MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmalelog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmalelog 26688
Description: The von Mangoldt function is less than the natural log. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalelog (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))

Proof of Theorem vmalelog
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5150 . 2 ((Λ‘𝐴) = 0 → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ 0 ≤ (log‘𝐴)))
2 isppw2 26599 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘)))
3 prmnn 16607 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
43nnrpd 13010 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
54adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
65relogcld 26113 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7 nnre 12215 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
87adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
9 log1 26076 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
103adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
1110nnge1d 12256 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑝)
12 1rp 12974 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
13 logleb 26093 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
1412, 5, 13sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
1511, 14mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘1) ≤ (log‘𝑝))
169, 15eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (log‘𝑝))
17 nnge1 12236 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
196, 8, 16, 18lemulge12d 12148 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ≤ (𝑘 · (log‘𝑝)))
20 vmappw 26600 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) = (log‘𝑝))
21 nnz 12575 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
22 relogexp 26086 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
234, 21, 22syl2an 597 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑝𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
2419, 20, 233brtr4d 5179 . . . . . 6 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘(𝑝𝑘)))
25 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝𝑘)))
26 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑝𝑘) → (log‘𝐴) = (log‘(𝑝𝑘)))
2725, 26breq12d 5160 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑝𝑘) → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ (Λ‘(𝑝𝑘)) ≤ (log‘(𝑝𝑘))))
2824, 27syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
2928rexlimivv 3200 . . . 4 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
302, 29syl6bi 253 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
3130imp 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
32 nnge1 12236 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
33 nnrp 12981 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
34 logleb 26093 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
3512, 33, 34sylancr 588 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
3632, 35mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
379, 36eqbrtrrid 5183 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (log‘𝐴))
381, 31, 37pm2.61ne 3028 1 (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  cle 11245  cn 12208  cz 12554  +crp 12970  cexp 14023  cprime 16604  logclog 26045  Λcvma 26576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-log 26047  df-vma 26582
This theorem is referenced by:  pntpbnd1a  27068  hgt750lemb  33606
  Copyright terms: Public domain W3C validator