Theorem efvmacl 25383

Description: The von Mangoldt is closed in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
efvmacl	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem efvmacl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6545	. . . 4 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) = (exp‘0))
2		ef0 15281	. . . 4 ⊢ (exp‘0) = 1
3	1, 2	syl6eq 2849	. . 3 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) = 1)
4	3	eleq1d 2869	. 2 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → ((exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
5		isppw2 25378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
6		vmappw 25379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
7	6	fveq2d 6549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))) = (exp‘(log‘𝑝)))
8		prmnn 15851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
9	8	nnrpd 12283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
10	9	reeflogd 24892	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (exp‘(log‘𝑝)) = 𝑝)
11	10, 8	eqeltrd 2885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(log‘𝑝)) ∈ ℕ)
13	7, 12	eqeltrd 2885	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))) ∈ ℕ)
14		fveq2 6545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
15	14	fveq2d 6549	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) = (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))))
16	15	eleq1d 2869	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ ↔ (exp‘(Λ‘(𝑝↑𝑘))) ∈ ℕ))
17	13, 16	syl5ibrcom 248	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ))
18	17	rexlimivv 3257	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
19	5, 18	syl6bi 254	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ))
20	19	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)
21		1nn 11503	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
23	4, 20, 22	pm2.61ne 3072	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (exp‘(Λ‘𝐴)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  ∃wrex 3108  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  0cc0 10390  1c1 10391  ℕcn 11492  ↑cexp 13283  expce 15252  ℙcprime 15848  logclog 24823  Λcvma 25355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-dvds 15445  df-gcd 15681  df-prm 15849  df-pc 16007  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825  df-vma 25361

This theorem is referenced by:  vmage0  25384  efchpcl  25388