Theorem btwnconn1lem13 35748

Description: Lemma for btwnconn1 35750. Begin back-filling and eliminating hypotheses. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwnconn1lem13	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩)))) → (𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑))

Proof of Theorem btwnconn1lem13

Dummy variables 𝑒 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2931	. . 3 ⊢ (𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐)
2		simp2rl 1239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩)
3	2	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩)
4		simp2ll 1237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
5	4	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
6	3, 5	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩))
7		simpl1 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8		simprl1 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9		simpl2 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simprrl 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		btwncom 35663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝐴⟩))
12	7, 8, 9, 10, 11	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝐴⟩))
13		simprl2 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simprl3 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		btwncom 35663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩))
16	7, 13, 9, 14, 15	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩))
17	12, 16	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩) ↔ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝐴⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)))
18	6, 17	imbitrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝐴⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)))
19		axpasch 28791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝐴⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)))
20	7, 10, 14, 9, 8, 13, 19	syl132anc 1385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝐴⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)))
21	18, 20	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)))
22	21	imp 405	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐)) → ∃𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))
23		simpll1 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	14	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
25	8	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
26	10	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))
27		axsegcon 28777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩))
28	23, 24, 25, 25, 26, 27	syl122anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩))
29		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
30		axsegcon 28777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
31	23, 26, 25, 25, 29, 30	syl122anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
32		reeanv 3217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)) ↔ (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))
33	28, 31, 32	sylanbrc 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))
34	33	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))
35	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
36		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
37		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
38		axsegcon 28777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))
39	35, 36, 37, 37, 36, 38	syl122anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))
40	39	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))) → ∃𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))
41		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)))
42		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
43	42	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
44	10	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁))
45		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
46	45	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁))
47		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))
48	44, 46, 47	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)))
49	43, 48	jca 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))))
50		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))
53	50, 51, 52	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)))
54	41, 49, 53	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))))
55		simp1ll 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
56	55	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
57	56	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
58		simp1lr 1234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
59	58	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
60	59	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
61		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) → 𝐶 ≠ 𝑐)
62	61	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → 𝐶 ≠ 𝑐)
63	57, 60, 62	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐))
64		simpl1r 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
65	64	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))
66	63, 65	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)))
67		simpll2 1210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
68	67	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)))
69		simpl3l 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → (𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩))
70	69	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩))
71		simpl3r 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) → (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))
72	71	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))
73	70, 72	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩)))
74	66, 68, 73	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))))
75		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))
76		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩))
77		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))
78		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))
79	76, 77, 78	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)))
80	74, 75, 79	jca32 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)) → ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩)))))
81		btwnconn1lem12 35747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ ((𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))))) → 𝐷 = 𝑑)
82	54, 80, 81	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩))) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))) → 𝐷 = 𝑑)
83	82	an4s 658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))) ∧ (𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑟 Btwn ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∧ ⟨𝑟, 𝑞⟩Cgr⟨𝑟, 𝑝⟩))) → 𝐷 = 𝑑)
84	40, 83	rexlimddv 3151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))) → 𝐷 = 𝑑)
85	84	an4s 658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) ∧ ((𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)))) → 𝐷 = 𝑑)
86	85	exp32 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → ((𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)) → 𝐷 = 𝑑)))
87	86	rexlimdvv 3201	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑟 ∈ (𝔼‘𝑁)((𝐶 Btwn ⟨𝑐, 𝑝⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑝⟩Cgr⟨𝐶, 𝑑⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝑑, 𝑟⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑟⟩Cgr⟨𝐶, 𝑒⟩)) → 𝐷 = 𝑑))
88	34, 87	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ 𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → 𝐷 = 𝑑)
89	88	an4s 658	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐)) ∧ (𝑒 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝑒 Btwn ⟨𝐶, 𝑐⟩ ∧ 𝑒 Btwn ⟨𝐷, 𝑑⟩))) → 𝐷 = 𝑑)
90	22, 89	rexlimddv 3151	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩))) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐)) → 𝐷 = 𝑑)
91	90	expr 455	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩)))) → (𝐶 ≠ 𝑐 → 𝐷 = 𝑑))
92	1, 91	biimtrrid 242	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩)))) → (¬ 𝐶 = 𝑐 → 𝐷 = 𝑑))
93	92	orrd 861	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑑 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)))) ∧ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) ∧ ((𝐷 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ ⟨𝐷, 𝑐⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩) ∧ (𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝑑⟩ ∧ ⟨𝐶, 𝑑⟩Cgr⟨𝐶, 𝐷⟩)) ∧ ((𝑐 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑐, 𝑏⟩Cgr⟨𝐶, 𝐵⟩) ∧ (𝑑 Btwn ⟨𝐴, 𝑏⟩ ∧ ⟨𝑑, 𝑏⟩Cgr⟨𝐷, 𝐵⟩)))) → (𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ∃wrex 3060  ⟨cop 4631   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  ℕcn 12237  𝔼cee 28738   Btwn cbtwn 28739  Cgrccgr 28740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660  df-ee 28741  df-btwn 28742  df-cgr 28743  df-ofs 35632  df-colinear 35688  df-ifs 35689  df-cgr3 35690  df-fs 35691

This theorem is referenced by:  btwnconn1lem14  35749