Theorem vmacl 27075

Description: Closure for the von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmacl	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem vmacl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2821	. 2 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → ((Λ‘𝐴) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
2		isppw2 27072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
3		vmappw 27073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
4		prmnn 16592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
6	5	relogcld 26579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
8	3, 7	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) ∈ ℝ)
9		fveq2 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
10	9	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((Λ‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (Λ‘(𝑝↑𝑘)) ∈ ℝ))
11	8, 10	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ))
12	11	rexlimivv 3175	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)
13	2, 12	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ))
14	13	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)
15		0red 11126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
16	1, 14, 15	pm2.61ne 3014	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  ℕcn 12136  ↑cexp 13975  ℙcprime 16589  logclog 26510  Λcvma 27049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-dvds 16171  df-gcd 16413  df-prm 16590  df-pc 16756  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-vma 27055

This theorem is referenced by:  vmaf  27076  vmage0  27078  chpf  27080  efchpcl  27082  chpp1  27112  chpwordi  27114  chtlepsi  27164  vmasum  27174  logfac2  27175  chpval2  27176  vmadivsum  27440  vmadivsumb  27441  rplogsumlem2  27443  rpvmasumlem  27445  dchrvmasum2if  27455  dchrvmasumiflem2  27460  rpvmasum2  27470  dchrisum0re  27471  dchrvmasumlem  27481  rplogsum  27485  vmalogdivsum2  27496  vmalogdivsum  27497  2vmadivsumlem  27498  logsqvma  27500  logsqvma2  27501  selberg  27506  selbergb  27507  selberg2lem  27508  selberg2  27509  selberg2b  27510  chpdifbndlem1  27511  selberg3lem1  27515  selberg3lem2  27516  selberg3  27517  selberg4lem1  27518  selberg4  27519  pntrsumo1  27523  selbergr  27526  selberg3r  27527  selberg4r  27528  selberg34r  27529  pntsf  27531  pntsval2  27534  pntrlog2bndlem1  27535  pntpbnd1a  27543