Theorem vmacl 27312

Description: Closure for the von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmacl	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem vmacl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2854	. 2 ⊢ ((Λ‘𝐴) = 0 → ((Λ‘𝐴) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
2		isppw2 27309	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘)))
3		vmappw 27310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) = (log‘𝑝))
4		prmnn 16757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 13076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ+)
6	5	relogcld 26818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (log‘𝑝) ∈ ℝ)
8	3, 7	eqeltrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Λ‘(𝑝↑𝑘)) ∈ ℝ)
9		fveq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) = (Λ‘(𝑝↑𝑘)))
10	9	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → ((Λ‘𝐴) ∈ ℝ ↔ (Λ‘(𝑝↑𝑘)) ∈ ℝ))
11	8, 10	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ))
12	11	rexlimivv 3210	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑝↑𝑘) → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)
13	2, 12	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ))
14	13	imp 412	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (Λ‘𝐴) ≠ 0) → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)
15		0red 11229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
16	1, 14, 15	pm2.61ne 3046	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  ℕcn 12251  ↑cexp 14117  ℙcprime 16754  logclog 26749  Λcvma 27286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-pc 16922  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-mulg 19159  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23749  df-hmeo 23942  df-fil 24033  df-fm 24125  df-flim 24126  df-flf 24127  df-xms 24507  df-ms 24508  df-tms 24509  df-cncf 25067  df-limc 26055  df-dv 26056  df-log 26751  df-vma 27292

This theorem is used by:  vmaf  27313  vmage0  27315  chpf  27317  efchpcl  27319  chpp1  27349  chpwordi  27351  chtlepsi  27400  vmasum  27410  logfac2  27411  chpval2  27412  vmadivsum  27676  vmadivsumb  27677  rplogsumlem2  27679  rpvmasumlem  27681  dchrvmasum2if  27691  dchrvmasumiflem2  27696  rpvmasum2  27706  dchrisum0re  27707  dchrvmasumlem  27717  rplogsum  27721  vmalogdivsum2  27732  vmalogdivsum  27733  2vmadivsumlem  27734  logsqvma  27736  logsqvma2  27737  selberg  27742  selbergb  27743  selberg2lem  27744  selberg2  27745  selberg2b  27746  chpdifbndlem1  27747  selberg3lem1  27751  selberg3lem2  27752  selberg3  27753  selberg4lem1  27754  selberg4  27755  pntrsumo1  27759  selbergr  27762  selberg3r  27763  selberg4r  27764  selberg34r  27765  pntsf  27767  pntsval2  27770  pntrlog2bndlem1  27771  pntpbnd1a  27779