Theorem dmdprdsplit 19650

Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
dmdprdsplit.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dmdprdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdsplit.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3	2	fdmd 6611	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
5		ssun1 4106	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
6		dprdsplit.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
8	5, 7	sseqtrrid 3974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶 ⊆ 𝐼)
9	1, 4, 8	dprdres 19631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
10	9	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
11		ssun2 4107	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
12	11, 7	sseqtrrid 3974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷 ⊆ 𝐼)
13	1, 4, 12	dprdres 19631	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
14	13	simpld 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
15	10, 14	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
16		dprdsplit.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
18		dmdprdsplit.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
19	1, 4, 8, 12, 17, 18	dprdcntz2 19641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
20		dmdprdsplit.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
21	1, 4, 8, 12, 17, 20	dprddisj2 19642	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
22	15, 19, 21	3jca 1127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 }))
23	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
24	16	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
25	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
26		simpr1l 1229	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
27		simpr1r 1230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
28		simpr2 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
29		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })
30	23, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29	dmdprdsplit2 19649	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
31	22, 30	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0_gc0g 17150  SubGrpcsubg 18749  Cntzccntz 18921   DProd cdprd 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-dprd 19598

This theorem is referenced by:  dprdsplit  19651  dmdprdpr  19652  dpjcntz  19655  dpjdisj  19656