Theorem cos0 16100

Description: Value of the cosine function at 0. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cos0	⊢ (cos‘0) = 1

Proof of Theorem cos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11223	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		recosval 16086	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (cos‘0) = (ℜ‘(exp‘(i · 0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (cos‘0) = (ℜ‘(exp‘(i · 0)))
4		it0e0 12441	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
5	4	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (exp‘(i · 0)) = (exp‘0)
6		ef0 16041	. . . . 5 ⊢ (exp‘0) = 1
7	5, 6	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · 0)) = 1
8	7	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (ℜ‘(exp‘(i · 0))) = (ℜ‘1)
9		re1 15108	. . 3 ⊢ (ℜ‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2759	. 2 ⊢ (ℜ‘(exp‘(i · 0))) = 1
11	3, 10	eqtri 2759	1 ⊢ (cos‘0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117  ici 11118   · cmul 11121  ℜcre 15051  expce 16012  cosccos 16015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-cos 16021

This theorem is referenced by:  tan0  16101  sincossq  16126  demoivreALT  16151  cos2kpi  26334  coseq00topi  26352  recosf1o  26384  ex-co  30124  tan2h  36944  cosknegpi  45044  itgsin0pilem1  45125  fourierdlem62  45343  fourierdlem83  45364  sqwvfoura  45403  sqwvfourb  45404  sec0  47967