MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmdprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmdprdsplit 18919
Description: The direct product splits into the direct product of any partition of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dmdprdsplit.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdsplit.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dmdprdsplit (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))

Proof of Theorem dmdprdsplit
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
32fdmd 6353 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
43adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → dom 𝑆 = 𝐼)
5 ssun1 4038 . . . . . . 7 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
6 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
76adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
85, 7syl5sseqr 3911 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐶𝐼)
91, 4, 8dprdres 18900 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
109simpld 487 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
11 ssun2 4039 . . . . . . 7 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1211, 7syl5sseqr 3911 . . . . . 6 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐷𝐼)
131, 4, 12dprdres 18900 . . . . 5 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1413simpld 487 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
1510, 14jca 504 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)))
16 dprdsplit.i . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
1716adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐶𝐷) = ∅)
18 dmdprdsplit.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
191, 4, 8, 12, 17, 18dprdcntz2 18910 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
20 dmdprdsplit.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
211, 4, 8, 12, 17, 20dprddisj2 18911 . . 3 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
2215, 19, 213jca 1108 . 2 ((𝜑𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 }))
232adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2416adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐶𝐷) = ∅)
256adantr 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐼 = (𝐶𝐷))
26 simpr1l 1210 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
27 simpr1r 1211 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
28 simpr2 1175 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
29 simpr3 1176 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })
3023, 24, 25, 18, 20, 26, 27, 28, 29dmdprdsplit2 18918 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })) → 𝐺dom DProd 𝑆)
3122, 30impbida 788 1 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  cun 3828  cin 3829  wss 3830  c0 4179  {csn 4441   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  cres 5409  wf 6184  cfv 6188  (class class class)co 6976  0gc0g 16569  SubGrpcsubg 18057  Cntzccntz 18216   DProd cdprd 18865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-mhm 17803  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-mulg 18012  df-subg 18060  df-ghm 18127  df-gim 18170  df-cntz 18218  df-oppg 18245  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-dprd 18867
This theorem is referenced by:  dprdsplit  18920  dmdprdpr  18921  dpjcntz  18924  dpjdisj  18925
  Copyright terms: Public domain W3C validator