃}) = 1)
31	28, 30	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1)
32	31	iftrued 4467	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = 1, (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}), 0) = (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}))
33	27	unieqd 4853	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = ∪ {𝑃})
34		unisng 4860	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∪ {𝑃} = 𝑃)
35	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑃} = 𝑃)
36	33, 35	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)} = 𝑃)
37	36	fveq2d 6778	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (log‘∪ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ (𝑃↑𝐾)}) = (log‘𝑃))
38	7, 32, 37	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑃↑𝐾)) = (log‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  {crab 3068  ifcif 4459  {csn 4561  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ↑cexp 13782  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376  logclog 25710  Λcvma 26241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-vma 26247

This theorem is referenced by:  vmaprm  26266  vmacl  26267  efvmacl  26269  vmalelog  26353  vmasum  26364  chpval2  26366  rplogsumlem2  26633  rpvmasumlem  26635