Theorem dmdprdsplit 19959

Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
dmdprdsplit.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdsplit.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3	2	fdmd 6661	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
5		ssun1 4128	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
6		dprdsplit.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
8	5, 7	sseqtrrid 3978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
9	1, 4, 8	dprdres 19940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
10	9	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
11		ssun2 4129	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
12	11, 7	sseqtrrid 3978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
13	1, 4, 12	dprdres 19940	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
14	13	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
15	10, 14	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
16		dprdsplit.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
18		dmdprdsplit.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
19	1, 4, 8, 12, 17, 18	dprdcntz2 19950	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
20		dmdprdsplit.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	1, 4, 8, 12, 17, 20	dprddisj2 19951	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
22	15, 19, 21	3jca 1128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 }))
23	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
24	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
25	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
26		simpr1l 1231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
27		simpr1r 1232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
28		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
29		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
30	23, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29	dmdprdsplit2 19958	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
31	22, 30	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  {csn 4576   class class class wbr 5091  dom cdm 5616   ↾ cres 5618  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0_gc0g 17340  SubGrpcsubg 19030  Cntzccntz 19225   DProd cdprd 19905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-gim 19169  df-cntz 19227  df-oppg 19256  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-dprd 19907

This theorem is referenced by:  dprdsplit  19960  dmdprdpr  19961  dpjcntz  19964  dpjdisj  19965