Theorem cos0 15497

Description: Value of the cosine function at 0. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cos0	⊢ (cos‘0) = 1

Proof of Theorem cos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10637	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		recosval 15483	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (cos‘0) = (ℜ‘(exp‘(i · 0))))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (cos‘0) = (ℜ‘(exp‘(i · 0)))
4		it0e0 11853	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
5	4	fveq2i 6668	. . . . 5 ⊢ (exp‘(i · 0)) = (exp‘0)
6		ef0 15438	. . . . 5 ⊢ (exp‘0) = 1
7	5, 6	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ (exp‘(i · 0)) = 1
8	7	fveq2i 6668	. . 3 ⊢ (ℜ‘(exp‘(i · 0))) = (ℜ‘1)
9		re1 14507	. . 3 ⊢ (ℜ‘1) = 1
10	8, 9	eqtri 2844	. 2 ⊢ (ℜ‘(exp‘(i · 0))) = 1
11	3, 10	eqtri 2844	1 ⊢ (cos‘0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   · cmul 10536  ℜcre 14450  expce 15409  cosccos 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-cos 15418

This theorem is referenced by:  tan0  15498  sincossq  15523  demoivreALT  15548  cos2kpi  25064  coseq00topi  25082  recosf1o  25113  ex-co  28211  tan2h  34878  cosknegpi  42142  itgsin0pilem1  42227  fourierdlem62  42446  fourierdlem83  42467  sqwvfoura  42506  sqwvfourb  42507  sec0  44852