MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dmdprdsplit 19959
Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
dprdsplit.i (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
dprdsplit.u (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
dmdprdsplit.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
dmdprdsplit.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })))
Proof of Theorem dmdprdsplit
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 dprdsplit.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
32fdmd 6718 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
5 ssun1 4164 . . . . . . 7 ๐ถ โŠ† (๐ถ โˆช ๐ท)
6 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
85, 7sseqtrrid 4027 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ผ)
91, 4, 8dprdres 19940 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘†)))
109simpld 494 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
11 ssun2 4165 . . . . . . 7 ๐ท โŠ† (๐ถ โˆช ๐ท)
1211, 7sseqtrrid 4027 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐ท โŠ† ๐ผ)
131, 4, 12dprdres 19940 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘†)))
1413simpld 494 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
1510, 14jca 511 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)))
16 dprdsplit.i . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
1716adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
18 dmdprdsplit.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
191, 4, 8, 12, 17, 18dprdcntz2 19950 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
20 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐บ)
211, 4, 8, 12, 17, 20dprddisj2 19951 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })
2215, 19, 213jca 1125 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 }))
232adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
2416adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
256adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
26 simpr1l 1227 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
27 simpr1r 1228 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
28 simpr2 1192 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
29 simpr3 1193 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })
3023, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29dmdprdsplit2 19958 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
3122, 30impbida 798 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆช cun 3938   โˆฉ cin 3939   โŠ† wss 3940  โˆ…c0 4314  {csn 4620   class class class wbr 5138  dom cdm 5666   โ†พ cres 5668  โŸถwf 6529  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  0gc0g 17384  SubGrpcsubg 19037  Cntzccntz 19221   DProd cdprd 19905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-dprd 19907
This theorem is referenced by:  dprdsplit  19960  dmdprdpr  19961  dpjcntz  19964  dpjdisj  19965
  Copyright terms: Public domain W3C validator