Theorem dmdprdsplit 18919

Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
dmdprdsplit.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdsplit.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3	2	fdmd 6353	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4	3	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
5		ssun1 4038	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
6		dprdsplit.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
7	6	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
8	5, 7	syl5sseqr 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
9	1, 4, 8	dprdres 18900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
10	9	simpld 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
11		ssun2 4039	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
12	11, 7	syl5sseqr 3911	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
13	1, 4, 12	dprdres 18900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
14	13	simpld 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
15	10, 14	jca 504	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
16		dprdsplit.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
17	16	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
18		dmdprdsplit.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
19	1, 4, 8, 12, 17, 18	dprdcntz2 18910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
20		dmdprdsplit.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	1, 4, 8, 12, 17, 20	dprddisj2 18911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
22	15, 19, 21	3jca 1108	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 }))
23	2	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
24	16	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
25	6	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
26		simpr1l 1210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
27		simpr1r 1211	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
28		simpr2 1175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
29		simpr3 1176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
30	23, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29	dmdprdsplit2 18918	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
31	22, 30	impbida 788	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∪ cun 3828   ∩ cin 3829   ⊆ wss 3830  ∅c0 4179  {csn 4441   class class class wbr 4929  dom cdm 5407   ↾ cres 5409  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  0_gc0g 16569  SubGrpcsubg 18057  Cntzccntz 18216   DProd cdprd 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-gim 18170  df-cntz 18218  df-oppg 18245  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-dprd 18867

This theorem is referenced by:  dprdsplit  18920  dmdprdpr  18921  dpjcntz  18924  dpjdisj  18925