Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit 19169
 Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
32fdmd 6513 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
5 ssun1 4134 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
6 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
76adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
85, 7sseqtrrid 4006 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶𝐼)
91, 4, 8dprdres 19150 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
109simpld 498 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
11 ssun2 4135 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1211, 7sseqtrrid 4006 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷𝐼)
131, 4, 12dprdres 19150 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1413simpld 498 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
1510, 14jca 515 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)))
16 dprdsplit.i . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶𝐷) = ∅)
18 dmdprdsplit.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
191, 4, 8, 12, 17, 18dprdcntz2 19160 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
20 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
211, 4, 8, 12, 17, 20dprddisj2 19161 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
2215, 19, 213jca 1125 . 2 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 }))
232adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2416adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐶𝐷) = ∅)
256adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
26 simpr1l 1227 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
27 simpr1r 1228 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
28 simpr2 1192 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
29 simpr3 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
3023, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29dmdprdsplit2 19168 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3122, 30impbida 800 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {csn 4550   class class class wbr 5052  dom cdm 5542   ↾ cres 5544  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0gc0g 16713  SubGrpcsubg 18273  Cntzccntz 18445   DProd cdprd 19115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-dprd 19117 This theorem is referenced by:  dprdsplit  19170  dmdprdpr  19171  dpjcntz  19174  dpjdisj  19175
 Copyright terms: Public domain W3C validator