MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dmdprdsplit 19912
Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
dprdsplit.i (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
dprdsplit.u (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
dmdprdsplit.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
dmdprdsplit.0 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })))
Proof of Theorem dmdprdsplit
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
2 dprdsplit.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
32fdmd 6726 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
43adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ dom ๐‘† = ๐ผ)
5 ssun1 4172 . . . . . . 7 ๐ถ โŠ† (๐ถ โˆช ๐ท)
6 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
76adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
85, 7sseqtrrid 4035 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ผ)
91, 4, 8dprdres 19893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘†)))
109simpld 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
11 ssun2 4173 . . . . . . 7 ๐ท โŠ† (๐ถ โˆช ๐ท)
1211, 7sseqtrrid 4035 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐ท โŠ† ๐ผ)
131, 4, 12dprdres 19893 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โŠ† (๐บ DProd ๐‘†)))
1413simpld 496 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
1510, 14jca 513 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)))
16 dprdsplit.i . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
1716adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
18 dmdprdsplit.z . . . 4 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
191, 4, 8, 12, 17, 18dprdcntz2 19903 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
20 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0gโ€˜๐บ)
211, 4, 8, 12, 17, 20dprddisj2 19904 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })
2215, 19, 213jca 1129 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐บdom DProd ๐‘†) โ†’ ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 }))
232adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐‘†:๐ผโŸถ(SubGrpโ€˜๐บ))
2416adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ (๐ถ โˆฉ ๐ท) = โˆ…)
256adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐ผ = (๐ถ โˆช ๐ท))
26 simpr1l 1231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ))
27 simpr1r 1232 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))
28 simpr2 1196 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))))
29 simpr3 1197 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })
3023, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29dmdprdsplit2 19911 . 2 ((๐œ‘ โˆง ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })) โ†’ ๐บdom DProd ๐‘†)
3122, 30impbida 800 1 (๐œ‘ โ†’ (๐บdom DProd ๐‘† โ†” ((๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ) โˆง ๐บdom DProd (๐‘† โ†พ ๐ท)) โˆง (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โŠ† (๐‘โ€˜(๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) โˆง ((๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ถ)) โˆฉ (๐บ DProd (๐‘† โ†พ ๐ท))) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆช cun 3946   โˆฉ cin 3947   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  dom cdm 5676   โ†พ cres 5678  โŸถwf 6537  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  0gc0g 17382  SubGrpcsubg 18995  Cntzccntz 19174   DProd cdprd 19858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-gim 19128  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-dprd 19860
This theorem is referenced by:  dprdsplit  19913  dmdprdpr  19914  dpjcntz  19917  dpjdisj  19918
  Copyright terms: Public domain W3C validator