Theorem efvmacl 27356

Description: The von Mangoldt is closed in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
efvmacl	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem efvmacl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6878	. . . 4 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) = (exp‘0))
2		ef0 16177	. . . 4 ⊢ (exp‘0) = 1
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) = 1)
4	3	eleq1d 2845	. 2 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → ((exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
5		isppw2 27351	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
6		vmappw 27352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
7	6	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))) = (exp‘(log‘𝑝)))
8		prmnn 16764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 13084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
10	9	reeflogd 26861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
11	10, 8	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
12	11	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
13	7, 12	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))) ∈ ℕ)
14		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
15	14	fveq2d 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) = (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))))
16	15	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ ↔ (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))) ∈ ℕ))
17	13, 16	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ))
18	17	rexlimivv 3204	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
19	5, 18	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ))
20	19	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
21		1nn 12268	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
23	4, 20, 22	pm2.61ne 3040	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125  ℕcn 12257  ↑cexp 14125  expce 16147  ℙcprime 16761  logclog 26791  Λcvma 27328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762  df-pc 16929  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094  df-log 26793  df-vma 27334

This theorem is used by:  vmage0  27357  efchpcl  27361