Theorem vmalelog 26945

Description: The von Mangoldt function is less than the natural log. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmalelog	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))

Proof of Theorem vmalelog

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5151	. 2 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ 0 ≤ (log‘𝐴)))
2		isppw2 26856	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
3		prmnn 16616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
5	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℝ+)
6	5	relogcld 26368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7		nnre 12224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
9		log1 26331	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
10	3	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℕ)
11	10	nnge1d 12265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑝)
12		1rp 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ+
13		logleb 26348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
14	12, 5, 13	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑝 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑝)))
15	11, 14	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘1) ≤ (log‘𝑝))
16	9, 15	eqbrtrrid 5184	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (log‘𝑝))
17		nnge1 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
18	17	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑘)
19	6, 8, 16, 18	lemulge12d 12157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ≤ (𝑘 · (log‘𝑝)))
20		vmappw 26857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
21		nnz 12584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
22		relogexp 26341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (log‘(𝑝↑𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
23	4, 21, 22	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘(𝑝↑𝑘)) = (𝑘 · (log‘𝑝)))
24	19, 20, 23	3brtr4d 5180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) ≤ (log‘(𝑝↑𝑘)))
25		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
26		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (log‘𝐴) = (log‘(𝑝↑𝑘)))
27	25, 26	breq12d 5161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴) ↔ (Λ‘(𝑝↑𝑘)) ≤ (log‘(𝑝↑𝑘))))
28	24, 27	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
29	28	rexlimivv 3198	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
30	2, 29	syl6bi 253	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴)))
31	30	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))
32		nnge1 12245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
33		nnrp 12990	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)
34		logleb 26348	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
35	12, 33, 34	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
36	32, 35	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
37	9, 36	eqbrtrrid 5184	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ (log‘𝐴))
38	1, 31, 37	pm2.61ne 3026	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ≤ (log‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119   ≤ cle 11254  ℕcn 12217  ℤcz 12563  ℝ⁺crp 12979  ↑cexp 14032  ℙcprime 16613  logclog 26300  Λcvma 26833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-vma 26839

This theorem is referenced by:  pntpbnd1a  27325  hgt750lemb  33967