Theorem dmdprdsplit 20072

Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
dmdprdsplit.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdsplit.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3	2	fdmd 6698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
5		ssun1 4130	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
6		dprdsplit.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
7	6	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
8	5, 7	sseqtrrid 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
9	1, 4, 8	dprdres 20053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
10	9	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
11		ssun2 4131	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
12	11, 7	sseqtrrid 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
13	1, 4, 12	dprdres 20053	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
14	13	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
15	10, 14	jca 519	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
16		dprdsplit.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
17	16	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
18		dmdprdsplit.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
19	1, 4, 8, 12, 17, 18	dprdcntz2 20063	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
20		dmdprdsplit.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	1, 4, 8, 12, 17, 20	dprddisj2 20064	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
22	15, 19, 21	3jca 1140	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 }))
23	2	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
24	16	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
25	6	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
26		simpr1l 1243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
27		simpr1r 1244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
28		simpr2 1208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
29		simpr3 1209	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
30	23, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29	dmdprdsplit2 20071	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
31	22, 30	impbida 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581   class class class wbr 5099  dom cdm 5645   ↾ cres 5647  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0_gc0g 17451  SubGrpcsubg 19145  Cntzccntz 19338   DProd cdprd 20018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-lsm 19659  df-cmn 19805  df-dprd 20020

This theorem is referenced by:  dprdsplit  20073  dmdprdpr  20074  dpjcntz  20077  dpjdisj  20078