MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aannen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aannen 26217
Description: The algebraic numbers are countable. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aannen 𝔸 β‰ˆ β„•

Proof of Theorem aannen
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0}) = (π‘Ž ∈ β„•0 ↦ {𝑏 ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ {𝑑 ∈ (Polyβ€˜β„€) ∣ (𝑑 β‰  0𝑝 ∧ (degβ€˜π‘‘) ≀ π‘Ž ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„•0 (absβ€˜((coeffβ€˜π‘‘)β€˜π‘’)) ≀ π‘Ž)} (π‘β€˜π‘) = 0})
21aannenlem3 26216 1 𝔸 β‰ˆ β„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536   β‰ˆ cen 8935  β„‚cc 11107  0cc0 11109   ≀ cle 11250  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  abscabs 15185  0𝑝c0p 25549  Polycply 26069  coeffccoe 26071  degcdgr 26072  π”Έcaa 26200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25550  df-ply 26073  df-idp 26074  df-coe 26075  df-dgr 26076  df-quot 26177  df-aa 26201
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator